Le problème de Monty Hall

Let's Make A Deal ! est un show télévisé américain qui a commencé le 30 décembre 1963. Les chaînes européennes ont repris plus tard le concept (en France: le Bigdil sur TF1).

À la fin du jeu, l'animateur, Monty Hall, vous offrait la possibilité de gagner ce qui se trouvait derrière une porte. Il y avait trois portes: derrière l'une d'entre elles se trouvait un prix magnifique (par exemple un voyage) et derrière les deux autres un prix moins intéressant (par exemple une chèvre ou une barre de chocolat). Vous choisissiez alors une porte. Pour ménager le suspense, Monty Hall, avant de révéler ce qu'il y avait derrière la porte que vous aviez choisie, ouvrait une des deux autres portes (derrière laquelle ne se trouvait jamais le voyage). Il vous posait enfin la dernière question:

"Conservez-vous votre premier choix, ou bien choisissez-vous l'autre porte encore fermée?"

Parties gagnées:

           

Exercice

On peut imaginer trois stratégies de jeu:
  1. On tire au sort une des deux portes restantes.
  2. On garde toujours la porte que l'on a choisie en premier.
  3. On choisit toujours l'autre porte.
Essayez de trouver par le raisonnement quelle est la meilleure stratégie.
Quelle est la probabilité de gain théorique pour chacune des trois stratégies?

Références

Didier Müller, 20.1.22