Le blog-notes mathématique du coyote

Jean-Philippe Fontanille, compositeur et professeur de guitare à Paris, a composé une pièce intitulée Harmonisation de pi . Ce morceau, dont vous pouvez écouter la version pour guitare acoustique (format mp3), a la particularité de faire entendre les décimales de pi. Le compositeur a construit ce morceau de la façon suivante: la gamme possédant sept notes, il a commencé par écrire pi en base sept. Cette manipulation lui permettait de convertir toute décimale en une note selon le code suivant : 0 pour do, 1 pour ré, 2 pour mi, 3 pour fa, 4 pour sol, 5 pour la et 6 pour si. L'étape suivante est l'harmonisation. Cela signifie que chaque chiffre ne sera plus seulement affecté à une seule note, mais à un accord complet dont cette note est la fondamentale.
Les premières décimales de pi en base 7 sont: 3,06636514320361341102634022446...

Touching Soap Films est un film d'animation 3D de Hermann Karcher et Konrad Polthierune, qui a pour but d'expliquer aux débutants les surfaces minimales. Il est possible de télécharger gratuitement des extraits de ce film.
Un prof d'université a utilisé ces extraits lors d'un exposé à mes élèves (niveau Lycée), qui avaient l'air tout à fait intéressés, même si le sujet lui-même est très compliqué. On peut obtenir facilement des surfaces minimales en trempant des courbes fermées en fil de fer dans de l'eau savonneuse (les élèves s'y sont d'ailleurs essayés), mais, comme souvent, la nature est difficile à décrire mathématiquement.

Une légende raconte que sur la tombe de Diophante était écrite l'épitaphe suivante :

Passant sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des septs parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
Reçut de jours hélas! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Cela faisait longtemps que je cherchais un économiseur d'écran original et gratuit. Je l'ai trouvé avec Sun clock 5. Ce logiciel montre quelle partie de la Terre est dans l'obscurité, entre autres. Il est très intéressant de voir comment cela évolue au cours de l'année. J'ai d'ailleurs dans mon cours un exercice pour calculer cette zone (pp. 63-65).
La version 6, encore plus sophistiquée, est payante.

La SMF et la SMAI ont réalisé en juillet 2002 une brochure intitulée "L'explosion des mathématiques". Elle a bénéficié de la collaboration de nombreux collègues et a pour but de montrer à un large public l'intérêt et la modernité des mathématiques, et d'expliquer les enjeux de la recherche. Cette brochure est téléchargeable au format PDF.

Quelques liens très utiles pour des activités en classe autour du jeu Sudoku:

Tout d'abord, une introduction au jeu: http://www.mots-croises.ch/Manuels/Sudoku/.
Des grilles de tous les niveaux: http://www.websudoku.com/ ou http://www.menneske.no/sudoku/eng/.
Ensuite, un logiciel gratuit qui aide à résoudre les grilles: the sudoku susser (versions Mac, Windows et Unix).

J'ai d'abord donné des grilles faciles aux élèves, ce qui leur a permis de découvrir des stratégies de résolution simples. Puis, j'ai augmenté la difficulté des grilles, et ils ont dû développer d'autres stratégies. Ils ont utilisé pour s'aider le formidable logiciel Sudoku Susser. Puis je leur ai posé quelques questions difficiles:

1. Combien faut-il donner de chiffres pour que la solution soit unique?
   Réponse sur Minimum Sudoku
   
2. Combien y a-t-il des grilles différentes?
   Réponse sur There are 6670903752021072936960 Sudoku grids ou dans l'article Enumerating possible Sudoku grids de Bertram Felgenhauer et Frazer Jarvis.
   
3. Comment construit-on un problème de sudoku?
   Réponse sur Let's make Sudoku!.
   
4. Comment définit-on la difficulté d'une grille?
   Réponse sur le forum des cruciverbistes.

1960
Un paysan vend un sac de patates 10 fr. Ses frais atteignent 4/5 de son prix de vente. Quel est son bénéfice ?

1970
Un fermier vend un sac de patates 10 fr. Ses frais atteignent 4/5 de son prix de vente, c’est-à-dire 8 fr. Quel est son bénéfice ?

1970 (Math. modernes)
Un fermier échange un ensemble de patates P avec un ensemble de pièces de monnaie M. La cardinalité de l’ensemble M est égal à 10 et chaque élément de M vaut 1 fr. Dessinez dix gros ronds représentant les éléments de M. L’ensemble C des coûts de production est composé de deux gros ronds de moins que dans l’ensemble M. Représentez C comme un sous-ensemble de M et répondez à la question suivante :
Quelle est la cardinalité de l’ensemble des bénéfices ?

1980
Un fermier vend un sac de patates 10 fr. Ses coûts de production sont de 8 fr. et son bénéfice est de 2 fr. Soulignez le mot patates et engagez une discussion avec vos camarades de classe.

1990
Un(e) fermier(ère) vend un sac de patates 10 fr. Ses coûts de production représentent 80 % de son revenu. Sur votre calculatrice, dessinez le graphe du revenu en fonction des coûts. Utilisez le programme PATATES pour déterminer le profit. Discutez le résultat avec les élèves de votre groupe. Rédigez une brève dissertation qui analyse cet exemple dans le monde réel de l’économie.

2004
Un producteur de l’espace agricole câblé sur ADSL consulte en conversationnel une data bank qui display le day-rate de la patate. Il télécharge son progiciel SAP/R3 de computation fiable et détermine le cash flow sur écran pitch 0.25 mm Energy Star.
Dessine avec ton mulot le contour 3D du sac de pommes de terre, puis logue-toi au réseau Arpanot (Deep Blue Potatoes). Via le SDH boucle 4.5, extrais de MIE le graphe des patates.
Question : le producteur respecte-t-il la norme ANSI, ISO, EIAN, CCITT, AAL ?

Pour en finir (provisoirement?) avec la playmatologie, je signale encore cette étude où groupe de scientifiques a analysé les poids et mesures de 240 femmes ayant fait la page centrale de Playboy entre 1978 et 1998.
La conclusion est la suivante: de ces femmes, sept sur dix ont un poids très inférieur à la normale. En termes médicaux, on dirait que sept sur dix sont maladivement maigres. Le couple a été aidé dans sa recherche par le fait que chaque photo d'un modèle est accompagnée des données sur son âge, son poids, sa taille et ses mensurations. L'index de poids corporel moyen est de 18.1. On considère que quelqu'un a un poids insuffisant en dessous de 18.5. Près de 8 modèles sur 10 sont au seuil de l'anorexie, pesant moins de 85% du poids idéal.
Peter Katzmarzyk et Caroline Davis, de l'Université York, en Ontario, qui ont mené cette recherche, ne sont pas surpris, puisque c'était là leur hypothèse de départ. Plus tôt, même l'Association médicale britannique avait demandé aux éditeurs de telles publications, de même qu'aux publicitaires, qu'ils fassent un "usage plus responsable" de telles images, alléguant qu'elles sont responsables d'une augmentation des cas d'anorexie.
"Compte tenu de la perception qu'on a des modèles de Playboy comme étant des femmes idéales, le fait que 70% d'entre elles soient maladivement maigres met une pression sociale sur les femmes pour être maigres", concluent les chercheurs, dont l'étude a parue l'International Journal of Obesity. Ils notent cependant que "les femmes dans Playboy ne paraissent pas cliniquement sous-alimentées. Peut-être que leur poids et leurs mesures ne sont pas strictement exacts".

Katzmarzyk PT, Davis C (2001) Thinness and body shape of Playboy centerfolds from 1978 to 1998. International Journal of Obesity and Related Metabolic Disorders 25: 590-592.

L’analyse des couvertures de Playboy entre les années 1960 et 2000 révèle que les Playmates ont des yeux plus grands et des hanches plus larges quand le contexte économique est favorable. Décidément, comme on l'a déjà montré dans le billet d'hier, les scientifiques trouveront toujours de bonnes raisons de feuilleter Playboy...

Quelles femmes les hommes préfèrent-ils ? Petites, grandes, minces ou grosses ? Taille fine et larges hanches, grands yeux ou petits yeux ? Tout dépend de la conjoncture économique, selon les résultats d’une étude réalisée par les psychologues Terry Petitjohn et Brian Lungeberg, à l’Université de Meyhurst, aux États-Unis.
Ces derniers ont analysé en détail les dimensions du corps et du visage des « Playmates de l’année » du magazine Playboy, entre 1960 et 2000. Ils ont mesuré la largeur de leurs yeux, de leur taille et de leurs hanches, et... l’indice de qualité de la vie aux États-Unis ! Ce paramètre résulte d’un savant calcul qui prend en compte les chiffres du chômage, de l’inflation, du pouvoir d’achat des ménages, du produit intérieur brut par habitant, le tout pendant ces 40 années.
Ils ont constaté que les yeux des Playmates deviennent de plus en plus petits quand la conjoncture économique se fait plus difficile. Parallèlement, la taille s’élargit, les hanches deviennent plus étroites, et le tour de poitrine rétrécit. Au contraire, quand la vie est plus facile, on préfère les tailles fines, les grands yeux, les hanches larges et les poitrines plus amples. Pourquoi ? Il semble que les hommes préfèrent spontanément – au moins tant que les conditions de vie sont favorables – des personnes aux grands yeux, car cela leur rappellerait les enfants, dont les yeux occupent une proportion plus importante du visage : cela fait vibrer en eux une fibre protectrice. La finesse de la taille et la largeur des hanches sont des signes de féminité qui distinguent nettement une femme d’un homme, et seraient un signe de fécondité. Or, lorsque les conditions de vie sont favorables, on cherche à se reproduire.
Au contraire, lorsque les temps sont durs, les hommes seraient en quête de femmes aux caractéristiques à la fois plus adultes et plus masculines : les yeux plus petits contrastent avec les grands yeux des enfants, et sont typiquement ceux d’un adulte. La taille plus large et les hanches plus étroites sont des signes de masculinité, et toutes ces caractéristiques réunies deviennent intéressantes lorsqu’il est difficile de gagner sa vie. On cherche alors plus à être protégé qu’à protéger, et l’on a besoin d’un allié qui participe à des tâches masculines, davantage qu’à la reproduction.
Cette vision très sexiste de l’évolution des hommes et des femmes confine au cynisme si l’on accepte l’idée que le jugement esthétique est inconsciemment guidé par des impératifs économiques. C’est pourtant ainsi, prétendent les auteurs de cette étude, que l’espèce humaine aurait traversé les âges. Dans ce cas, il faudrait comprendre la passion de la noblesse du XVIIIe siècle pour les Vénus opulentes : à en croire cette étude, les larges hanches de l’époque reflétaient la prospérité économique de la cour de Louis XIV !

Tiré de Cerveau & Psycho, no 9, février 2005

Vous pouvez aussi lire l'article original : T. Petitjohn et B. Jungeberg, Playboy Playmate curves : changes in facial and body feature preferences across social and economic conditions, in Personality and social psychology bulletin, vol.30, pp. 1186-1197, 2004.

Si beaucoup de chercheurs ont le nez plongé dans Playboy, ce n'est pas seulement pour se rincer l'oeil. Il s'agit d'étudier comment évolue l'idéal féminin au cours du temps, courbes à l'appui. Photo: Eva Herzigova (2001).
Martin Voracek, chercheur au département de psychanalyse de l'université de Vienne, assisté d'une étudiante, Maryanne Fisher, ont dépouillé les 577 éditions de Playboy parues entre décembre 1953 et décembre 2001, afin de relever les mensurations des centrefold models. Ils ont extrait les données anthropométriques suivantes: hauteur, poids, tour de poitrine, tour de taille et tour de hanches. Ils ont aussi calculé les mesures composites suivantes: index de masse corporelle (poids divisé par le carré de la hauteur), rapport tour de taille/tour de hanche, rapport tour de taille/tour de poitrine, rapport tour de poitrine/tour de hanches et un index d'androgynie (tour de hanche/racine de (tour de hanche*tour de poitrine)). Ces mesures ont été corrélées avec les numéros de Playboy (no 1 à 577).
Toutes les mesures, excepté le poids qui était presque stable (r=0.02), ont montré des changements significatifs avec le temps. Alors que l'augmentation de la hauteur (r=0.36) reflète une tendance bien connue, tous les autres changements méritent qu'on leur prête attention. Avec le temps, le tour de poitrine (r=-0.36) et le tour de hanches (r=-0.29) ont diminué, pendant que le tour de taille a augmenté (r=0.27). Les mesures composites ont montré les mêmes tendances: l'index de masse corporelle (r=-0.46) et le rapport poitrine/tour de hanches (r=-0.13) a diminué, tandis que le rapport tour de taille/tour de hanches (r=0.47), le rapport tour de taille/tour de poitrine (r=0.48), et l'index d'androgynie (r=0.50) ont augmenté.
Conclusion brutale: les filles qui excitent les hommes sont passées du format sablier (comme Marylin Monroe), au format longue brindille, plutôt androgyne (comme Eva Herzigova).

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GeoGebra est un logiciel dynamique de mathématiques réunissant géométrie, algèbre et calcul. Il a été développé dans un but éducatif pour l'école (niveau secondaire) par Markus Hohenwarter à l'Université de Salzburg. Ce logiciel gratuit est disponible en plusieurs langues, dont le français.
D'une part, GeoGebra est un système géométrique dynamique. Vous pouvez élaborer des constructions comprenant des points, des vecteurs, des segments, des droites, des coniques et même des courbes représentatives de fonctions et modifier tout cela interactivement.
Par ailleurs, les équations et coordonnées peuvent être entrées directement. GeoGebra est capable de travailler avec des variables numériques ou vectorielles ainsi qu'avec des points, peut trouver les dérivées et intégrales de fonctions et propose des commandes comme Racine ou Extremum.
Ces deux points de vue sont représentatifs du fonctionnement de GeoGebra: une expression dans la fenêtre "algèbre" correspond à un objet dans la fenêtre "géométrie" et vice versa.

Le Dr. Norman Wildberger, professeur de mathématiques à l'Université des New South Wales, a réécrit les règles si mystérieuses de la trigonométrie, et les sinus, les cosinus, les tangentes peuvent désormais être éliminés de la boite à outils trigonométrique. Qui plus est, le nouveau cadre de travail qu'il présente implique que les calculs peuvent être effectués sans tables trigonométriques ni calculatrices, en offrant pourtant une plus grande exactitude.
Établie par les grecs anciens et les romains, la trigonométrie est utilisée en navigation, en ingénierie, en construction et dans bien des sciences pour calculer les rapports entre les côtés et les sommets des triangles.
"Des générations d'élèves ont lutté avec la trigonométrie classique parce que le cadre qui leur était proposé était inadapté", indique Wildberger, dont le livre est intitulé "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry" (Wild Egg books).
Le Dr. Wildberger substitue aux notions traditionnelles d'angles et de distances de nouveaux concepts appelés "envergure" et "quadrance". "Ces nouveaux concepts signifient que les problèmes trigonométriques peuvent être résolus par l'algèbre", précise Wildberger. "Cette trigonométrie rationnelle remplace les sinus, cosinus et une foule d'autres fonctions trigonométriques par une arithmétique élémentaire".
"Durant les deux mille dernières années nous pensions que la distance était la meilleure façon de mesurer ce qui sépare deux points, et qu'un angle était la meilleure façon de mesurer ce qui sépare deux lignes. Aussi les professeurs se sont-ils résignés à enseigner les cercles, PI, ainsi que ces complexes fonctions trigonométriques qui associent des longueurs d'arc aux projections sur les axes, tous cela afin d'analyser les triangles. Et tant pis si les élèves n'y entendaient rien", ajoute le dr. Wilberger. "Mais sans alternative au cadre classique, tous les ans des millions des élèves ont mémorisé des formules, ont réussi ou non leurs examens, puis se sont empressés de tout oublier de cette expérience désagréable. Et les mathématiciens se demandaient pourquoi tant de personnes percevaient ce beau sujet d'étude avec un dégoût mêlé d'hostilité".
Il existe désormais une meilleure perspective. Seules cinq règles principales sont nécessaires et il suffit de les apprendre et de savoir comment les appliquer simplement, selon le dr. Wildberger, pour se rendre compte que la trigonométrie classique ne représentait en réalité qu'un malentendu de la géométrie.

Le premier chapitre du livre de Wildberger est consultable ici (pdf en anglais).

Extrait de techno-sciences.net: http://www.techno-science.net/index.php?onglet=news&news=1792 (18/9/2005)

Quel est le comble pour un mathématicien ?

C'est de se coucher avec une inconnue et de se réveiller avec un problème.

La fonction sinus est une fonction vache: elle coupe l'abscisse tous les pis.