Cryptarithmes

Chapitre:

XX. Divertissements cryptographiques

Prérequis:

Un cryptarithme est un casse-tête purement arithmétique, où il s'agit de retrouver une opération mathématique qui a subi une transformation littérale selon un code bien déterminé. Les cryptarithmes les plus courants sont dits de substitution bijective. Voici les règles que ces cryptarithmes doivent suivre:

un chiffre donné sera toujours remplacé par une même lettre;
une lettre donnée représente toujours le même chiffre;
aucun nombre ne peut commencer par un zéro;
les accents sont sans incidence (sauf précision de l'auteur);
idéalement, il n'y a qu'une solution.

Évidemment, les plus beaux cryptarithmes sont ceux dont les lettres forment des mots du dictionnaire. Si en plus ces mots ont un rapport entre eux, cela confine à l'art.

Exemple de résolution

	S	U	I	S	S	E
+		S	U	È	D	E

	B	R	É	S	I	L

En 4e colonne (les colonnes se comptent à partir de la gauche), S se retrouve au-dessus et au-dessous du trait de l'addition. L'autre lettre, E, vaut donc 0 ou 9 (s'il y a une retenue). Mais, d'après la dernière colonne, E doit être différent de 0. Donc E = 9 et L = 8.

Les retenues sont connues, l'addition est devenue:

1 1 1 1

S U I S S 9

+ S U 9 D 9

B R 9 S I 8

En 3e colonne, on a 1+I+U=9, soit I+U=8 (a)
En 5e colonne, on a 1+S+D=10+I, soit S+D=9+I (b)
Additionnons (a) et (b). Il vient S+D+U=17.
Supposons qu'aucune de ces trois lettres n'est 7. Les valeurs 9 et 8 étant attribuées, S+D+U donne au maximum 6+5+4=15. Impossible.
L'une de ces lettres vaut donc 7 et les deux autres lettres 4 et 6.
En première colonne, on a B=S+1. S ne peut valoir que 4 (S=6 et B=7 ou S=7 et B=8). On a donc S=4, B=5. Si U=7, de (a) on déduit I=1 et en 2e colonne E=1. Impossible.
D'où U=6, et I=2.
De la 2e colonne, on déduit R=0, et, finalement, D=7.

La solution est:

	4	6	2	4	4	9
+		4	6	9	7	9

	5	0	9	4	2	8

Exercices

Résolvez les dix cryptarithmes ci-dessous:

1.

L I

+ L I

C I I

2.

S E N D

+ M O R E

M O N E Y

3.

S O L E I L

+ S A B L E

B I K I N I

4.

V I A G R A

+ V I A G R A

O R G A S M E

5.

F O R T Y

+ T E N

+ T E N

S I X T Y

6.

J U P I T E R

+ S A T U R N E

+ U R A N U S

N E P T U N E

7.

F R A I S E

+ C I T R O N

+ C E R I S E

R A I S I N

8.

B É L I E R

+ C A N C E R
+ B A L A N C E

T A U R E A U

9.

X L I V

x X

C D X L

(2 solutions)
10*. Écrivez en Mathematica un programme qui vous donnera la réponse du cryptarithme ci-dessous:

THREE x NINE = TROIS x NEUF
Indications:
THREE et NEUF sont des multiples de 9;
TROIS et NINE sont des multiples de 3.

Solutions

Référence

Cryptarithmetic Puzzle Solver

Didier Müller, 2.1.04