 | Travaux en mathématiquesIl fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques, derrière Leonhard Euler, avec près de 800 parutions et sept ouvrages; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence des séries et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.
Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIXe siècle. La négligence dont fit preuve Cauchy envers les travaux d'Évariste Galois et de Niels Abel, perdant leurs manuscrits, a cependant entaché son prestige.
Dans son Cours d’Analyse, il définit rigoureusement la convergence des séries, et étudie en particulier les séries à termes positifs : les sommes partielles convergent si et seulement si elles sont bornées. Il donne des résultats de comparaison de séries. Il déduit de la convergence des séries trigonométriques un critère de convergence qui porte aujourd’hui son nom, le critère de Cauchy.
Toujours dans son Cours d’Analyse, il énonce et démontre le théorème des valeurs intermédiaires[31], démonstration finalisée par Bolzano. Il précise les notions de limite ; et formalise en termes de limites la continuité et la dérivabilité. Il est le premier à donner une définition sérieuse de l’intégration. Il définit l’intégrale d’une fonction d’une variable réelle sur un intervalle comme une limite d’une suite de sommes de Riemann prises sur une suite croissante de subdivisions de l’intervalle considéré. Sa définition permet d'obtenir une théorie de l’intégration pour les fonctions continues. Dans son cours de Polytechnique, Leçon de calcul différentiel et intégral, il apporte clarté et rigueur aux résolutions des équations différentielles linéaire d'ordre un et s'intéressa aux équations au dérivées partielles (théorème de Cauchy-Lipschitz).
On doit à Cauchy l'introduction des fondements de l'analyse complexe. Sous l’influence de Laplace, il présente dans le mémoire Sur les intégrales définies (1814) la première écriture des équations de Cauchy-Riemann comme condition d'analycité pour une fonction d'une variable complexe. Dans cet article, il s’intéresse à l’intégration d’une fonction analytique d’une variable complexe sur le contour d’un rectangle, donne la définition de résidu, et fournit un premier calcul de résidu. Dans Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires (1825), il donne la première définition d'intégrale curviligne, démontre l'invariance par homotopie (formulée en termes d'analyse), et énonce précisément le théorème des résidus pour les fonctions analytiques comme outil pour le calcul d'intégrales.
Lagrange avait démontré que la résolution d’une équation algébrique générale de degré n passe par l’introduction d’une équation intermédiaire : sa résolvante dont le degré est le nombre de fonctions à n variables obtenues par permutation des variables dans l’expression d’une fonction polynomiale. Ce nombre est un diviseur de n! : ce résultat est aujourd’hui vu comme une conséquence de l’actuel théorème de Lagrange. En 1813, Cauchy améliore cette estimation et démontre que ce nombre est supérieur au plus petit diviseur premier de n. Son résultat fut généralisé ensuite en l’actuel théorème de Cauchy.
Il fut le premier à réaliser une étude des permutations comme des objets (appelés alors substitutions). Il introduit les écritures encore utilisées aujourd’hui pour noter les permutations ; il définit le produit, l’ordre, et établit l’existence et l’unicité de la décomposition des permutations en produit de cycles (substitutions circulaires) à supports disjoints. Les travaux de Cauchy et de Lagrange sur le sujet sont considérés comme précurseurs de la théorie des groupes. Cependant, Cauchy ne connaissait pas la théorie des groupes et donna sans le savoir une première étude du groupe symétrique.
En algèbre linéaire, il écrivit un traité sur le déterminant contenant l'essentiel des propriétés de cette application. Il étudia la diagonalisation des endomorphismes symétriques réels et qu'il démontra en dimension deux et trois et dans le cas où le polynôme caractéristique ne possède aucune racine multiple. Enfin, il formalisa la notion de polynôme caractéristique.
En 1811, il s’intéresse dans son premier mémoire à l’égalité de polyèdres convexes dont les faces sont égales. Il propose une démonstration du théorème de Descartes-Euler, concernant les nombres de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre convexe. Sa preuve consiste à projeter le polyèdre en un graphe planaire suivant ce qui est aujourd’hui appelé une projection stéréographique. Cependant, Cauchy commit une erreur, en ne faisant pas d’hypothèse claire sur les polyèdres étudiés.
Dans son second mémoire en 1812, il donna des formules pour calculer les angles dièdres.
Les travaux de Cauchy sur le principe du minimax permirent de développer la théorie de la décision statistique. En 1853, il étudia une famille de distributions paires via leurs fonctions caractéristiques répondant à un problème variationel ; parmi ces lois doivent être mentionnées la loi normale et la loi de Cauchy, découverte par Poisson. Faisant usage des fonctions caractéristiques, il publia une preuve du théorème central limite.
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