 | Travaux en mathématiquesEn mathématiques, il apporte d'importantes contributions à la théorie des nombres et aussi à la théorie des équations différentielles. Sa contribution à l'analyse, par exemple, est issue de sa synthèse du calcul différentiel de Leibniz avec la méthode de Newton des fluxions.
Il établit sa renommée très tôt en résolvant un problème connu de longue date - à savoir la détermination de la somme des inverses des carrés d'entiers.
Il montra aussi que pour tout nombre réel x, eix = cos(x) + isin(x). C'est la formule d'Euler, qui établit le rôle central de la fonction exponentielle. Par essence, toutes les fonctions étudiées en analyse élémentaire sont ou de simples variations de la fonction exponentielle ou des fonctions polynomiales.
L'identité d'Euler, ei pi + 1 = 0, que certains scientifiques ont appelé la « formule la plus remarquable du monde » en est une conséquence immédiate.
En arithmétique, il introduit la fonction indicatrice d'Euler phi(n), définie comme le nombre d'entiers inférieurs à n et premiers à n. Généralisant le petit théorème de Fermat, il démontre le théorème d'Euler à la base de la cryptographie RSA de nos jours.
En 1735, il travaille sur la constante d'Euler-Mascheroni utile dans certaines équations différentielles.
Il est un coauteur de la formule d'Euler-Maclaurin qui est un outil extrêmement puissant pour le calcul des intégrales, des sommes et des séries difficiles.
Euler écrit Tentamen novae theoriae musicae en 1739 qui est une tentative d'accorder les mathématiques et la musique ; une biographie commente que le travail est destiné « à des musiciens trop avancés dans leurs mathématiques et à des mathématiciens trop musicaux ».
Dans les sciences économiques, il prouve que si chaque facteur de production est payé à la valeur de son produit marginal, alors (sous des rendements à l'échelle constants) le revenu total et le rendement seront complètement épuisés.
En géométrie et en topologie algébrique, il y a une relation appelée relation d'Euler qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces d'un polyèdre du genre 0 (en supprimant une face on obtient une surface simplement connexe), par exemple d'un polyèdre convexe. Étant donné un tel polyèdre, la somme du nombre de sommets S et de faces F est toujours égale au nombre d'arêtes A plus deux c'est-à-dire : F - A + S = 2
Le théorème s'applique également à n'importe quel graphe du plan. La relation d'Euler a donné naissance à la caractéristique d'Euler en topologie algébrique et en algèbre homologique.
En 1736, Euler résout un problème connu sous le nom du problème des sept ponts de Königsberg, publiant un article Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis qui pourrait être l'application la plus ancienne de la théorie des graphes ou de la topologie. Cette publication serait également la plus ancienne et donc la première en Recherche Opérationnelle. |
