 | Travaux en mathématiquesBrouwer est surtout connu pour son travail en topologie, entre autres le théorème du point fixe qui porte son nom. Son apport théorique à la logique formelle n'en fut pas pour autant négligeable. Dans sa célèbre conférence de Vienne en 1930 sur "la structure du continu" (Paris, 1992), il situe sa pensée dans le prolongement de celles de Kant et de Schopenhauer. Reprenant les théories euclidiennes, la théorie des ensembles de Cantor et la méthode axiomatique, Brouwer fut conduit à mettre en opposition le formalisme, qui considère les mathématiques comme un langage, et l'ancienne école intuitioniste, en partie liée au formalisme, pour qui l'arithmétique demeure une collection de jugements synthétiques à priori. Selon lui, le formalisme manque de base en ce qu'il limite au dénombrable achevé le nombre d'éléments composant le continu, en admettant la rationalité bornée des nombres et les coupures de Dedekind. Pour concevoir légitimement le continu en tant qu'unité totale, il est nécessaire d'en extraire une species de suites représentatives appropriées, c'est à dire convergentes particulières telle que ceux de ses éléments qui sont égaux soient associés à des éléments égaux du continuum d'unité totale, permettant ainsi de concevoir en théorie un ensemble n-finitaire pur caractérisé par une suite non bornée de choix de signes spécifiés.
Il fut donc avec Henri Poincaré, Hermann Weyl et Arend Heyting l'un des principaux artisans de la théorie des mathématiques intuitionnistes, d'après laquelle les mathématiques sont intuitives et ne peuvent pas être purement hypothético-déductives (par opposition au logicisme de Russell et Frege, au formalisme de Hilbert et au platonisme de Gödel).
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