 | Travaux en mathématiquesSpécialiste de la théorie des nombres, il a montré l'existence de bornes effectives sur les solutions des équations diophantiennes : les solutions (x,y) d'une équation de la forme f(x,y) = m, où m est un entier positif et f une forme binaire irréductible de degré supérieur à 3, sont bornées supérieurement par un nombre qui ne dépend que de m et des coefficients de f. Ce résultat ouvre la voie à la détermination explicite de toutes les solutions d'une large classe d'équations et est donc un pas essentiel vers la résolution du dixième problème de Hilbert. Généralisant en 1966 un résultat de Alexandre Gelfond et T. Schneider datant de 1934, Baker a par ailleurs prouvé la conjecture énoncée en 1929 par Gelfond, à savoir que le produit de plusieurs nombres algébriques élevés chacun à des puissances algébriques, irrationnelles et linéairement indépendantes, est un nombre transcendant. De plus, il a montré que la somme des circonférences de deux ellipses, dont les axes ont des longueurs algébriques, est un nombre transcendant. Baker a aussi démontré une série de théorèmes sur l'indépendance algébrique des nombres transcendants, prouvant par exemple que si des nombres algébriques ont leurs logarithmes linéairement indépendants au sens des nombres rationnels, alors le nombre 1 et ces logarithmes sont linéairement indépendants au sens des nombres algébriques. |
