 | Travaux en mathématiquesLe principal apport de Descartes en mathématique est l'application des méthodes de l'algèbre (réformée par Viète au début du siècle) aux problèmes de la géométrie, pratiqués presque sans changement depuis l'antiquité (cf. Archimède par exemple). Mais les mathématiques ne sont pour lui qu'un moyen d'éprouver sa méthode, de s'y exercer, car il n'y a pas de science à laquelle on puisse demander des exemples aussi certains et évidents.
Pour Descartes, l'algèbre est une méthode de raisonnement sur des quantités inconnues. Il est le premier à utiliser les lettres de la fin de l'alphabet pour les inconnues et les lettres du début de l'alphabet pour les nombres qui varient, mais que l'on connaît.
Il note que, si un polynôme s'annule en un nombre c, alors il se factorise par x-c. Il énonce une règle portant sur les signes des coefficients du polynôme et permettant de donner un majorant du nombre de racines positives ou de racines négatives. Descartes appellent fausses solutions les valeurs absolues des racines négatives d'une équation. Il ne conçoit guère les nombres négatifs qu'en changeant les signes des quantités où ils interviennent de façon à se ramener à des coefficients positifs. Outre les racines positives (vraies solutions) que négatives (fausses solutions), il introduit le vocable imaginaire pour désigner des racines ni positives, ni négatives.
Descartes établit, en même temps que Fermat, la géométrie analytique, comme une application de l'algèbre à la géométrie. Le premier livre de la Géométrie est ainsi consacré à la résolution de problèmes à l'aide de droites et de cercles, auxquels il appliquent des procédés algébriques.
L'utilisation des coordonnées permet à Descartes d'unifier l'étude des courbes, mettant fin à une distinction remontant à l'Antiquité, où l'on privilégiait droites, cercles et coniques par rapport aux autres courbes. Ainsi, dans la Géométrie, résout-il l'équation générale de l'équation du sixième degré par intersection d'un cercle et d'une cubique.
Il donne une méthode pour déterminer la normale à certaines courbes. Pour cela, il cherche le centre d'un cercle touchant la courbe selon un point double. Le cercle sera alors tangent à la courbe et son centre placé sur la perpendiculaire à la tangente. Il procède ainsi pour la conchoïde de Nicomède. Il utilise également cette méthode pour ses ovales, en rapport avec la fabrication de lentilles optiques de qualité. Il détermine également quelle est la tangente en un point de la cycloïde.
Le théorème de Descartes, découvert par René Descartes en 1643, établit une relation entre les rayons de quatre cercles tangents entre eux. Il peut être utilisé pour construire un quatrième cercle tangent à trois autres. |
