 | Travaux en mathématiquesToute sa vie, Pascal contribue aux mathématiques par des travaux majeurs. Dès l'âge de seize ans, il commence à travailler sur ce qui deviendra plus tard la géométrie projective. Il utilise et approfondit les travaux du Brouillon-project d'une atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan de Girard Desargues ainsi que ceux d'Apollonius. Ainsi, en 1640, il fait imprimer son Essai pour les coniques et achève, en 1648, un traité de la Generatio conisectionum (Génération des sections coniques), dont il ne reste que des extraits pris par Leibniz. La grande innovation est le théorème de Pascal qui dit que l’hexagramme formé par 6 points d’une conique a ses côtés opposés concourants en trois points alignés.
A partir de 1650, Pascal s’intéresse au calcul infinitésimal et, en arithmétique, aux suites de nombres entiers. Il énonce pour la première fois le principe du raisonnement par récurrence.
En 1654, il écrit son Traité du triangle arithmétique dans lequel il donne une présentation commode en tableau des coefficients du binôme, le « triangle arithmétique », maintenant connu sous le nom de « triangle de Pascal » (Il faut noter qu’un mathématicien chinois sous la dynastie des Qin, Yang Hui, avait travaillé quatre siècles plus tôt sur un concept semblable au triangle de Pascal et Omar Khayyam, six siècles plus tôt).
La même année, un ami, intéressé par les problèmes de jeu, l’interroge, Pascal correspond avec Fermat sur le sujet et de cette collaboration va naître la théorie mathématique des probabilités. Son ami était le Chevalier de Méré et le problème était celui dit de la « règle des partis » : deux joueurs décident d’arrêter de jouer avant la fin du jeu et souhaitent partager les gains de manière équitable en s’appuyant sur les chances que chacun avait de gagner parvenu à ce point. C’était l’introduction de la notion d ’« espérance mathématique ». Pascal, plus tard dans les Pensées utilisera un argument probabiliste, le « pari de Pascal », pour justifier de sa croyance en Dieu et en une vie vertueuse. Le travail fait par Pascal et Fermat dans le calcul des probabilités constitue une importante préparation du travail de Leibniz sur le calcul infinitésimal.
Ses derniers travaux scientifiques concernent les cycloïdes. En 1658, il résout ainsi certains problèmes qui occupaient nombre de mathématiciens, liés notamment à l’aire et au volume créés par la rotation d’une cycloïde autour de son axe.
Après l’expérience mystique de 1654, Pascal abandonne presque complètement tout travail de mathématique. Cependant, après une nuit d’insomnie en 1658, il offre anonymement un prix pour la résolution de la quadrature de la cycloïde. Des solutions sont proposées par Wallis, Huygens, Wren et d’autres ; Pascal, toujours sous un pseudonyme, publie alors sa propre solution Histoire de la roulette (en français et en latin) avec une Suite de l’histoire de la roulette à la fin de l’année. En 1659, il envoie à Huygens une Lettre sur la dimension des lignes courbes sous le nom de Dettonville.
La contribution majeure de Pascal à la philosophie des mathématiques est De l’Esprit géométrique, écrit originellement comme une préface d’un manuel Éléments de géométrie pour les célèbres petites-écoles de Port-Royal, à la demande d’Arnauld. Ce travail n’a été publié qu’un siècle après sa mort. Pascal y examine les possibilités de découvrir la vérité, argumentant que l’idéal pour une semblable méthode serait de se fonder sur les propositions dont la vérité est déjà établie. Toutefois, il affirmait que c’était impossible parce que pour établir ces vérités, il faudrait s’appuyer sur d’autres vérités et que les principes premiers ne pourraient être atteints. De ce point de vue, Pascal affirmait que la procédure utilisée en géométrie était aussi parfaite que possible, avec certains principes énoncés mais non démontrés et les autres propositions étant développées à partir d’eux. Néanmoins, il n’existait pas de possibilité de savoir si ces principes étaient vrais.
Dans De l’Esprit géométrique et de l’Art de persuader, Pascal étudie plus encore la méthode axiomatique en géométrie, particulièrement la question de savoir comment le peuple peut être convaincu par les axiomes sur lesquels les conclusions sont fondées ensuite. Pascal est d’accord avec Montaigne qu’obtenir la certitude à propos de ces axiomes et des conclusions grâce aux méthodes humaines était impossible. Il assurait que ces principes ne pouvaient être saisis que par l’intuition et que ce fait soulignait la nécessité de la soumission à Dieu dans la recherche de la vérité.
Pascal développe aussi dans De l’Esprit géométrique… une théorie de la définition. Il distingue les définitions qui sont des termes conventionnels définis par l’auteur et les définitions incluses dans le langage et comprises par tous parce qu’elles désignent naturellement leur référent. Les secondes sont caractéristiques de la philosophie de l’essence (essentialisme). Pascal affirme que seules les définitions du premier type sont importantes pour la science et les mathématiques, considérant que ces domaines devraient adopter la philosophie du formalisme, comme Descartes l’a établie. |
