 | Travaux en mathématiquesInfluent sur le plan théorique, il a apporté une contribution importante à l'analyse et à la géométrie différentielle.
Dans sa thèse, présentée en 1851, Riemann met au point la théorie des fonctions d'une variable complexe, introduisant notamment le concept des surfaces qui portent son nom, notamment les sphères de Riemann. Il approfondira cette théorie en 1857, en mettant au point la théorie des fonctions abéliennes.
Lors de sa soutenance d'habilitation, en 1854, orienté par Gauss, il donne un exposé intitulé Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen) qui jette les bases de la géométrie différentielle. Il a introduit la bonne façon d'étendre à n dimensions les résultats de Gauss lui-même sur les surfaces. Cette soutenance a profondément changé la conception de la notion de géométrie, notamment en ouvrant la voie aux géométries non euclidiennes et à la théorie de la relativité générale.
On lui doit également d'importants travaux sur les intégrales, poursuivant ceux de Cauchy, qui ont donné entre autres ce qu'on appelle aujourd'hui les intégrales de Riemann.
En 1859, Riemann, qui vient juste d'être nommé professeur à Göttingen et à l'Académie des Sciences de Berlin, publie un article Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. Il y définit la fonction Zeta, en reprenant les travaux de Euler et en les étendant aux nombres complexes, et utilise cette fonction dans le but d'étudier la répartition des nombres premiers. La célèbre hypothèse de Riemann sur les zéros non triviaux de la fonction zêta formulée dans cet article n'est toujours pas démontrée, et fait partie des fameux 23 problèmes de Hilbert. |
