Défi Turing

Chaque nouveau terme de la suite de Fibonacci est généré en ajoutant les deux termes précédents. En commençant avec 1 et 1, les 10 premiers termes sont les suivants:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
En prenant en compte les termes de la suite de Fibonacci dont les valeurs ne dépassent pas 4 millions, trouver la somme des termes impairs.

Dans un rectangle de longueur 4 et de largeur 3, on peut dessiner 12 carrés de côté 1, 6 carrés de côté 2 et 2 carrés de côté 3. Au total, on peut dessiner 20 carrés. Nous dirons que c'est un rectangle-20.

Quelle est l'aire du rectangle-6400 dont la forme est la plus proche d'un carré ?

N.B. Les dimensions sont entières tant pour le rectangle que pour les carrés.

La suite des nombres triangulaires est générée en additionnant les nombres naturels. Ainsi, le 7^ème nombre triangulaire est 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Les dix premiers nombres triangulaires sont les suivants :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
Enumérons les diviseurs des sept premiers nombres triangulaires :

1 : 1
3 : 1, 3
6 : 1, 2, 3, 6
10 : 1, 2, 5, 10
15 : 1, 3, 5, 15
21 : 1, 3, 7, 21
28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28

Nous pouvons voir que 28 est le premier nombre triangulaire à avoir plus de cinq diviseurs.

Quelle est la valeur du premier nombre triangulaire à avoir plus de mille diviseurs ?

En mathématiques, on appelle "suite de Syracuse" une suite d'entiers naturels définie de la manière suivante :

On part d'un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1.
En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.

Il existe une conjecture qui dit que la suite de Syracuse de n'importe quel entier strictement positif atteint 1.

Par exemple, à partir de 14, on construit la suite des nombres : 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. C'est ce qu'on appelle la suite de Syracuse du nombre 14. Elle a ici une longueur de 18.

Pour quel nombre de départ inférieur à 1'500'000 obtient-on la plus longue suite de Syracuse? Il y a deux solutions, donner la plus petite.

On remplit une grille 3x3 avec tous les nombres de 1 à 9 (cases vertes). Puis on calcule les produits des trois nombres de chaque ligne et de chaque colonne (cases grises). Enfin, on additionne ces six produits pour obtenir le nombre bleu (450 dans l'exemple donné).

Sur les 362'880 grilles possibles, quel est le nombre bleu minimum et le nombre bleu maximum ? Donner comme résultat le produit de ces deux nombres.

Un cryptarithme est un casse-tête numérique et logique qui consiste en une équation mathématique où les lettres représentent des chiffres à trouver. Chaque lettre différente représente un chiffre différent et chaque chiffre est représenté par la même lettre.

Résoudre le cryptarithme ci-dessous (donner comme réponse le produit obtenu) :

THREE x NINE = TROIS x NEUF
Contraintes:
THREE et NEUF sont des multiples de 9;
TROIS et NINE sont des multiples de 3.

Soit d(n) la somme des diviseurs propres de n (diviseurs strictement plus petits que n). Si d(a)=b et d(b)=a, avec a différent de b, alors a et b sont dits amicaux.
Par exemple, les diviseurs propres de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110; donc d(220) = 284. Les diviseurs propres de 284 sont 1, 2, 4, 71 et 142; donc d(284) = 220. 220 et 284 sont deux nombres amicaux.
La somme des nombres amicaux entre 1 et 1000 vaut 220 + 284 = 504.

Quelle est la somme des nombres amicaux compris entre 1 et 100'000 ?

Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est exactement égal au nombre. Par exemple, la somme des diviseurs propres de 28 serait 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, ce qui signifie que 28 est un nombre parfait.
Un nombre n est appelé déficient si la somme de ses diviseurs propres est inférieur à n et on l'appelle abondant si cette somme est supérieure à n .
Comme 12 est le plus petit nombre abondant (1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16), le plus petit nombre qui peut être écrit comme la somme de deux nombres abondants est 24.

Trouver la somme de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 2013 qui ne peuvent pas être écrits comme la somme de deux nombres abondants.

Des petits hommes verts rencontrent des petits hommes bleus. A leur grand étonnement, ils constatent que leurs mains ne comportent pas le même nombre de doigts : 7 pour les bleus et 8 pour les verts. Mais les savants des deux peuples remarquent que si l'on compte sur les doigts comme indiqué sur la figure, en faisant des allers-retours de l'auriculaire vers le pouce, puis du pouce vers l'auriculaire, certains nombres se comptent à la fois sur l'annulaire des mains bleues et sur celui des mains vertes (le 2 et le 14 par exemple).
Ces nombres ont été qualifiés d'"annulaires" par les savants.

Calculer la somme des nombres annulaires compris entre 1 et 2013.

Une bataille entre Hercule et une (ou plusieurs) hydre(s) peut se décrire par les étapes suivantes:

Lors du premier coup, l'hydre perd une tête et une copie de l'hydre blessée (c'est-à-dire avec une tête en moins) apparaît. Lors du deuxième coup, une hydre perd une tête et deux copies de l'hydre blessée apparaissent. Au dixième coup, une hydre perd une tête, alors dix copies apparaissent et ainsi de suite.
Lorsqu'une hydre à une tête reçoit un coup, elle disparaît.
Pour compliquer l'histoire, la perfide Héra force Hercule à couper les têtes dans l'ordre le pire possible, de sorte qu'il mette le plus de temps pour détruire les hydres.

Exemple: Hercule combat deux hydres à deux têtes et deux hydres à une tête.
En considérant qu'Hercule soit capable de couper une tête à chaque seconde, combien de secondes lui seront nécessaires pour venir à bout d'une hydre à quatre têtes?

2013 a une particularité intéressante : c'est la première année depuis 1987 à être composée de chiffres tous différents. Une période de 26 ans sépare ces deux dates.

Entre l'an 1 et 2013 (compris) :

Combien y a-t-il eu d'années composées de chiffres tous différents ? (les années de l'an 1 à l'an 9 seront comptées dans ce nombre).

Quelle a été la durée (en années) de la plus longue période séparant deux dates ayant des chiffres tous différents ?

Donner le produit des résultats de a) et b).

Une permutation est un arrangement ordonné d'objets. Par exemple, 3124 est une permutation possible des chiffres 1, 2, 3 et 4.
La liste des permutations dans l'ordre lexicographique de 0, 1 et 2 est la suivante :

012, 021, 102, 120, 201, 210
Dans l'ordre lexicographique, quelle est la deux-millionième permutation des chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ?

La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence :

F_n = F_n-1 + F_n-2 , avec F₁=1 et F₂=1.
Ainsi, les 12 premiers termes sont les suivants : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Le terme de rang 12, F₁₂, est le premier terme qui comprend 3 chiffres.

Quel est le rang du premier terme de la suite de Fibonacci qui comprend 2013 chiffres ?

Euler a publié le polynôme quadratique remarquable :
n² + n + 41
Il s'avère que cette formule fournit 40 nombres premiers pour les valeurs successives de n allant de 0 à 39. Toutefois, lorsque n=40, 40²+40+41 = 40(40+1)+41 est divisible par 41.

En utilisant l'ordinateur, la formule incroyable n² - 79 n + 1601 a été découverte. Elle fournit 80 nombres premiers pour les valeurs successives de n allant de 0 à 79 (chaque nombre premier apparaît deux fois) :

1601, 1523, 1447, 1373, 1301, 1231, 1163, 1097, 1033, 971, 911, 853, 797, 743, 691, 641, 593, 547, 503, 461, 421, 383, 347, 313, 281, 251, 223, 197, 173, 151, 131, 113, 97, 83, 71, 61, 53, 47, 43, 41, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601.

Le produit des coefficients, -79 et 1601, donne -126479.

Considérons les polynômes quadratiques de la forme :

n² + an + b , avec |a| < 1500 et |b| < 1500

où |n| est la valeur absolue de n (par exemple |11| = 11 et |-4| = 4).

Donner le produit des coefficients a et b du polynôme quadratique qui génère la plus longue suite de nombres premiers pour les valeurs successives de n, à partir de n=0.

En commençant par le chiffre 1, et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, une spirale 5 x 5 est construite comme suit:

21 22 23 24 25
20 7 8 9 10
19 6 1 2 11
18 5 4 3 12
17 16 15 14 13

On peut vérifier que la somme des nombres sur les diagonales est 101.

Quelle est la somme des nombres sur les diagonales d'une spirale 2013 x 2013 construite de la même façon ?

Considérons a^b pour 2 ≤ a ≤ 5 et 2 ≤ b ≤ 5 :

2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32
3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
4²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=1024
5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125

Si l'on trie ces nombres dans l'ordre croissant, en supprimant les répétitions, on obtient une suite de 15 termes distincts :

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Combien y a-t-il de termes distincts dans la suite obtenue comme ci-dessus pour 2 ≤ a ≤ 1000 et 2 ≤ b ≤ 1000 ?

Étonnamment, il y a seulement trois nombres qui peuvent être écrits comme la somme des puissances quatrièmes de leurs chiffres :

1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴
8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴
9474 = 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴

On ne compte pas 1 = 1⁴ car ce n'est pas une somme.

La somme de ces nombres est 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Trouver la somme de tous les nombres qui peuvent être écrits comme la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres.

Le produit 7254 est intéressant, car l'identité 39 x 186 = 7254, composée dans l'ordre du multiplicande, du multiplicateur et du produit, utilise exactement une fois tous les chiffres de 1 à 9.

Trouver la somme de tous les produits ayant cette propriété.

Attention ! Un même produit peut être obtenu de plusieurs manières. Il ne devra être compté qu'une fois dans la somme.

Le nombre 3797 possède une propriété intéressante. Il est premier et il est reste premier quand on élimine un par un de gauche à droite les chiffres qui le compose : 3797, 797, 97 et 7 sont tous premiers. Idem en éliminant les chiffres de droite à gauche: 3797, 379, 37, et 3 sont aussi tous premiers.

Trouver la somme des onze nombres premiers qui sont à la fois tronquables de gauche à droite et de droite à gauche.

Remarque : 2, 3, 5 et 7 ne sont pas considérés comme des nombres premiers tronquables.

La suite de Conway est une suite mathématique inventée en 1986 par le mathématicien John Horton Conway, initialement sous le nom de « suite audioactive ». Dans cette suite, un terme se détermine en annonçant les chiffres formant le terme précédent.

T1 = 1
T2 = 11
T3 = 21
T4 = 1211
T5 = 111221
T6 = 312211
T7 = 13112221
T8 = 1113213211
T9 = 31131211131221
...

Si T1 = 2, combien y aura-t-il de 1 dans T50 ?

La constante de Champernowne est un nombre réel irrationnel créé en concaténant les entiers positifs :

0.123456789101112131415161718192021...
On peut voir que le 12ème chiffre de la partie fractionnaire est 1.

Si d_n représente le n-ième chiffre de la partie fractionnaire, quelle est la valeur de l'expression suivante :

d₁ x d ₁₀ x d₁₀₀ x d₁₀₀₀ x d_10'000 x d_100'000 x d_1'000'000 x d_10'000'000 x d_100'000'000

Les nombres pentagonaux obéissent à la formule Pn=n(3n-1)/2. Les dix premiers nombres pentagonaux sont :

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...
On peut voir que P4 + P7 = 22 + 70 = 92 = P8. Cependant, leur différence, 70 - 22 = 48, n'est pas pentagonale.

Trouver les deux nombres pentagonaux Pj et Pk, dont la somme et la différence sont pentagonales, et dont D = |Pk - Pj| est minimisée. Donner la valeur de D.

Les nombres triangulaires, pentagonaux, et hexagonaux obéissent aux formules suivantes:

Triangulaire	Tn=n(n+1)/2 :	1, 3, 6, 10, 15, ...
Pentagonal	Pn=n(3n-1)/2 :	1, 5, 12, 22, 35, ...
Hexagonal	Hn=n(2n-1) :	1, 6, 15, 28, 45, ...

On peut vérifier que T285 = P165 = H143 = 40755.

Trouver le nombre triangulaire suivant qui est aussi pentagonal et hexagonal.

Christian Goldbach avait conjecturé que tout nombre impair composé pouvait s'écrire comme la somme d'un nombre premier et du double d'un carré.

9 = 7 + 2 x 1²
15 = 7 + 2 x 2²
21 = 3 + 2 x 3²
25 = 7 + 2 x 3²
27 = 19 + 2 x 2²
33 = 31 + 2 x 1²

Il s'avère que cette conjecture est fausse.

Quel est le plus petit nombre composé impair qui contredit cette conjecture ?

Les deux premiers nombres consécutifs ayant deux facteurs premiers distincts sont :

14 = 2 x 7
15 = 3 x 5

Les trois premiers nombres consécutifs ayant trois facteurs premiers distincts sont :

644 = 2² x 7 x 23
645 = 3 x 5 x 43
646 = 2 x 17 x 19.

Trouver les quatre premiers nombres consécutifs ayant quatre facteurs premiers distincts. Quel est le plus petit de ces nombres ?

La progression arithmétique 1487, 4817, 8147, de raison 3330, est spéciale pour deux raisons:

les 3 termes sont premiers
les 3 termes sont composés des mêmes chiffres

Il existe une seule autre progression arithmétique de nombres de 4 chiffres ayant les mêmes propriétés. Laquelle ?
Donner comme réponse le premier terme multiplié par la raison.

Un cryptarithme est un casse-tête numérique et logique qui consiste en une équation mathématique où les lettres représentent des chiffres à trouver.

Résoudre le cryptarithme ci-dessous (donner comme réponse la somme obtenue) :

    ARGAND
   + EULER
   -------
    GULDIN

Indications supplémentaires :

le chiffre 2 n'apparaît pas ;
le chiffre 0 apparaît.

Soit une grille carrée de 3 cases sur 3. On veut remplir cette grille avec des nombres entiers. Au départ, on place dans une case le nombre 20 et dans une autre le nombre 13. Les autres cases sont remplies les unes après les autres, dans un ordre à définir. Le nombre que l'on place dans une case doit être la somme des nombres situés sur les cases environnantes (c'est-à-dire les cases qui touchent la case à remplir par un côté ou un coin). Le plus grand nombre placé est appelé nombre de remplissage de la grille.

Où placer les deux nombres de départ et dans quel ordre remplir les cases de la grille pour obtenir le nombre de remplissage le plus grand possible ?

Quel est le nombre de remplissage le plus grand ?

Si l'on prend 47, qu'on le retourne et que l'on additionne les deux nombres (47 + 74 = 121), on obtient un palindrome, c'est-à-dire un entier naturel égal à lui-même s'il est lu de gauche à droite ou de droite à gauche. Idem pour 20 : 20 + 02 = 22.
Tous les nombres ne produisent pas des palindromes aussi rapidement, par exemple, il faut 3 itérations si l'on part de 349 : 349 + 943 = 1292, 1292 + 2921 = 4213, 4213 + 3124 = 7337.
Il existe aussi des nombres, par exemple 196, qui ne produiront jamais un palindrome en suivant ce processus. Ces nombres sont appelés « nombres de Lychrel ».

Sachant que 10'677 est le premier nombre nécessitant plus de 50 itérations pour produire un palindrome, combien y a-t-il de nombres de Lychrel inférieurs à 10'000 ?

Racine de deux peut être représentée par une fraction continue :

Les 4 premières itérations donnent :

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 = 1.4
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 = 1.41666...
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 = 1.41379...

Les trois fractions suivantes sont 99/70, 239/169, et 577/408. La huitième fraction, 1393/985, est la première où le numérateur a plus de chiffres que le dénominateur.

Parmi les 10'000 premières fractions, combien y en a-t-il où le numérateur a plus de chiffres que le dénominateur ?

En partant de 1 et en formant une spirale en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient un carré de largeur 7:

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18 5 4 3 12 29
40 19 6 1 2 11 28
41 20 7 8 9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Il est intéressant de remarquer que les carrés impairs se trouvent sur la diagonale partant de 1 vers le coin inférieur droit. Il est encore plus intéressant de constater que 8 des 13 nombres se trouvant sur les diagonales sont premiers, soit environ 62% des nombres premiers.
Si l'on ajoute une couche à la spirale, on obtiendra un carré de largeur 9.
En continuant ce processus, pour quelle largeur de la spirale y aura-t-il pour la première fois moins de 13% de nombres premiers sur les diagonales ?

Un nombre intouchable est un entier naturel qui ne peut pas être exprimé comme la somme des diviseurs propres d'un entier (diviseurs autres que l'entier lui-même).

Par exemple, 9 n'est pas intouchable, car 15 a pour diviseurs propres 1, 3, 5, et 1+3+5 = 9.

Par contre, 52 est intouchable car aucun entier n'a 52 pour somme de diviseurs propres.

Les premiers nombres intouchables sont : 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, ...

Si k n'est pas intouchable, notons p(k) le plus petit entier dont la somme des diviseurs propres est k. Quelle est la valeur maximale de p(k), pour k inférieur à 666?

Les 2013 membres d'une secte ont décidé de se suicider. Pour effectuer le rituel funèbre, ils se mettent en cercle, puis se numérotent dans l'ordre de 1 à 2013.
On commence à compter, à partir du numéro 1. Toutes les 7 positions, la personne désignée devra mourir. Ainsi, la première à mourir aura le no 7, la deuxième le 14, la troisième le 21, etc.
Vous faites partie de cette secte, mais vous n'avez aucune envie de mourir! Il s'agit donc de trouver la position sur le cercle qui vous permettra d'être désigné en dernier, et donc d'échapper à la mort.

Quelle est la position qui vous sauvera ?

Un chiffre est isolé s'il a comme voisin gauche et voisin droit un chiffre différent de lui-même. Par exemple, dans 776444, 6 est isolé, mais les autres chiffres ne le sont pas.

D'autre part, les trois premiers nombres non multiples de 10 dont les carrés ne contiennent aucun chiffre isolé sont :

88² = 7744
74162² = 5500002244
105462² = 11122233444

Quel est le quatrième ?

Les chiffres du cube 41063625 (345³), peuvent être permutés pour produire deux autres cubes: 56623104 (384³) et 66430125 (405³). En fait, 41063625 est le plus petit cube qui a cette propriété.

Trouver le plus petit cube pour lequel exactement quatre des permutations de ses chiffres sont des cubes.

Précision : le cube lui-même + 3 permutations de ses chiffres.

Considérons un nombre entier positif, par exemple 377. Multiplions ses chiffres : 3x7x7=147. Opérons de même avec le résultat 147: 1x4x7 = 28. Recommençons: 2x8=16. Encore: 1x6=6. Arrivé à un nombre d'un seul chiffre, on s'arrête.

377, 147, 28, 16, 6 est la « suite multiplicative » de 377 et la « persistance multiplicative » p de 377 est le nombre de fois qu'il a fallu multiplier les chiffres avant d'arriver à un nombre à un seul chiffre ; ici, p = 4.

On conjecture que p ne peut pas dépasser 11...

Quel est le plus petit entier inférieur à 1'000'000 qui a la persistance multiplicative p la plus grande ?

Une fraction unitaire est un nombre rationnel écrit sous la forme d'une fraction où le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif.

1/2 = 0.5
1/3 = 0.(3)
1/4 = 0.25
1/5 = 0.2
1/6 = 0.1(6)
1/7 = 0.(142857)
1/8 = 0.125
1/9 = 0.(1)
1/10 = 0.1

0.1(6) signifie 0.166666... 1/6 a une période de 1 chiffre dans son développement décimal. On peut voir que 1/7 a une période de 6 chiffres, tandis que 1/2 n'a pas de période.

Trouver la valeur de d<5000, où 1/d a la plus longue période dans son développement décimal.

Deux nombres entiers sont relativement premiers si leur plus grand diviseur commun est 1. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux.
La fonction d'Euler, φ(n), est utilisée pour déterminer le nombre d'entiers plus petits que n qui sont relativement premiers à n. Par exemple, comme 1, 2, 4, 5, 7, et 8, sont tous plus petits que 9 et relativement premiers à 9, φ(9)=6.

n	Relativement premiers	φ(n)	n/φ(n)
2	1	1	2
3	1,2	2	1.5
4	1,3	2	2
5	1,2,3,4	4	1.25
6	1,5	2	3
7	1,2,3,4,5,6	6	1.1666...
8	1,3,5,7	4	2
9	1,2,4,5,7,8	6	1.5
10	1,3,7,9	4	2.5

On peut voir que n/φ(n) est maximum pour n=6.

Trouver la valeur de n < 1'000'000 pour laquelle n/φ(n) est maximum.

Le nombre 145 est bien connu pour la propriété que la somme de la factorielle de ses chiffres est égale à 145:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

Avec ce procédé, 169 produit la plus longue boucle de nombres. Il s'avère qu'il n'y a que trois de ces boucles qui existent:

169 -> 363601 -> 1454 -> 169
871 -> 45361 -> 871
872 -> 45362 -> 872

Il n'est pas difficile de prouver que tout nombre de départ finira par produire une boucle. Par exemple,

69 -> 363600 -> 1454 -> 169 -> 363601 (-> 1454)
78 -> 45360 -> 871 -> 45361 (-> 871)
540 -> 145 (-> 145)

69 produit une chaîne de 5 termes différents.

Quel est le plus petit nombre inférieur à 5 millions qui produit la plus longue chaîne de termes différents ?

X et Y sont deux nombres entiers différents, supérieurs à 1, avec X+Y < 100.
Simon et Paul sont deux mathématiciens. Simon connaît la somme S=X+Y. Paul connaît le produit P=X*Y. Simon sait que Paul connaît le produit et Paul sait que Simon connaît la somme.
Une conversation s'engage entre les deux mathématiciens :

Paul dit: "Je ne peux pas trouver ces nombres."
Simon dit: "J'étais sûr que vous ne pouviez pas les trouver. Je ne peux pas les trouver non plus."
Paul dit: "Alors, j'ai trouvé ces nombres."
Simon dit: "Si vous avez pu les trouver, alors je les ai aussi trouvés."

Quels sont ces nombres ? Donner comme réponse le produit X*Y*S*P

Les nombres entiers naturels sont arrangés comme l'indique le schéma ci-dessous :

1ère ligne :  1  2  6  7 15 16 ...
2ème ligne :  3  5  8 14 17 ...
3ème ligne :  4  9 13 18 ...
4ème ligne : 10 12 ...
5ème ligne : 11 ...
...        : ...

(on ajoutera autant de lignes qu'il faudra)

Dans quelle ligne se trouve le nombre 20142014 ?

Deux nombres sont premiers entre eux si leur plus grand diviseur commun est 1. Par exemple, 8 et 9 sont premiers entre eux.
L'indicatrice d'Euler est la fonction φ qui donne le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n.

φ(1) = 1, par définition.
φ(2) = 1, car 1 est premier avec tous les nombres entiers.
φ(3) = 2, car 1 et 2 sont premiers avec 3.
φ(4) = 2, car 1 et 3 sont premiers avec 4.
φ(5) = 4, car 1, 2, 3 et 4 sont premiers avec 5.
φ(6) = 2, car 1 et 5 sont premiers avec 6.
φ(7) = 6, car tous les nombres de 1 à 6 sont premiers avec 7.
φ(8) = 4, car parmi les nombres de 1 à 8, seuls les quatre nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8.
...

Trouver le plus petit nombre entier n tel que φ(n) = φ(n+1) = φ(n+2)

J'effectue un parcours de la façon suivante :

1^ère étape : j'avance de 1 centimètre.
2^ème étape : je tourne à gauche de 90° et j'avance de 2 cm.
3^ème étape : je tourne à gauche de 90° et j'avance de 3 cm.
...
N^ième étape : je tourne à gauche de 90° et j'avance de N centimètres.

A la fin d'une étape, je me retrouve à plus de 65 kilomètres de mon point de départ (à vol d'oiseau). De plus, cette distance est un nombre entier de centimètres.

Quelle est la longueur minimum du parcours (en centimètres) ?

Un million de joueurs participent à un jeu qui comporte 10 niveaux. Au début, tous les joueurs sont au niveau 1.

À la fin de chaque tour de jeu, chaque joueur lance un dé équilibré à douze faces, numérotées de 1 à 12. Le joueur avance d'un niveau s'il obtient un nombre supérieur au numéro de son niveau actuel. Sinon, il reste au même niveau.

Attention ! Au niveau 10, "avancer d'un niveau" signifie retourner au niveau 1 !

Au bout d'un certain temps, le nombre de joueurs dans chaque niveau tend à se stabiliser.

Quel sera alors en moyenne le nombre de joueurs au niveau 10 ? On arrondira à l'entier le plus proche.

276 lampes sont numérotées de 1 à 276.
Pour passer le temps, 25 enfants appuient sur les interrupteurs à tour de rôle. Le premier enfant presse chaque interrupteur. Le second presse les boutons 2, 4, 6 , etc. (tous les boutons ayant un numéro multiple de 2), le troisième appuie sur les boutons 3, 6, 9, etc. Le quatrième presse tous les boutons ayant un numéro multiple de 4, et ainsi de suite jusqu'au 25ème enfant.
Avant le passage du premier enfant, toutes les ampoules sont éteintes.

Combien d'ampoules seront allumées après le passage des 25 enfants ?

Une conjecture affirme que tous les nombres impairs peuvent s'écrire sous la forme p + 2×k², où p est un nombre premier et k un entier positif ou nul.

9 = 7 + 2×1²
15 = 7 + 2×2²
21 = 3 + 2×3²
25 = 7 + 2×3²
27 = 19 + 2×2²
33 = 31 + 2×1²

Or, cette conjecture est fausse.

Donner la somme des nombres entre 2 et 100'000 qui contredisent cette conjecture.

Une suite d'entiers est créée de la façon suivante : le nombre suivant de la liste est obtenu en additionnant les carrés des chiffres du nombre précédent.

Deux exemples :

44 > 32 (=16+16) > 13 (=9+4) > 10 (=1+9) > 1 > 1

85 > 89 > 145 > 42 > 20 > 4 > 16 > 37 > 58 > 89

On peut voir qu'une suite qui arrive à 1 ou 89 restera coincée dans une boucle infinie. Le plus incroyable est qu'avec n'importe quel nombre de départ strictement positif, toute suite arrivera finalement à 1 ou 89.

Combien de nombres de départ inférieurs ou égal à 5 millions arriveront à 89 ?

Un cryptarithme est un casse-tête numérique et logique qui consiste en une équation mathématique où les lettres représentent des chiffres à trouver.
Dans la multiplication ci-dessous, I désigne un chiffre impair et P un chiffre pair. Par exemple, P P I I pourrait être le nombre 4413 ou 2873.

      I P P
  x     P P
  ---------
    P I P P
    P I P
  ---------
    I I P P

Que vaut ce produit (IIPP) ?

On place les entiers dans un tableau selon la disposition ci-dessous :

Une ligne est désignée par le nombre le plus à gauche de cette ligne.
Une colonne est désignée par le nombre le plus en haut de cette colonne.
La position d'un nombre est repérée par ces deux coordonnées. Par exemple, 15 est en position (10,9).

Quelles sont les coordonnées de 2014 dans ce tableau ? Donner comme réponse le produit des deux coordonnées.

Le nombre 242 est le début d'une suite de quatre entiers consécutifs ayant le même nombre de diviseurs. En effet, 242, 243, 244 et 245 ont chacun 6 diviseurs :

242 : 1, 2, 11, 22, 121, 242
243 : 1, 3, 9, 27, 81, 243
244 : 1, 2, 4, 61, 122, 244
245 : 1, 5, 7, 35, 49, 245

Considérons les entiers inférieurs à 50'000.
Quel est le plus petit entier qui est le début de la plus longue suite d'entiers ayant le même nombre de diviseurs ?

Calculons des nombres entiers en utilisant exactement une fois chacun des chiffres de l'ensemble {1, 2, 3, 4}, avec les quatre opérations arithmétiques +, -, *, / et les parenthèses.

Par exemple,

8 = (4 * (1 + 3)) / 2
14 = 4 * (3 + 1 / 2)
19 = 4 * (2 + 3) - 1
36 = 3 * 4 * (2 + 1)

La concaténation des chiffres, comme 12 + 34 n'est pas autorisée.

En utilisant l'ensemble {1, 2, 3, 4}, il est possible d'obtenir 31 nombres différents, avec comme maximum 36; tous les nombres de 1 à 28 peuvent être obtenus.

Trouver l'ensemble de 4 chiffres distincts a < b < c < d, pour lequel on peut obtenir la plus longue chaîne des entiers consécutifs de 1 à n. Donner comme réponse la chaîne abcd.

2015 est un nombre palindrome... en base 2. En effet, 2015 = 11111011111₂.

Ce n'est pas si rare que cela, puisque 2016 est aussi un nombre palindrome en base 2 et même en base 3 (à condition d'ajouter des 0 à gauche). En effet, 2016 = 0000011111100000₂ = 002202200₃.

Si l'on considère les bases de 2 à 16, combien d'années du 3ème millénaire (2001-3000) seront des nombres palindromes dans au moins une de ces bases ? On ajoutera au besoin des 0 à gauche, quelle que soit la base. Par exemple, 2020 sera considéré comme palindrome, car on pourrait l'écrire 02020₁₀.

Dans une urne contenant des boules bleues et des boules rouges, on tire deux boules au hasard.
Si l'urne contient 21 boules colorées, 15 bleues et 6 rouges, la probabilité de tirer 2 boules bleues est P(BB) = (15/21)×(14/20) = 1/2.
La prochaine répartition bleues/rouges qui donne P(BB) = 1/2 est 85 bleues et 35 rouges : P(BB) = (85/120)×(84/119) = 1/2.

Trouver la première répartition bleues/rouges où P(BB) = 1/2, dans une urne contenant plus de 10 milliards de boules. Donner comme réponse le nombre de boules bleues.

Remplir les cases de la grille ci-dessous avec des nombres entiers, de telle sorte que chacune de ces dix cases nouvellement remplies contienne un nombre qui soit la moyenne des nombres contenus dans les quatre cases avec lesquelles elle a un côté commun.

Quel est le produit des nombres de ces 10 cases nouvellement remplies (en excluant les éventuels 0) ?

Un nombre triangulaire est un nombre figuré qui peut être représenté par un triangle. Les premiers nombres triangulaires sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 ...
Un nombre tétraédrique est un nombre figuré qui peut être représenté par une pyramide avec une base triangulaire, c'est-à-dire un tétraèdre. Les premiers nombres tétraédriques sont : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...


Les six premiers nombres triangulaires	Le cinquième nombre tétraédrique (35)

On voit que les nombres 1 et 10 sont à la fois triangulaires et tétraédriques.

Quel est le plus grand nombre à la fois triangulaire et tétraédrique ?

Un entier naturel k de n chiffres est dit nombre de Kaprekar naturel si son carré se décompose en une partie droite de n chiffres et une partie gauche de n ou n-1 chiffres telles que leur somme donne k.

45 est le 3^ème nombre de Kaprekar naturel, car 45² = 2025 et 20+25 = 45.
297 est le 6^ème nombre de Kaprekar naturel, car 297² = 88209 et 88+209 = 297.

Les 15 premiers nombres de Kaprekar naturels sont : 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999.

Quel est le 49^ème nombre de Kaprekar naturel ?

Deux chiffres seulement (0 et 1) suffisent pour écrire une multiplication correcte correspondant à la configuration ci-dessous.

Il existe d'autres solutions comme 1111 x 11 par exemple, qui utilisent uniquement des 1 et des 2.

Avec la configuration ci-dessous, ce n'est plus possible. Même trois chiffres n'y suffisent pas. Avec quatre chiffres, c'est enfin possible. Il n'y a que deux multiplications satisfaisant cette condition.

Quel est le produit des résultats de ces deux multiplications ?

Trois points distincts sont placés au hasard sur le plan cartésien, avec -1000 ≤ x, y ≤ 1000, de telle sorte qu'un triangle est formé.
Considérons les triangles ABC et DEF suivants :

A(-340; 495), B(-153; -910), C(835; -947)
D(-175; 41), E(-421; -714), F(574; -645)

On peut vérifier que l'origine (0; 0) est à l'intérieur du triangle ABC, mais à l'extérieur du triangle DEF.

Le fichier 120-fichier.txt (clic droit et 'Enregistrer le lien sous...') contient les coordonnées des sommets de dix mille triangles.

Combien de ces triangles contiennent l'origine ?

Remarque : les deux premières lignes du fichier représentent les triangles de l'exemple donné ci-dessus.

Pour obtenir un carré enchanté, remplir les neuf cases du carré ci-dessous avec les chiffres de 1 à 9 de telle sorte que la somme des nombres écrits dans un carré de quatre cases soit toujours la même.

Exemple :

9	1	8
2	7	3
6	4	5

9+1+2+7 = 1+8+7+3 = 2+7+6+4 = 7+3+4+5 = 19

Combien y a-t-il de carrés enchantés (sans tenir compte des symétries) ?

Pour obtenir un carré hétérogène d'ordre 3, remplir les neuf cases du carré ci-dessous avec les chiffres de 1 à 9 de telle sorte que les huit sommes des trois nombres des lignes, des colonnes et des deux diagonales soient toutes différentes.

Exemple :

4	5	7
1	3	8
9	2	6

4+5+7 ≠ 1+3+8 ≠ 9+2+6 ≠ 4+1+9 ≠ 5+3+2 ≠ 7+8+6 ≠ 4+3+6 ≠ 7+3+9

Combien y a-t-il de carrés hétérogènes d'ordre 3 (sans tenir compte des symétries) ?

Dans un carré antimagique, les sommes des lignes, des colonnes et des diagonales ne doivent pas seulement être toutes différentes, comme dans un carré hétérogène (voir le problème 122). Les sommes doivent se suivre, par exemple de 29 à 38.
Il n'existe pas de carrés antimagiques d'ordre 1, 2 ou 3.

Combien existe-t-il de carrés antimagiques qui complètent le carré partiellement rempli ci-dessous ?



		14	13
16	15	4	2

Le nombre minimum de cubes pour couvrir toutes les faces visibles d'un parallélépipède rectangle de dimensions 3 x 2 x 1 est 22.

Si nous ajoutions ensuite une deuxième couche à ce solide, il faudrait 46 cubes pour couvrir tous les faces visibles, la troisième couche exigerait 78 cubes, et la quatrième couche exigerait 118 cubes.
Toutefois, la première couche sur un parallélépipède de dimensions 5 x 1 x 1 exige également 22 cubes. De même, la première couche sur des parallélépipèdes de dimensions 5 x 3 x 1, 7 x 2 x 1 et 11 x 1 x 1 demandent toutes 46 cubes.
Nous utiliserons la notation C(n) pour représenter le nombre de parallélépipèdes rectangles qui contiennent n cubes dans une de ses couches. Donc, C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5, et C(118) = 8.
Il s'avère que 154 est la plus petite valeur de n pour laquelle C(n) = 10.

Trouver la plus petite valeur de n pour laquelle C(n) = 100.

Pierre de Fermat (1601?-1665) désigne par le terme "sous-double" un entier dont la somme de ses diviseurs propres est égale au double de ce nombre.

Par exemple, la somme des diviseurs propres de 120 est égale à :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 = 240.

De même, il désigne par le terme "sous-triple" un entier dont la somme de ses diviseurs propres est égale au triple de ce nombre.

Donner la somme des sous-triples inférieurs à 100'000.

Un calendrier perpétuel est formé de 14 calendriers différents. En effet, le 1^er janvier commence un des sept jours de la semaine et une année peut être bissextile ou pas. Donc 7 x 2 = 14.
Vous allez commencer votre collection de calendriers en 2016. Quand le calendrier d'une année sera identique à un que vous possédez déjà, vous renoncerez à l'acheter.

Quand vous aurez complété votre collection, quelle sera la somme des années de vos 14 calendriers ?

On veut remplir les dix disques de la figure ci-dessous à l'aide de nombres entiers tous différents compris entre 1 et 12, de telle sorte que les cinq alignements de quatre nombres et le cercle de cinq nombres réalisent la même somme.

Donner comme réponse le nombre formé par la juxtaposition des quatre nombres situés sur les ronds bleus, lus de gauche à droite.

On note F(n)=1+2+3+...+n la somme des n premiers entiers non nuls.
J'aurais voulu, avant d'en faire la somme, écrire sur mon ordinateur tous les entiers de 1 à n. Seul problème, la touche "4" de mon clavier ne fonctionne plus.
J'ai donc eu l'idée de remplacer tous les "4" par d'autres valeurs, par exemple par des "3".
En faisant ainsi, il est clair que la somme obtenue sera inférieure à F(n).
Pour rectifier un peu, j'ai donc décidé de remplacer alternativement le "4" par un "3" puis par un "5" et j'ai noté S(n) la somme des n nombres obtenus.

Par exemple, on a S(6)=1+2+3+3+5+6=20 et F(6)=21.
De même, S(20)=1+2+3+3+5+...+12+13+15+15+16+..+20=F(20).
On a aussi S(50)=1256 et F(50)=1275.

Quelle est la plus grande valeur de n, inférieure à un million, pour laquelle on a S(n)=F(n) ?

On note S(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n la somme des n premiers entiers non nuls.
De plus, on note I(n) la somme des n premiers entiers inversés.

On obtient alors, par exemple,
S(14) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 + 11 + 12 + 13 + 14
et
I(14) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 01 + 11 + 21 + 31 + 41.

On voit facilement que X=10 est la première valeur pour laquelle S(X) > I(X).

Quelle sera la somme des entiers "X" inférieurs à un million qui possèdent la propriété S(X) > I(X).

La moyenne des carrés des nombres entiers de 1 à 5 est égale à (1+4+9+16+25)/5 = 11.
La moyenne des carrés des nombres entiers de 1 à 77 est égale à 2015.

Combien de nombres entiers positifs strictement inférieurs à un milliard sont égaux à la moyenne des carrés des nombres entiers consécutifs de 1 jusqu'à un certain nombre ?

Note : la moyenne d'un seul nombre est égale à ce nombre.

Un gourou a enfermé ses 33 adeptes chacun dans une pièce de son immense manoir. Les adeptes ne peuvent pas communiquer entre eux.
Le gourou habite dans une chambre luxueuse de son manoir, dans laquelle se trouve la "lampe de la vérité". Il propose un jeu initiatique à ses adeptes. Chaque jour, il emmènera dans sa chambre un adepte tiré au sort en secret. Là, ce dernier sera libre d'actionner ou non l'interrupteur de la lampe. Le gourou ne touchera jamais la lampe, qui est éteinte au début du jeu.
L'enjeu est le suivant : si un adepte, quand il pénètre dans la chambre du gourou, affirme que tous les adeptes sont déjà venus au moins une fois dans cette chambre et qu'il a raison, les 33 adeptes seront libérés. En revanche, s'il a tort, tous les adeptes entameront un transit vers Vénus...
Avant que le jeu commence et que les adeptes soient isolés dans leur chambre, ils ont un moment pour mettre au point une stratégie. Leur seul moyen de communiquer sera la "lampe de la vérité".

Le fichier tirage.txt contient le résultat de 10'000 tirages au sort du gourou (des numéros de 1 à 33, indiquant la chambre de l'adepte). Sur la ligne 1 se trouve le numéro de l'adepte appelé le premier jour, sur la ligne 2 l'adepte du deuxième jour, etc. Ce fichier ne peut évidemment pas être utilisé pour définir une stratégie, puisque les adeptes n'y ont pas accès.

S'ils découvrent la bonne stratégie, après combien de jours les adeptes seront-ils libérés ?

L'année 2015 a une belle propriété : 2015 = 84² - 71² = 48² - 17².
Il faudra attendre 3024 pour avoir la même propriété : 3024 = 75² - 51² = 57² - 15².
Pour les différences des deux carrés, on n'utilisera uniquement des nombres de deux chiffres qui ne sont ni multiples de 11, ni multiples de 10.

Donner la somme des années du 6^ème millénaire qui ont cette propriété.

Pour faire une réussite, Sisyphe a dessiné au sol 106 cases numérotées de 0 à 105, et il dispose d'un jeton et d'un dé à six faces (équilibré).
Sisyphe commence la réussite en posant le jeton sur la case 0. Il fait ensuite une série de lancers du dé. Lorsque le dé affiche la valeur k, il avance le jeton de k cases et :
- s'il atteint ou dépasse la case numéro 100, Sisyphe a gagné ;
- s'il arrive à une case dont le numéro est un nombre premier inférieur à 100, Sisyphe a perdu ;
- dans les autres cas, Sisyphe relance le dé et continue la réussite.

Quelle est la probabilité que Sisyphe gagne ?

On saisira comme réponse les dix derniers chiffres du numérateur de la fraction irréductible solution.

Le fichier dico.txt contient 323'471 mots français non accentués. On voudrait savoir dans combien d'entre eux les voyelles (sauf le y) se succèdent dans l'ordre cyclique a, e, i, o, u.
Voici quelques-uns de ces mots :

a, je, cage, coupable, hibou, émir, ...
Par contre, ces mots ne satisfont pas la contrainte :

engagé, capable, embout, émirat, lynx, ...
Combien de mots du dictionnaire dico.txt satisfont cette contrainte ?

On multiplie les chiffres composant un nombre plus grand que 9. Si le résultat est un nombre à un chiffre, on l'appelle l'image du nombre de départ. S'il a plus d'un chiffre, on répète l'opération jusqu'à obtenir un nombre à un chiffre.

Par exemple : 666 -> 216 -> 12 -> 2

Combien de nombres entre 10 et 10 millions ont comme image 6 ?

Un carré premier d'ordre 3 est une grille carrée de 3 x 3 dont chaque case contient un chiffre entre 0 et 9, ces chiffres formant des nombres premiers lorsqu'on les lit par colonnes ou par rangées. Il ne peut y avoir deux colonnes ou deux rangées identiques.
Un carré premier ambidextre est un carré premier qui contient toujours des nombres premiers, que les rangées soient lues de droite à gauche ou de gauche à droite.
Un carré premier omnidextre est un carré premier ambidextre dont les colonnes et les diagonales contiennent des nombres premiers qu'elles soient lues de haut en bas ou de bas en haut. Une autre contrainte pèse sur ces nombres premiers : ils ne peuvent pas commencer par 0.
Voici un exemple de carré premier omnidextre d'ordre 3 :

1	1	3
1	5	1
3	1	1

Combien y a-t-il de carrés premiers omnidextres d'ordre 3 ?

Thomas est représentant. Il désire inviter chaque semaine un de ses 10 clients à tour de rôle au restaurant, mais selon une fréquence qui serait fonction de la sympathie.
Il crée 10 fiches, inscrit dessus une note de 1 à 10 et les classe dans l'ordre croissant. Il invite toujours le client correspondant à la fiche de devant. Après le dîner, il classe cette fiche derrière un nombre de fiches correspondant à sa note.

Classement des cinq premières semaines :

Semaine 1 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
Semaine 2 [2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
Semaine 3 [1, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
Semaine 4 [3, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
Semaine 5 [1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

Quelle semaine le client ayant la note 10 sera pour la première fois en 4ème position dans le classement ?

Un cryptarithme est un casse-tête numérique et logique qui consiste en une équation mathématique où les lettres représentent des chiffres à trouver. L'écriture d'aucun nombre ne commence par un 0.

Résoudre le cryptarithme ci-dessous, sachant que FOC est un carré :

CUIRE + EN + POELE = FRIRE
Donner comme réponse la somme obtenue (FRIRE)

En divisant 100'000'000 par un nombre entier, il peut arriver que le diviseur, le quotient et le reste soient composés des mêmes chiffres. Plus précisément, tous les chiffres du diviseur sont présents au moins une fois dans le quotient et dans le reste. De plus, aucun autre chiffre n'apparaît.

Voici une possibilité : 100'000'000 / 91'810 = 1089, reste 18'910. Le 1, le 8, le 9 et le 0 apparaissent dans les trois nombres.

Quelle est l'autre possibilité ? Donnez comme réponse le diviseur.

Les nombres 4, 7, 19 et 37 ont une propriété remarquable :

Tout entier naturel peut s'écrire comme la somme d'au plus 4 carrés d’entiers (Théorème de Lagrange)
Tout entier naturel peut s'écrire comme la somme d'au plus 7 cubes d’entiers (à l'exception de 17 entiers, tous inférieurs à 455, qui en nécessitent 8 ou 9...)
Tout entier naturel peut s'écrire comme la somme d'au plus 19 puissances quatrièmes
Tout entier naturel peut s'écrire comme la somme d'au plus 37 puissances cinquièmes.

Remplissez la grille ci-dessous :

	a	b	c	d	e	f
A
B
C
D
E
F

Horizontalement
A. Puissance cinquième
B. Puissance cinquième
C. Puissance cinquième
D. Puissance cinquième
E. Puissance cinquième
F. Divisible par tous les entiers strictement inférieurs à sa racine cinquième et possède strictement plus de diviseurs que tous les entiers qui lui sont inférieurs.

Verticalement
a. Divisible par 19
b. Divisible par 37 et divisible par le cube d'un nombre premier
c. Divisible par 7
d. Nombre premier
e. Divisible par 4 et divisible par le cube d'un nombre premier
f. Divisible par 19

Ecrire comme résultat le nombre formé par les chiffres de la diagonale jaune.

ABCD est un rectangle tel que AB ≥ AD. AB, AD, AE et AF sont des longueurs entières.

Une configuration est dite première lorsque les 8 surfaces S_i (i = 1, 2, ..., 8) sont entières et premières entre elles (globalement et pas deux à deux).
Deux configurations premières G et G’ sont dites équivalentes si : {S'₁, S'₂, S'₃, S'₄, S'₅, S'₆, S'₇, S'₈} = {S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆, S₇, S₈} (on parle bien d'ensembles).
Parmi un ensemble de configurations premières équivalentes, on convient d'appeler configuration principale celle telle que AB est minimal (ce qui revient à choisir celle de périmètre minimal ou encore celle se rapprochant le plus d’un carré...).

Exemples

(AB, AD, AE, AF) = (10, 6, 5, 3) est la plus petite configuration principale, avec : (S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆, S₇, S₈) = (10, 3, 3, 16, 12, 12, 2, 2), et une aire totale de 60.
(21, 16, 14, 8) est une configuration principale qui donne (70, 8, 21, 99, 48, 63, 6, 21), et une aire totale de 336.

Soit N le nombre de configurations premières principales lorsque AB ≤ 100. Ces N configurations donnent seulement (N – k) aires totales distinctes, car k d'entre elles sont obtenues deux fois. On note P la somme de ces k aires.

Que vaut N x P ?

Soient a, b, c et n quatre entiers tels que b < a ≤ n et c ≤ n.
Dans un triangle ABC (ABC est orienté dans le sens trigonométrique positif), soit D un point du côté [BC] tel que : BD = a , DC = b et DA = c.
On sait que le rayon du cercle circonscrit au triangle ABD est égal au rayon du cercle circonscrit au triangle ADC.

Si n = 200, combien existe-t-il de configurations non-homothétiques telles que l’aire du triangle ABC soit entière ?

Voici une multiplication où les chiffres sont remplacés par des étoiles.

     * * *
   x   * *
   -------
   * * * *
 * * * *
 ---------
 * * * * *

Il s'avère que chaque étoile est un nombre premier à un chiffre, c'est-à-dire 2, 3, 5 ou 7.

Quel est le résultat de la multiplication ?

Écrivez dans certaines cases de la grille un chiffre de 1 à 3 de façon que :

chaque chiffre apparaisse une fois, et une fois seulement dans chaque ligne et dans chaque colonne ;
le premier 1 (donné sur la figure) se trouve à l’entrée ;
lorsque l’on parcourt le limaçon jusqu’au centre, les chiffres rencontrés soient dans l’ordre 1, 2, 3, 1, 2, 3 … 1, 2, 3.

Si on numérote les cases du limaçon comme sur le dessin, quelle est la somme des 15 produits « numéro de la case x contenu de la case » ?

On ne tiendra pas compte des 10 cases vides.

Une voyante utilise cinq cartes blanches numérotées de 2 à 6 et quatre cartes rouges numérotées de 3 à 6. Elle pose toutes les cartes sur la table en alternant systématiquement les couleurs. Chaque carte doit porter un numéro ayant un diviseur commun (autre que 1) avec celui d'au moins une de ses deux voisines (aux extrémités, sa voisine).

Par exemple : 245563463

En respectant la règle, combien de nombres différents peut-on former ?

On définit une suite par cette relation de récurrence :

P_n+1 = P_n-1 + P_n-2 , avec P₀ = 3, P₁ = 0 et P₂ = 2.

Les 18 premiers termes de cette suite sont : 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119

On remarque que : P₂ = 2, P₃ = 3, P₅ = 5, P₇ = 7, P₁₁ = 22 = 2x11, P₁₃ = 39 = 3x13, P₁₇ = 119 = 7x17.

Or, 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17 forment le début de la suite des nombres premiers. Les autres termes ne sont pas des multiples de leur indice.
On pourrait conjecturer que si P_n est un multiple de n alors n est un nombre premier. Pourtant cette conjecture est fausse.

Quel est le plus petit entier n > 18 non premier tel que P_n soit un multiple de n ?

Le fichier dico.txt contient 323'471 mots français non accentués. En associant à chaque lettre son rang dans l'alphabet (a=1, b=2, c=3, ..., z=26), puis en multipliant entre elles toutes les lettres d'un mot, on obtient un nombre.

Par exemple, "chaud" = 3 x 8 x 1 x 21 x 4 = 2016.

Si l'on applique ce procédé à tous les mots du fichier dico.txt, quelle est l'année du troisième millénaire qui sera atteinte le plus souvent ? Donner comme réponse le produit de l'année par le nombre d'occurrences.

Un entier est 7-amusant si la somme de ses chiffres est divisible par 7. Une paire 7-amusante est constituée de deux entiers consécutifs 7-amusants.

Par exemple, 69999 et 70000 forment une paire 7-amusante.

Chercher toutes les paires 7-amusantes pour des entiers inférieurs à un million. Donner comme réponse la somme des plus petits entiers de ces paires.

Sur un cercle, on place huit points A, B, C, D, E, F, G et H de telle sorte que ABCDEFGH soit un octogone régulier. on leur associe respectivement les chiffres 0, 2, 0, 6, 2, 0, 1, 6.
En partant d’un chiffre 0, sans lever le crayon, on trace un parcours de 7 segments différents qui indique la date du 2 juin 2016 : 0-2-0-6-2-0-1-6.
On forme ainsi six angles dont les sommets sont sur le cercle. La somme des six angles ne peut être inférieure à une certaine valeur M (en degrés) qui est effectivement atteinte pour certains parcours.
On associe enfin à chaque parcours un nombre à 8 chiffres : chaque chiffre correspond au rang de la lettre dans l'alphabet. Par exemple, au parcours FBCHEAGH, on associe le nombre 62385178.
On note P la somme des nombres associés à tous les parcours ayant une somme d’angles minimale M.

Que vaut M x P ?

Une tuile hexagonale portant le numéro 1 est entourée d'un anneau de six tuiles numérotées de 2 à 7, la première tuile de l'anneau étant posée à midi et en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
De nouveaux anneaux sont ajoutés de la même façon, les anneaux suivants étant numérotés 8 à 19, de 20 à 37, de 38 à 61, et ainsi de suite.
Le diagramme ci-contre montre les trois premiers anneaux.

En calculant la différence entre la tuile numérotée n et chacune de ses six voisines, nous appellerons DP(n) le nombre de ces différences qui sont un nombre premier.
Par exemple, autour de la tuile numéro 8, les différences sont 12, 29, 11, 6, 1 et 13. Donc DP(8)=3.
De la même manière, autour de la tuile numéro 17, les différences sont 1, 17, 16, 1, 11 et 10, d'où DP(17)=2.
On peut montrer que la valeur maximale de DP(n) est 3.
Quand toutes les tuiles pour lesquelles DP(n)=3 sont énumérées dans l'ordre croissant pour former une suite, la 10^ème tuile porte le numéro 271.

Trouver le numéro de la 2016^ème tuile de cette suite.

Quatre bateaux font une régate. Celle-ci consiste en sept courses.
À l'issue de chaque course, chaque équipage est crédité d'un point s'il termine la course, plus un point par bateau arrivant après lui.
Il n'y a jamais d'ex-æquo dans une course, mais pour départager d'éventuels ex-æquo au total des points, la règle stipule qu'un équipage en « devance » un autre si, sur les sept courses, il est arrivé plus souvent devant l'autre à l'arrivée.

À l'issue d'une telle régate, on a constaté que :

tous les bateaux ont terminé toutes les courses,
les équipages A, B et C sont ex-æquo aux points,
l’équipage A « devance » B, B « devance » C et C « devance » A !
l’équipage vainqueur D a terminé à toutes les places possibles.

Soient S₁, ..., S_k (k>1) les scores totaux possibles de l'équipage D. On appelle régate une liste (ordonnée) des sept classements aux sept courses.
Exemple : (ABCD), (BCDA), (CDAB), (DABC), (ACBD), (ADBC), (CABD) est une régate. Il existe donc (4!)⁷ = 4'586'471'424 régates.
Soit N_i le nombre de régates respectant toutes les contraintes et pour lesquelles le score total de l'équipage D est S_i.

Que vaut la somme des N_i x S_i, pour i allant de 1 à k ?

Les téléphones portables à touches proposent un mode de saisie appelé T9. Les 26 lettres de l'alphabet sont réparties sur les touches 2 à 9, comme sur la figure ci-contre.

Pour saisir un mot, il suffit de saisir la suite de chiffres correspondants. Par exemple, 'Turing' sera codé 887464.
Evidemment, plusieurs mots peuvent correspondre à une même séquence. Par exemple, la séquence 36724368 code les 6 mots 'dopaient', 'doraient', 'dosaient', 'enragent', 'enraient', 'foraient'.

Le fichier dico.txt contient 323'471 mots français non accentués.

En utilisant ce dictionnaire, trouver la séquence T9 qui code le plus de mots français.

Un cryptarithme est un casse-tête numérique et logique qui consiste en une équation mathématique où les lettres représentent des chiffres à trouver. Deux lettres différentes représentent deux chiffres différents et deux chiffres différents sont toujours représentés par deux lettres différentes. Aucun nombre non nul ne commence par un zéro.

     GRAIN
   + GRAIN
   + GRAIN
   +  ...
   -------
   = SABLE

Combien de GRAIN, au maximum, peut-on additionner de façon que le cryptarithme possède au moins une solution? Donnez comme réponse la somme des SABLE possibles pour ce nombre maximum de GRAIN.

Au début (étape 0), avant de lancer un programme informatique, on « contamine » un certain nombre de cases d'une grille 5×7.
Ensuite, l’ordinateur simule une contagion.
Étape après étape, chaque case non contaminée adjacente par un côté à exactement deux cases contaminées est contaminée à son tour (les contaminées le restent, malheureusement !).
Il existe une jolie démonstration* du fait qu’il faut « contaminer » au minimum 6 cases non adjacentes deux à deux au début pour que les 35 cases de la grille puissent être contaminées après un certain nombre d’étapes.
Dans ce cas, une contamination totale – si elle se produit – a nécessairement lieu en au plus 29 étapes.

Exemple

La grille ci-dessus permet une contamination totale en 10 étapes.
Soit N(k) le nombre de grilles de départ ayant exactement 6 cases non adjacentes contaminées, et amenant à une contamination totale en k étapes.

Que vaut la somme des k x N(k), pour k = 1, ..., 29 ?

* On peut facilement se convaincre que durant le processus de contamination, le périmètre total de la zone contaminée est invariant. Le périmètre de la grille étant de 24 et celui d’une case de 4, il faut donc au moins 24/4 = 6 cases (non adjacentes) pour aboutir à une contamination complète.

La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence : F_n = F_n-1 + F_n-2, avec F₁ = 1 et F₂ = 1.
Il se trouve que F₅₄₁, qui contient 113 chiffres, est le premier nombre de Fibonacci pour lesquels les neuf derniers chiffres sont 1-9-pandigitaux (tous les chiffres de 1 à 9 sont présents, mais pas nécessairement dans l'ordre).
F₂₇₄₉, qui contient 575 chiffres, est le premier nombre de Fibonacci pour lesquels les neuf premiers chiffres sont 1-9-pandigitaux.

Soit F_k le premier nombre de Fibonacci pour lesquels les neuf premiers chiffres et les neuf derniers chiffres sont 1-9-pandigitaux. Trouver k .

Certains entiers positifs n ont la propriété que la somme [n + miroir(n)] se compose entièrement de chiffres impairs. Par exemple, 36 + 63 = 99 et 409 + 904 = 1313. Nous appellerons ces nombres "renversants"; donc 36, 63, 409 et 904 sont renversants.
Les zéros ne sont pas autorisés dans la somme, ni comme fin du nombre n. Par exemple, 10 n'est pas un nombre renversant, même si 10+01=11.
Il y a 120 nombres renversants inférieurs à mille.

Combien y a-t-il de nombres renversants inférieurs à dix milliards ?

Le fichier dico.txt contient 323'471 mots français non accentués.
Un hétérogramme est un mot où chaque lettre apparaît au plus une fois. Voici quelques-uns de ces mots :

a, je, cage, clapoter, hibou, émir, va-nu-pieds (les traits d'union ne sont pas des lettres), ...
Par contre, ces mots ne satisfont pas la contrainte :

enragé (les accents ne comptent pas), capable, ...
Combien de mots du dictionnaire dico.txt sont des hétérogrammes ?

Le nombre contenu dans chaque cercle est la somme des nombres contenus dans les deux cercles situés juste en dessous.
Tous les nombres sont des entiers strictement positifs deux à deux distincts.

En supposant que le nombre situé le plus à gauche est inférieur à celui situé le plus à droite, quels nombres doit-on placer sur la ligne du bas pour que la somme des 15 nombres soit minimale ?

On donnera comme réponse la concaténation de ces cinq nombres lus de gauche à droite.

Le fichier dico.txt contient 323'471 mots français non accentués.
Nous appellerons "gémellogramme" (mot inventé pour l'occasion) un mot dont chaque lettre apparaît exactement deux fois. Voici quelques-uns de ces mots :

joujou, ionisons, même ou mémé (les accents ne comptent pas), kif-kif (les tirets ne comptent pas)...
Par contre, ces mots ne satisfont pas la contrainte :

maman, passe-passe
Combien de mots du dictionnaire dico.txt sont des gémellogrammes ?

Soit S l'ensemble des entiers strictement positifs qui peuvent se décomposer en une somme de cubes d'entiers impairs deux à deux distincts.

Exemples : 125 et 2568 sont dans S car 5³ = 125 et 1³ + 3³ + 7³ + 13³ = 2568.

Pour tout entier i dans {0, 1, ... , 287}, on appelle s_i le plus petit élément de S tel que s_i = i[288] (c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne de s_i par 288 vaut i).
On a donc s₀ = 17568, s₁ = 1, s₂ = 3746, ...

Que vaut la somme des s_i, pour i allant de 0 à 287 ?

P.S. on a pris 288 car 2016 = 7 x 288.

Dans l'équation ci-dessous x, y, et n sont les nombres entiers positifs.

1
x

1
y

1
n

Pour n = 4, il y a exactement 3 solutions distinctes :

1 5	+	1 20	=	1 4
1 6	+	1 12	=	1 4
1 8	+	1 8	=	1 4

Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle le nombre de solutions distinctes est supérieur ou égal à 2016 ?

Des "montagnes" ayant toutes des pentes de 45° exactement et des altitudes régies par les nombres premiers p_n se succèdent pour former une chaîne de montagnes. La hauteur de la face gauche de la k^ème montagne est p_2k–1 tandis que celle de droite est p_2k. Les premières montagnes de cette chaîne sont représentées ci-dessous.

Tenzing se fixe de gravir ces montagnes l'une après l'autre, en commençant par la moins élevée. Au sommet de chaque pic, il regarde en arrière et compte combien de sommets précédemment conquis il peut voir.
Dans l'exemple ci-dessous, la ligne de vision à partir du troisième sommet, dessinée en rouge, montre qu'il ne peut voir que le deuxième sommet. De même, à partir du 9^ème sommet, il peut voir seulement trois pics : le 5^ème, le 7^ème et le 8^ème.
Soit P(k) le nombre de pics visibles en regardant en arrière du k^ème sommet. On a P(3)=1 et P(9)=3. En outre, la somme des P(k), pour k allant de 1 à 100, vaut 227.

Que vaut la somme des P(k), pour k allant de 1 à 10'000 ?

En lisant un nombre entier positif de gauche à droite, si aucun chiffre n'est plus grand que le chiffre à sa gauche, il est appelé "nombre montant". Exemple: 134468.

De même, si aucun chiffre n'est plus grand que le chiffre à sa droite, il est appelé "nombre descendant". Exemple: 66420.

Nous qualifierons de "rebondissant" un nombre entier positif qui est ni montant ni descendant. Par exemple, 155349.

Il est clair qu'il ne peut y avoir de nombres rebondissants inférieurs à 100, mais un peu plus de la moitié des nombres inférieurs à 1000 l'est (525). En fait, le plus petit nombre pour lequel la proportion de nombres rebondissants atteint pour la première fois 50% est 538.

Les nombres rebondissants deviennent de plus en plus fréquents et la proportion des nombres rebondissants dépasse 90% à partir de 21780.

Trouver le plus petit nombre entier positif pour lequel la proportion de nombres rebondissants atteint ou dépasse pour la première fois 99.9%.

Un traîneau mesurant sept unités de longueur contient des paquets rouges avec une longueur minimale de 3 unités placés sur lui. Deux paquets doivent être séparés par au moins une unité de longueur. Il y a exactement 17 façons de remplir le traîneau :

De combien de façons un traîneau mesurant 60 unités de longueur peut-il être rempli?

NOTE: Bien que l'exemple ci-dessus ne s'y prête pas, il est permis de mélanger les tailles de paquets. Par exemple, sur un traîneau de huit unités de longueur, vous pouvez utiliser l'agencement 3-(1)-4 où (1) est un espace vide.

Dans l'épisode 2 de la saison 10 des Simpson (1998), intitulé "La Dernière Invention d'Homer", on peut voir le tableau ci-dessous :

La ligne 3987¹² + 4365¹² = 4472¹² est un faux contre-exemple du théorème de Fermat. En effet, le terme de gauche vaut 63976656349698612616236230953154487896987106 tandis que celui de droite vaut 63976656348486725806862358322168575784124416, soit une différence de 1211886809373872630985912112862690. Cependant, l'erreur relative est suffisamment faible (1.9 x 10^-11) pour qu'une calculatrice standard considère ces deux termes comme égaux. Précisons que la différence relative a été calculée en divisant la différence par le terme de gauche.

En ce début d'année 2017, on aimerait trouver le triplet (a, b, c), avec a, b et c tous différents, tel que a¹⁷+b¹⁷=c¹⁷ a la plus petite erreur relative, avec les nombres a et b compris entre 100 et 10'000. Vous donnerez comme réponse le produit a x b.

Dans cette énigme, il s'agit d'insérer des signes + ou – entre certains des chiffres de 9 à 1 de façon à obtenir une égalité exacte.
Avec sept signes d'addition et de soustraction on peut écrire par exemple : 9 + 8 + 76 + 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 100. Mais il existe 14 autres manières d'écrire 100 et il est surtout possible d'utiliser moins de signes; ainsi, avec seulement quatre signes, on obtient :

98 – 76 + 54 + 3 + 21 = 100.
On souhaite écrire le plus grand nombre d'entiers naturels consécutifs de cette manière, en utilisant un minimum de signes opératoires. Voici un début possible :

9 + 8 – 76 – 5 + 43 + 21 = 0
98 – 76 – 54 + 32 + 1 = 1
9 + 87 – 65 + 4 – 32 – 1 = 2
etc.

Soit A le premier entier ne pouvant pas s'écrire de cette manière. La suite ira de 0 à A-1.
Soit B le nombre total de signes opératoires utilisés pour écrire tous les entiers inférieurs à A.
Soit C l'entier inférieur à A pouvant être obtenu avec le moins de signes opératoires.
Soient D₁, D₂, ..., D_n , les entiers inférieurs à A ne pouvant s'écrire que d'une seule manière (dans le sens où 100 peut s'écrire de 15 manières...).

Que vaut A x B x C x D₁ x D₂ x ... x D_n ?

Il existe des ensembles infinis d'entiers naturels tels que la somme d'un nombre quelconque de leurs éléments (distincts) ne soit jamais le carré d'un nombre entier. C'est le cas de {2 , 8 , 32, ... , 2^{2k + 1} , ...} par exemple.

Une manière naturelle de construire un tel ensemble pas à pas est la suivante (par récurrence) :
On fabrique la suite (u_n)_{n ≥ 1} strictement croissante définie par le fait que pour tout entier n non nul, u_n est le plus petit entier naturel tel que la somme des éléments de tout sous-ensemble non vide de (u₁, u₂, ..., u_n) n'est jamais un carré d'entier.

Que vaut la somme des 14 premiers termes de cette suite?

Un flocon d'ordre n est constitué par la superposition d'un triangle équilatéral (rotation à 180 degrés) sur chaque triangle équilatéral de même taille dans un flocon d'ordre n-1. Un flocon de neige d'ordre 1 est un triangle équilatéral.

Certaines zones du flocon de neige sont superposées à plusieurs reprises. Dans l'image ci-contre, le bleu représente les zones d’épaisseur 1, le rouge celles d’épaisseur 2, les jaunes celles d’épaisseur 3, et ainsi de suite...

Pour un flocon d'ordre n, on appelle A(n) le nombre de triangles bleus et B(n) le nombre de triangles jaunes.
Soit G(n) le PGCD de A(n) et B(n).

Par exemple, A(3) = 30, B(3) = 6 et G(3) = 6.
A(11) = 3'027'630, B(11) = 19'862'070 et G(11) = 30.

En outre, G(500) = 186.

Que vaut la somme des G(n), pour n allant de 3 à 10'000?

On peut former un seul carré dont les quatre sommets sont des points de cette croix «de côté 1».

De la même manière, on peut former 21 carrés avec cette croix «de côté 2».

Au côté n de la croix on associe le nombre de carrés C(n) que l'on peut former en utilisant les points de la croix comme sommets. Ainsi, C(1) = 1 et C(2) = 21.

Que vaut la somme des C(n), pour n allant de 1 à 20?

Nombre chanceux. – Entier naturel déterminé en 1956 par le mathématicien polonais Stanislaw Ulam (1909-1984) en appliquant le principe du crible d'Ératosthène.

On commence par supprimer les nombres pairs. Comme il reste 3 après le 1 qui est considéré comme chanceux, on supprime le troisième nombre sur trois parmi ceux qui restent. Ensuite, le plus petit nombre non touché est 7. On supprime alors le septième nombre sur sept parmi ceux qui restent et ainsi de suite, le plus petit nombre restant indiquant toujours le rang des nombres à biffer.

Il y a 23 nombres chanceux entre 1 et 100 : 1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49 51 63 67 69 73 75 79 87 93 99.

Combien y a-t-il de nombres chanceux dans l'intervalle [1; 100'000] ?

On écrit sur la première ligne d'un tableau de 28 lignes et 37 colonnes les nombres 1, 2, ..., 37. Puis, sur la seconde ligne, 38, ..., 74 et ainsi de suite (de gauche à droite).
On écrit aussi sur la première colonne les nombres 1, 2, ..., 28. Puis, sur la seconde, 29, ..., 56 et ainsi de suite (de haut en bas).
Dans certaines cases, les deux nombres seront identiques. Nous les appellerons jumeaux.

Que vaut la somme des nombres jumeaux ? Chaque nombre jumeau n'est compté qu'une fois.

Maya, la secrétaire, a dérangé tous les dossiers.

Le numéro de chaque dossier aurait dû correspondre au numéro de l’étagère sur laquelle il se trouve. Il faut vite les remettre en place avant que M. Boss n’arrive !

Mais attention ! Les dossiers sont très lourds, et Maya ne peut en déplacer qu’un à la fois, en le poussant vers une étagère voisine (vers la gauche, la droite, l’avant ou l’arrière) à condition que cette dernière soit vide. Maya a trouvé la solution la plus économique (en temps et en énergie) puisqu’elle y est parvenue en un nombre minimal A de déplacements.

On appelle p la partie entière de (A + 1)/2. Dans la situation initiale (voir schéma ci-contre, en vue du dessus), on peut lire le nombre 50621743 en suivant l’ordre croissant des étagères et en attribuant le chiffre 0 à l’étagère vide.

De la même façon, quel nombre B à 8 chiffres peut-on lire après le p-ième déplacement ? On saisira la valeur du produit A X B.

On trace deux droites parallèles selon une première direction, puis trois droites parallèles selon une deuxième direction (différente de la première), puis quatre droites parallèles selon une troisième direction (différente des deux précédentes).
À ce stade, on a tracé au total 9 droites et on observe 27 parallélogrammes dessinés sur la figure. On poursuit alors la construction de la figure en suivant le même procédé.

Combien doit-on tracer de droites au minimum pour que le nombre de parallélogrammes dessinés soit multiple d'un million ?

Pour tout entier n supérieur à 1, on définit la "primorielle" de n, notée P(n), comme le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Ainsi, P(10) = 210.

5 – 11 – 17 – 23 – 29 est la plus longue suite arithmétique de nombres premiers inférieurs à 100 (raison = 6)
7 – 157 – 307 – 457 – 607 – 757 - 907 est la plus longue suite arithmétique de nombres premiers inférieurs à 1000 (raison = 150)
199 – 409 – 619 – 829 – 1 039 – 1 249 – 1 459 – 1 669 – 1 879 – 2 089 est la plus longue suite arithmétique de nombres premiers inférieurs à 10'000 (raison = 210).

Concernant les raisons de ces suites arithmétiques, il a été démontré que, si la suite est de longueur k, alors la raison est multiple de P(k), sauf si k est premier et que la suite commence à k.
Depuis 2004, on sait que pour tout entier n, il existe au moins une suite arithmétique de nombres premiers de taille supérieure ou égale à n. Mais à ce jour, on ne connaît pas de telles suites de longueur supérieure à 26...

Quelle est la plus longue suite arithmétique de nombres premiers inférieurs à 1 million, sachant que son premier terme n'est ni 13 ni 17 ? On saisira la somme des termes de cette suite.

En traçant une droite, on partage le plan en deux régions.
En traçant une autre droite coupant la première, le plan est partagé en quatre régions.
En traçant une troisième droite coupant les deux premières en deux points différents, on en obtient sept.
Soit (R_n) la suite du nombre de régions du plan définies par n droites sécantes 2 à 2 et non concourantes 3 à 3. Ainsi, par exemple, R₃ = 7.

Il semble que la probabilité qu'un nombre premier choisi au hasard ne divise aucun élément de (R_n) soit très proche de 1/2.
Soit S(k) la somme des nombres premiers inférieurs ou égaux à k qui ne divisent aucun élément de (R_n).
On donne S(10) = 3 + 5 = 8, S(100) = 638 et S(1000) = 38'582.

Que vaut S(10'000) ?

Jean écrit au tableau les nombres 1 puis 2.
Il écrit ensuite un nombre qui vaut soit le double du précédent, soit la somme des deux précédents.

Exemple de suite possible : 1, 2, 3, 6, 12, 18, ...

Si Jean écrit 50 nombres en suivant cette règle et que le dernier nombre inscrit est impair, quel est le plus grand nombre pouvant être écrit ?

Un nombre cyclique de longueur n est un entier naturel dont les permutations circulaires des chiffres correspondent aux (n–1) premiers multiples du nombre. Le plus connu (et le plus petit) est 142 857, de longueur 6, car :

142'857 × 2 = 285'714
142'857 × 3 = 428'571
142'857 × 4 = 571'428
142'857 × 5 = 714'285
142'857 × 6 = 857'142

Si les zéros ne sont pas permis au début des nombres, alors 142'857 est le seul nombre cyclique en base 10. Par contre, s'ils sont permis, la liste des nombres cycliques se poursuit ainsi :

0588235294117647 (16 chiffres) ; 052631578947368421 (18 chiffres) ; …

Un nombre premier p est dit long si la période du développement décimal de 1/p est de longueur p–1. Par exemple : 1/7 = 0,142857 142857... La période (142857) est de longueur 6, donc 7 est un premier long.

Remarque : La période de 1/p commence alors toujours par le chiffre des dixièmes du développement décimal.

Or, de manière tout à fait extraordinaire, la liste des nombres cycliques coïncide exactement avec la liste des périodes des premiers longs ! En effet, le deuxième premier long est 17 et on a bien 1/17 = 0,0588235294117647 0588235294117647...

Soit S(n) la somme de tous les nombres cycliques d'au plus n chiffres. Ainsi, S(10) = 142'857 et S(20) = 53'219'814'241'628'925.

Quels sont les 10 derniers chiffres de S(5000) ?

Considérons la transformation géométrique suivante : un triangle initial (le « triangle père ») étant donné, prenons comme sommets du nouveau triangle (le « triangle fils ») les pieds des bissectrices de l'ancien.
Cette transformation a pour particularité d'atténuer les différences entre les angles du triangle initial. Ainsi, si l'on itère le procédé, deux triangles de forme différente au départ conduiront, via cette transformation, à des triangles de plus en plus « semblables » et proches de la forme limite commune équilatérale. Ce fait, loin d'être évident, n'a été démontré qu'en 2006.
En revanche, il est clair que la suite des triangles itérés converge vers un point G. Mais ce dernier ne se laisse pas décrire explicitement (sauf dans le cas du triangle équilatéral, évidemment!).
Intéressons-nous maintenant au cas non trivial le plus simple possible : soient ABC un triangle initial isocèle et rectangle en A, et G le point de convergence de la suite des triangles itérés.

Quelle est la valeur de AG/AB, arrondie à 10^–9 près ? On saisira les 9 premières décimales du résultat obtenu.

On appelle nombre de Keith un nombre K de n chiffres ayant la propriété suivante: en partant des nombres composés chacun d'un des n chiffres de K, on compose une sorte de suite de Fibonacci en calculant la somme des n derniers nombres de la suite pour déterminer le suivant. Si cette suite fournit à un moment le nombre K, ce nombre est dit nombre de Keith.

Exemple: K = 197
1, 9, 7, 17(=1+9+7), 33(=9+7+17), 57(=7+17+33), 107(=17+33+57), 197(=33+57+107)

197 est donc un nombre de Keith. La longueur de la suite engendrée par 197 est de 8.

Soient tous les nombres de Keith entre 10 et 1'000'000. Donner la somme de tous ces nombres multipliés par la longueur de leur suite.

Un triangle étant donné, prenons le point symétrique de chaque sommet par rapport au côté opposé ou à son prolongement. On obtient les sommets d'un nouveau triangle : le triangle « réfléchi ».
Si l'on itère ce procédé, on obtient une suite de triangles dont l'évolution dépend fortement de la forme du triangle initial, d'où l'intérêt de son étude.
On appelle « point fixe » de cette transformation géométrique tout triangle dont le triangle réfléchi lui est semblable. Ainsi, il existe seulement 4 types de « points fixes » pour cette transformation :

les triangles aplatis : on peut par ailleurs noter que les triangles isocèles d'angle principal 120° donnent des triangles aplatis.
le triangle équilatéral, point fixe « attractif ».
le triangle « heptagonal », dont les angles sont égaux aux fractions 1/7, 2/7 et 4/7 de 180°, et que l'on obtient à partir d’un heptagone régulier en prenant le premier, le deuxième et le quatrième sommet.
le triangle « mystère », dont les trois angles (différents) ne sont vraisemblablement pas des fractions rationnelles de 180°.

On possède néanmoins deux indices concernant ce dernier triangle : comme le triangle « heptagonal », il possède un angle obtus et c'est un point fixe « répulsif », c'est-à-dire qu'un triangle dont la forme en est très proche donne un triangle réfléchi dont la forme l'est moins.

Quelle est la valeur en degrés, arrondie à 10^–5 près, de chacun des deux angles aigus du triangle « mystère » ? On saisira le produit de ces deux valeurs, en omettant la virgule. Le résultat attendu est le produit exact de deux valeurs approchées et non pas une valeur approchée du meilleur produit possible.

Un nombre palindrome est un nombre qu'on lit de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche, comme par exemple 12321.

On calcule la somme des carrés des nombres entiers naturels, dans l'ordre : 0² + 1² + 2² + 3² + 4² + ...
On arrêtera le calcul dès que, après avoir ajouté le carré d'un nombre palindrome ayant au moins deux chiffres, on obtiendra une somme qui est aussi un nombre palindrome.

Quelle sera alors cette somme ?

On dispose d'une règle graduée de longueur 1000 unités. Les graduations sont numérotées de gauche à droite, de 0 à 1000.
Sur chaque graduation de la règle, correspondant à un nombre premier, on place un scarabée (qui se réduit à un point de dimension nulle).
Chaque scarabée se déplace à une vitesse d'une unité par seconde. Le premier scarabée (placé sur le 2) se déplace vers la droite, le deuxième (placé sur le 3) vers la gauche, le troisième (placé sur le 5) vers la droite et ainsi de suite, alternativement, jusqu'au dernier scarabée placé sur le 997, qui se déplace vers la gauche.
Lorsqu'un scarabée rencontre un autre scarabée, les deux coléoptères changent de sens et continuent de parcourir la règle, toujours à la même vitesse d'une unité par seconde.
Lorsqu'un scarabée arrive au bout de la règle, il tombe et s'en éloigne.

Combien de secondes faudra-t-il pour que tous les scarabées soient tombés de la règle ?

Le couple de nombres (32, 98) a une particularité amusante : leur moyenne arithmétique (65) et leur moyenne géométrique (56) se déduisent l'une de l'autre en renversant l'ordre de leurs chiffres.

Il existe deux couples (a, b) et (c, d), composés de nombres différents de 4 chiffres, ayant la même propriété.

Donnez comme réponse ab + cd.

Soit F la fonction qui, à tout entier n strictement positif, associe le plus petit entier naturel dont le carré peut s'écrire sous la forme de la somme de n entiers consécutifs strictement positifs, s'il existe, et 0 sinon.

Exemples
F(1) = 1, car 1² = 1;
F(2) = 3, car 3² = 4 + 5;
F(3) = 3, car 3² = 2 + 3 + 4;
F(4) = 0, car aucun carré ne peut s'écrire sous la forme de la somme de 4 entiers consécutifs;
F(6) = 9, car 9² = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16;
F(8) = 6, car 6² = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8;
F(18) = 15, car 15² = 4 + 5 + ... + 21.

La somme des F(n) pour n allant de 1 à 1000 est 448'612.

Que vaut la somme des F(n) pour n allant de 1 à 1 million ?

Soit F la fonction qui, à tout entier n non nul, associe la somme des entiers naturels x tels que x² + n est un carré d'entier.

Exemples
F(98)=0, car aucun entier naturel x n'est tel que x²+98 est un carré.
F(99)=49+15+1=65, car 49²+99, 15²+99 et 1²+99 sont les 3 seuls carrés (50² , 18² et 10²) de la forme x²+99.

Que vaut la somme des F(n) pour n allant de 1 à 1 million ?

Soit une rangée de 8000 lampes. Initialement, seule celle située tout à gauche est allumée.
Ensuite, toutes les secondes, l'opération suivante est réalisée: chaque lampe change d'état (allumée ou éteinte) si celle située à sa gauche était allumée une seconde avant. La lampe la plus à gauche reste allumée tout le temps. Cette opération est instantanée.
Le processus s'arrête lorsque la lampe située à l'extrémité droite s'allume pour la première fois.

Combien de lampes sont alors allumées?

Lorsque l'on place deux points sur un cercle, en joignant ces deux points, on partage le disque en deux régions.
Avec trois points, on obtiendra quatre régions.
Avec quatre points, on a au maximum huit régions.
Avec cinq points, au maximum seize régions.
Mais à partir de six points, on quitte les puissances de deux. En effet, avec 6 points, on obtiendra 31 régions au maximum, et avec 7 points, 57 régions.

Combien de régions pourra-t-on obtenir au maximum avec 100 points ?

Un triangle équilatéral de côtés de longueur n > 2 est divisé en n² triangles équilatéraux de côtés de longueur 1, comme indiqué sur le schéma ci-dessous, dans le cas où n = 10.

Les sommets de ces triangles forment un réseau triangulaire de (n+1)(n+2)/2 points.
Soit H(n) le nombre d'hexagones réguliers qui peuvent être formés en reliant 6 de ces points.
Par exemple, H(3) = 1, H(6) = 12 et H(20) = 966.

Que vaut la somme de tous les H(n), pour n allant de 3 à 1 000 ?

Une enveloppe est un pentagone composé d'un triangle isocèle (le rabat) placé au-dessus d'un rectangle.
Voici un exemple d'enveloppe à côtés de longueurs entières :

On notera que pour former une enveloppe, la hauteur issue de C du triangle BCD doit être inférieure à la hauteur AB du rectangle ABDE. Par ailleurs, AE peut très bien être inférieur ou égal à AB.
Dans l'enveloppe de l'exemple ci-dessus, non seulement tous les côtés sont entiers, mais également toutes les diagonales (AC, AD, BD, BE et CE). Nous appellerons une enveloppe avec de telles propriétés une enveloppe de Héron.
Soit S(p) la somme des périmètres de toutes les enveloppes de Héron avec un périmètre inférieur ou égal à p.
On donne : S(500) = 488, S(1000) = 5386, S(1500) = 11'460, S(2000) = 25'282 et S(2500) = 43'864.

Que vaut S(25'000) ?

Soit une grille de 3 lignes sur 13 colonnes.
Sur la première ligne, on dispose les entiers de 1 à 13 dans l'ordre croissant.
Sur la deuxième ligne, on dispose ces mêmes entiers dans un ordre quelconque.
Sur la troisième ligne, on écrit la valeur absolue de la différence des deux entiers de chaque colonne.
Soit N le nombre de manières de remplir la 2ème ligne de telle sorte que 13 entiers distincts figurent sur la 3ème ligne.
Soit N(k) le nombre de solutions pour lesquelles l'entier k de la 1ère et de la 2ème ligne figurent dans la même colonne.
Ainsi, N est égal à la somme des N(k) pour k allant de 1 à 13.

Que vaut la somme des k x N(k) pour k allant de 1 à 13 ?

Un jeu de n cartes, numérotées de 1 à n, est mélangé de manière aléatoire de telle sorte que chaque permutation soit équiprobable. On doit trier ces cartes dans l'ordre croissant en utilisant la technique suivante :

On observe la séquence de cartes. Si elle est déjà triée, alors il n'y a pas besoin de poursuivre l'action. Dans le cas contraire, si des séquences de cartes se trouvent rangées par ordre croissant sans « trou », alors ces séquences forment des groupes de cartes que l’on agrafe entre elles.
Par exemple, avec 7 cartes initialement dans l'ordre 4 1 2 3 7 5 6, les cartes 1, 2 et 3 seront agrafées ensemble, ainsi que les cartes 5 et 6 (on obtient ainsi un groupe de 3 cartes, un groupe de 2 cartes et 2 cartes isolées).
Les cartes sont alors «mélangées» en étant jetées en l'air (les cartes agrafées restent évidemment rangées entre elles). Les cartes (ou paquets de cartes agrafées) sont ensuite ramassées au hasard. On suppose que tous les ramassages possibles sont équiprobables, en dépit du fait que certaines cartes sont seules, et d'autres regroupées.
On répète les étapes 1 et 2 jusqu'à ce que les cartes soient toutes triées.

Soit S(n) le nombre moyen de lancers nécessaires pour trier toutes les cartes (il s’agit donc d'une espérance). Puisque l'ordre est vérifié avant le premier lancer, on a donc S(1) = 0.
On donne également S(2) = 1, S(3) = 7/3, S(4) = 47/13 et S(5) = 4213/871.

Que vaut S(10) ? On saisira les 11 premiers chiffres de la réponse, en omettant la virgule.

Soit F la fonction qui, à tout entier n strictement positif, associe le nombre de façons d'écrire n comme somme d'au moins deux entiers impairs consécutifs strictement positifs.

Exemples :

F(64) = 3 car 64 = 31 + 33 = 13 + 15 + 17 + 19 = 1 + 3 + ... +15
F(360) = 6
F(4725) = 11.

Que vaut la somme des F(n) pour n allant de 1 à 1 million ?

Soit F la fonction qui, à tout triplet d'entiers (a, b, p) associe l'aire maximale d'un quadrilatère de diagonales de longueur a et b et de périmètre p, avec 0 < b ≤ a et 2a < p < a+b+√(a²+b²) *.

Voici quelques valeurs de F :

F(3, 1, 7) = 3/2,
F(3, 2, 7) = √429 / 8,
F(3, 2, 8) = 3,
F(14, 11, 32) = 45,
F(19, 14, 42) = 70,
F(24, 15, 50) = 70.

Quelle est la somme de toutes les valeurs entières distinctes de F que l'on obtient avec : 1000 ≤ b < a ≤ 1200, 2400 < p ≤ 2800 et PGCD(a, b, p) = 1 ?

*Au-delà de cette valeur (c'est-à-dire pour a+b+√(a²+b²) < p ≤ 2(a+b), valeur limite pour un périmètre de quadrilatère de diagonales a et b données), la fonction F est mal définie car l'aire maximale est alors obtenue pour des configurations limites où le quadrilatère devient un triangle, les diagonales ayant une extrémité commune.

Appelons D(x) le nombre de diviseurs de x. Soit F la fonction qui, à tout entier naturel n non nul, associe :

le plus petit entier naturel x tel que D(x²)/D(x) = n, si ce x existe;
0 sinon.

Exemple: F(3)
144 a 15 diviseurs alors que 144² en a 45, et 45/15 = 3. Comme 144 est le plus petit entier qui a cette propriété, F(3)=144.

Que vaut la somme des F(n) pour n allant de 1 à 22 ? On saisira les douze chiffres les plus à droite du résultat.

Règles du jeu

Noircir certaines cases de la grille de manière que :

dans chaque ligne et chaque colonne, les lettres restantes soient toutes différentes;
deux cases voisines par un côté ne peuvent pas être toutes deux noircies;
les cases restantes doivent former un bloc d'un seul tenant.

Résolvez cette grille :

En parcourant la grille de gauche à droite et de haut en bas, on attribue à la case k le k-ième nombre premier (ainsi le coin en haut à droite porte le numéro p₈ = 19 et le coin en bas à droite le numéro p₆₄ = 311).
Quel est le produit des cases noircies ? On saisira le résultat modulo 10¹³.

Règles du jeu

Retrouver la position des étoiles.

Il y a une étoile par ligne, par colonne et par région délimitée par un trait plus épais.
De plus, les étoiles ne se touchent pas, même en diagonale.
Les vagues indiquent des cases ne contenant pas d’étoile.

Résolvez cette grille :

On appelle "sandwich" un nombre de 3n chiffres dont la tranche centrale (le nombre s'écrivant avec les n chiffres centraux) est égale à la somme de la tranche du début (le nombre qui s'écrit avec les n premiers chiffres) et la tranche de fin (le nombre qui s'écrit avec les n derniers chiffres).

Par exemple, 203818 est un nombre sandwich car 20 + 18 = 38.

Quel est le plus petit nombre sandwich multiple de 2018 contenant la séquence de chiffres consécutifs 2, 0, 1, 8 ? (203818 ne convient pas car 2, 0, 1 et 8 ne sont pas consécutifs).

Pour tout entier positif n, on définit la fonction F par F(n)=k où k est le plus petit entier positif tel que n + k n'est pas divisible par k + 1.

Exemples

13 est divisible par 1, 14 est divisible par 2, 15 est divisible par 3, 16 est divisible par 4, mais 17 N’EST PAS divisible par 5. Donc F(13) = 4.
120 est divisible par 1, mais 121 n'est PAS divisible par 2. Donc F(120) = 1.

On définit P(s, N) comme étant le nombre d'entiers n (1 < n < N) pour lesquels F(n) = s.
Ainsi P(3, 14) = 1 et P(6, 10⁶) = 14286.

Que vaut la somme, pour i allant de 1 à 1000, des P(i, 10ⁱ) ? On saisira les 12 derniers chiffres du résultat.

Considérons le nombre 48.
Il existe cinq couples d'entiers a et b (a ≤ b) tels que a x b = 48: (1, 48), (2, 24), (3, 16), (4, 12) et (6, 8).
On peut voir que 6 et 8 ont chacun 4 diviseurs. Donc, parmi les cinq couples, l'un d'entre eux est composé de deux entiers ayant le même nombre de diviseurs.
Soit C(n) le nombre de couples d'entiers positifs a et b tels que a x b = n, a ≤ b, et tels que a et b ont le même nombre de diviseurs.
Ainsi C(48) = 1.

On donne également:
C(9!)= 5 : (384, 945), (420, 864), (480, 756), (540, 672) et (560, 648).
C(10!) = 3 : (1680, 2160) , (1800, 2016) et (1890, 1920).

Que vaut C(40!) ?

Soit H(n) le nombre d'hexagones convexes équiangulaires distincts, à côtés entiers, et dont le périmètre est inférieur ou égal à n.
Deux hexagones sont distincts si et seulement s'ils ne sont pas isométriques.
On donne: H(6) = 1, H(12) = 10, H(100) = 31'248.

Hexagones équiangulaires de périmètre inférieur ou égal à 12
Que vaut H(300) ?

Parmi huit sacs, numérotés de 1 à 8 et contenant chacun 100 pièces, six contiennent des pièces d'or (une vraie pièce d'or pèse 10 grammes ) et deux contiennent de fausses pièces, indiscernables des vraies, si ce n'est par leur masse.
Les fausses pièces de l'un des sacs pèsent 11 grammes chacune, et les fausses pièces de l'autre sac pèsent 12 grammes.
Vous disposez d'une balance graduée permettant de peser, au gramme près, toute masse jusqu'à 10 kg.

Vous devez trouver, en une seule pesée, et en prélevant le minimum de pièces des sacs, dans quel sac se trouvent les pièces de 11 grammes, et dans quel sac se trouvent celles de 12 grammes.

Quelle sera alors la somme, en grammes, des 56 masses distinctes susceptibles d’être lues sur la balance ?

Soit miroir la fonction qui, à tout entier positif n, associe le nombre obtenu en lisant n de droite à gauche.

Exemples : miroir (12) = 21; miroir (340) = 43.

Soit n un entier positif à k chiffres (k > 1).
Soit F la fonction qui, à tout n, associe le nombre d'entiers p_i à k chiffres tels que p_i + n = miroir(p_i).

Exemples

36 est un nombre à 2 chiffres.
F(36) = 5 car il existe seulement 5 entiers à 2 chiffres tels que p_i + 36 = miroir (p_i) : 15, 26, 37, 48 et 59.
En effet : 15 + 36 = 51; 26 + 36 = 62; ... ; 59 + 36 = 95.
En revanche, F(37) = 0.

Que vaut la somme des F(n) pour n allant de 10 à 10¹² ?

Soit n un entier strictement positif à p chiffres.
Soit F la fonction qui, à tout n, associe le nombre obtenu par le procédé suivant : en partant de n, on écrit p nombres, de telle sorte que chacun d'eux soit la somme des puissances p-ièmes des chiffres du précédent.

Exemple : 213 -> 2³+1³+3³ = 36 -> 3³+6³ = 243 -> 2³+4³+3³ = 99. Ainsi, F(213) = 99.

Soit G la fonction qui, à tout entier p strictement positif, associe la plus grande valeur de F(n) obtenue quand n décrit l'ensemble des entiers à p chiffres.

Exemples :
G(1) = 9, car F(9) = 9¹ = 9.
G(2) = 145, car F(58) = F(77) = F(85) = 145.
En effet, 58 et 85 donnent 5²+8² = 89 et 77 donne 7²+7² = 98 après une itération.
Et comme il est impossible d'obtenir 99 après une itération à partir d'un entier à 2 chiffres, 8²+9² = 145 est bien le plus grand entier que l'on peut obtenir à la 2ème itération à partir d'un nombre à 2 chiffres.

Soit H la fonction qui, à tout entier p strictement positif, associe le plus petit antécédent à p chiffres de G(p) par F.

Exemples : H(1) = 9 et H(2) = 58.

Que valent la somme des G(p) et la somme des H(p) , pour p allant de 1 à 11 ? On saisira la somme des deux résultats.

On choisit un nombre, on calcule la somme des cubes de ses chiffres et on écrit le résultat qui sera le deuxième nombre. On recommence la même opération avec ce deuxième nombre et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on tombe sur un nombre déjà écrit.

Exemples
En partant de 1: 1 1 (suite de longueur 2)
En partant de 2: 2 8 512 134 92 737 713 371 371 (suite de longueur 9)
En partant de 2029: 2029 745 532 160 217 352 160 (suite de longueur 7)

Quel est le plus petit nombre inférieur à 1 million qui produit la plus longue suite ?

Frodon et Sam doivent parcourir 100 lieues (leagues en anglais) vers l'Est, pour aller du point A au point B.
Sur un terrain normal, ils peuvent couvrir 10 lieues par jour; dans ces conditions le voyage prendrait donc 10 jours.
Mais leur chemin est traversé par un long marais qui s'étend exactement du sud-ouest au nord-est, et la marche à travers ce marais les ralentira.
Le marais mesure 50 lieues de large en tous points, et le milieu du segment [AB] est situé au milieu du marais (soit à 25 lieues de chaque « rive »).
Voici une carte de la région:

Le marais se compose de 5 régions distinctes, chacune de 10 lieues de large, comme le montrent les différentes couleurs de la carte.
La bande la plus proche du point A est un marais relativement facile; elle peut être traversée à une vitesse de 9 lieues par jour.
Cependant, chaque bande devient progressivement plus difficile à négocier, les vitesses décroissant successivement à 8, 7, 6 et enfin 5 lieues par jour pour la dernière région du marais.
Ensuite, le marais se termine brusquement et le terrain redevient normal, avec une vitesse de 10 lieues par jour.
Si Frodon et Sam se dirigeaient en ligne droite vers l'Est de A vers B, ils voyageraient exactement 100 lieues, et le voyage prendrait environ 13.4738 jours.
Cependant, cette durée peut être réduite s'ils consentent à s'écarter du "droit chemin".

Déterminez la durée la plus courte possible pour aller de A à B.

Donnez votre réponse en jours, arrondis à 10 décimales. On omettra la virgule.

Soit F(N) le nombre maximal de noeuds de quadrillage, dans un carré N × N, par lesquels le graphe d'une fonction strictement croissante et strictement convexe peut passer.

On voit sur la figure la représentation graphique d’une fonction passant par 3 noeuds dans un carré de 3 × 3.

On donne F(1) = 2, F(3) = 3 (figure ci-contre), F(9) = 6, F(11) = 7, F(100) = 30 et F(50'000) = 1898.

Que vaut F(10¹⁸)?

Un damier de six cases sur une est dessiné avec des traits de contour noirs.
Vous désirez surligner en rouge certaines arêtes de manière à permettre de relier, d'une façon et d’une seule, n'importe quel sommet des carrés qui le composent à n'importe quel autre en suivant un tracé rouge.

1. De combien de façons différentes peut-on tracer les traits rouges?

Le dessin ci-contre montre les 15 façons de colorier un damier de deux cases sur une.

2. Même question avec un damier de deux cases sur deux.

On donnera comme réponse le produit des deux résultats.

Sur un quadrillage de n carrés sur 1, une cible rouge est placée au hasard sur un des carrés dont le fond est du même rouge. La cible est donc invisible.
Après chaque tir, la cible se déplace vers une case adjacente de manière aléatoire.
Le tireur est un expert, qui ne manque jamais la case visée, et adopte une stratégie lui permettant de minimiser son nombre de tirs maximum, que l'on notera C(n). (Attention ! Cette stratégie ne minimise pas nécessairement l'espérance !)
Si la cible est atteinte, la case change de couleur et la cible devient alors visible, afin de signifier au tireur qu'il l'a touchée et que la partie est terminée.
Soit E(n) le nombre moyen de coups nécessaires pour atteindre la cible.

On donne E(1)=1, E(2)=E(3)=3/2, E(4)=37/16 et E(5)=19/6.

Que vaut E(10)?

On saisira le produit du numérateur par le dénominateur de la fraction irréductible obtenue.

Précision : le calcul de E(n) sera basé uniquement sur tous les trajets possibles de la cible comprenant exactement C(n) déplacements, comme si la cible se déplaçait toujours C(n) fois, qu'elle ait été touchée ou non.

Soit E l'ensemble des entiers naturels n vérifiant la propriété suivante:

Si on écrit un 1 à la gauche et un 1 à la droite de n, alors on obtient le nombre 99 x n.
L'ensemble E semble avoir les deux propriétés suivantes (vérifiées pour tout n de E inférieur à 10²⁵⁰⁰ ...) :

tous les éléments de E sont congrus à A modulo 10^P (où P est le plus grand entier pour lequel cette propriété reste vraie);
les nombres de chiffres des éléments de E forment une suite arithmétique de raison R et de premier terme U.

Que vaut A x P x R x U ?

On saisira les 12 derniers chiffres du résultat.

On considère n polygones à n côtés, disposés en étoile, avec un sommet commun, comme sur les figures ci-dessous.

Dans le cas où n = 3, on peut placer les entiers de 1 à 7 de 144 façons différentes dans les cercles de sorte que les sommes des nombres aux sommets des trois triangles soient égales;
dans le cas où n = 4, on peut placer les entiers de 1 à 13 de 311 040 façons différentes de sorte que les sommes des nombres aux sommets des quatre quadrilatères soient égales.

Dans le cas où n = 5, de combien de façons différentes peut-on placer les entiers de 1 à 21, de sorte que les sommes des nombres aux sommets des cinq pentagones soient égales ?

On place les nombres de 1 à 25 dans une grille carrée, de telle façon que chaque nombre, sauf le 1 et le 2, soit la somme de deux de ses voisins (dans la grille ci-dessous, le 1 a huit voisins).

Exemple

Il se trouve que le nombre 18 est le seul qui, placé au centre de la grille, permet d'obtenir un remplissage unique, aux symétries et rotations près.
Ainsi, la donnée d'une valeur supplémentaire dans une case permet de briser toute symétrie et assure l'unicité de la grille.

On place 18 au centre et 7 sur la case A2. On numérote les cases de gauche à droite et de haut en bas de 1 à 25.

Quelle est la somme des 25 produits « nombre dans une case x numéro de la case » ?

Soient a, b et c trois nombres entiers strictement positifs tels que a > b > c.
Une pièce rectangulaire de longueur a cm et de largeur b cm est pavée par des carrés de c cm de côté.
Une corde droite relie deux coins opposés de la pièce, comme sur la figure ci-dessous. Les éventuelles découpes se situent toujours le long du côté inférieur et/ou du côté droit de la figure.

On note F(a, b, c) le nombre de pavés que la corde traverse.
Ainsi, par exemple: F(23, 16, 5) = 8 et F(4500, 2400, 30) = 220.

Quelle est la somme des F(a, b, c) pour 4400 ≤ a ≤ 4600, 2300 ≤ b ≤ 2500 et 10 ≤ c ≤ 60 ?

Un papetier possède des chaînes de trombones attachés à la suite les uns des autres.
Lors d'une "manipulation", il détache un trombone à ses deux extrémités et obtient ce trombone ainsi que deux nouvelles chaînes plus petites. Une manipulation ne peut pas concerner un trombone à l'extrémité d'une chaîne

1. Quelle est la plus longue chaîne initiale qui permet au papetier, en 10 manipulations réalisées au préalable, de fournir à un client n'importe quel nombre de trombones compris entre 1 et la longueur de la chaîne, sans avoir à effectuer de manipulation supplémentaire devant lui, mais simplement en réunissant un certain nombre des sous-chaines obtenues?

Le papetier reçoit une chaîne formée de 10'000 trombones de trois couleurs différentes: le premier est rouge, le deuxième bleu, le troisième vert. Il remarque qu'en enlevant un trombone sur quatre (à partir du quatrième: le 4, le 8, le 12...), la suite des 2500 trombones enlevés est identique à la suite des 2500 premiers trombones de la chaîne initiale et la suite des 7500 restants est identique à celle des 7500 premiers trombones de la chaîne initiale.

2. Quel est le nombre de trombones rouges, bleus et verts de la chaîne?

On saisira la somme du résultat du 1 et du produit des 3 résultats du 2.

Lorsqu'on recouvre entièrement un rectangle de côtés entiers et de surface paire avec des dominos de dimensions 2 x 1, il peut se produire une "faille", c'est-à-dire une ligne de section traversant le rectangle de part en part, horizontalement ou verticalement.

Soit A le nombre total de recouvrements possibles d'un rectangle de dimensions 8 x 5.
Soit B le nombre de recouvrements sans faille de ce rectangle.

Que vaut A x B ?

Soit A = {a₁, a₂ , ..., a_n} le plus grand sous-ensemble de l'ensemble E = {2, 3, 4, ..., N–1} tel que:

le produit P des factorielles de tous les a_k par la factorielle de N est un carré;
P est le plus grand possible.

Que vaut P si N = 99 ? On saisira les dix chiffres situés devant les zéros qui terminent l'écriture décimale de P.

Défi Turing

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