Défi Turing

Quatre bateaux font une régate. Celle-ci consiste en sept courses.
À l'issue de chaque course, chaque équipage est crédité d'un point s'il termine la course, plus un point par bateau arrivant après lui.
Il n'y a jamais d'ex-æquo dans une course, mais pour départager d'éventuels ex-æquo au total des points, la règle stipule qu'un équipage en « devance » un autre si, sur les sept courses, il est arrivé plus souvent devant l'autre à l'arrivée.

À l'issue d'une telle régate, on a constaté que :

• tous les bateaux ont terminé toutes les courses,
• les équipages A, B et C sont ex-æquo aux points,
• l’équipage A « devance » B, B « devance » C et C « devance » A !
• l’équipage vainqueur D a terminé à toutes les places possibles.

Soient S₁, ..., S_k (k>1) les scores totaux possibles de l'équipage D. On appelle régate une liste (ordonnée) des sept classements aux sept courses.
Exemple : (ABCD), (BCDA), (CDAB), (DABC), (ACBD), (ADBC), (CABD) est une régate. Il existe donc (4!)⁷ = 4'586'471'424 régates.
Soit N_i le nombre de régates respectant toutes les contraintes et pour lesquelles le score total de l'équipage D est S_i.

Que vaut la somme des N_i x S_i, pour i allant de 1 à k ?