Calcul de p par la méthode de Monte-Carlo

La méthode de Monte-Carlo a pour but la résolution de problèmes numériques déterministes à la base. La démarche consiste à formuler un problème de probabilité dont la réponse coïncide avec celle du problème de départ et à le résoudre de façon approchée à l'aide d'une simulation. Cette méthode, que l'on utilisera seulement en dernier ressort vu sa mauvaise convergence, est souvent le seul moyen viable pour la résolution de problèmes complexes, rencontrés surtout en physique. Comme illustration simple, nous allons trouver une approximation du nombre p par une méthode de Monte-Carlo géométrique. Algorithme Générer 2n nombres pseudo-aléatoires dans l'intervalle [0;1[. Grouper ces nombres par deux pour obtenir n points de coordonnées (x,y) dans le carré [0;1[ x [0;1[. Si x2+y2<1, le point M(x,y) appartient au quart de disque de rayon 1 (en vert sur le dessin ci-contre). Compter les points verts et les diviser par le nombre total de points (n). Quel nombre devrait-on théoriquement obtenir?

Exemple avec 2000 points

Exercice

Programmez en Mathematica l'algorithme exposé ci-dessus, en utilisant le standard minimum comme générateur de nombres pseudo-aléatoires. Fonctions Mathematica utiles: AppendTo, For, MultipleListPlot, If, Length, N, Partition, Print, RGBColor. Fichier d'extension: Graphics`MultipleListPlot`

Références

• Calcul de pi par la méthode de Monte-Carlo
• Applet : Calcul de pi par méthode de Monte-Carlo
• Calcul d'intégrale par la méthode de Monte-Carlo

Didier Müller, 23.1.03