Le blog-notes mathématique du coyote

J'ai trouvé dans le livre "Tours extraordinaires de Mathémagique" un jeu à auquel le "magicien" a presque toutes les chances de gagner.
Le magicien propose à un spectateur de jouer avec lui une partie de cartes (avec un jeu de 52 cartes). La règle est très simple: le spectateur choisit une combinaison de couleurs qu'il est possible de faire avec trois cartes différentes, par exemple la séquence rouge-noir-rouge. Trois cartes correspondant à cette combinaison sont alors posées devant lui sur la table.
Le magicien choisit à son tour une combinaison et il pose également trois cartes qui correspondent à cette combinaison. Le reste des cartes est alors mélangé. On tire ensuite les cartes les unes après les autres. Lorsqu'une suite de trois cartes correspond à la combinaison choisie par l'un des deux joueurs, celui qui a la bonne combinaison ramasse toutes les cartes, faisant ainsi un pli. Lorsque toutes les cartes ont été retournées, le gagnant est celui qui le plus de plis.
Il existe pour le magicien une manière de choisir sa combinaison de sorte qu'il gagnera beaucoup plus souvent que son adversaire: comme première carte, il choisira la couleur opposée de la deuxième carte de son adversaire; les deux cartes suivantes sont simplement de la même couleur que les deux premières cartes de l'adversaire.
J'ai vérifié cela avec un petit programme informatique, en jouant avec chacune des 8 combinaisons possibles de l'adversaire 10'000 parties. Les résultats sont éloquents:

Sa suite	Ma suite	Il gagne	Je gagne	Nulles
NNN	RNN	39	9907	54
NNR	RNN	1266	7962	772
NRN	NNR	424	9208	368
NRR	NNR	544	8969	487
RNN	RRN	436	9143	421
RNR	RRN	380	9333	287
RRN	NRR	1142	8164	694
RRR	NRR	69	9841	90

J'aurais pu me contenter de tester 4 combinaisons, puisque les rôles de rouge et noir sont interchangeables.
Le magicien gagnera aussi avec un jeu de 36 cartes, mais moins nettement.

L’association « Ludimaths» est née fin 2005 par la volonté de profs de math du Nord de la France: elle a pour objectif principal la promotion des mathématiques par des biais ludiques et culturels (création et prêt d’expositions, aide technique à l’intégration pédagogique de jeux mathématiques, journées à destination du grand public et du public scolaire, interventions en milieu scolaire, organisation de compétitions dont un rallye académique CM2-6ème).

J'ai retrouvé dernièrement dans mon grenier un casse-tête des années 80 : le tonneau Nintendo. Je n'ai encore jamais réussi à le résoudre, mais j'ai bon espoir avec le site Jaap's Puzzle Page. Ce site contient des dizaines de casse-tête, avec la façon de les résoudre.
Dans mes recherches sur le web, j'ai aussi trouvé un site similaire en français: les casse-tête de Chantal.

« Deux polygones de même aire peuvent être transformés l’un en l’autre par dissection polygonale. »
(Théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein)

Dissection de cinq octogones pour en former un seul.
Bolyai en 1832 et Gerwein en 1833 ont prouvé qu'un jeu donné de polygones peuvent être découpés en un nombre fini de pièces qui peuvent alors être assemblées pour former un autre jeu de polygones, tant que les deux jeux ont la même aire totale. (Frederickson cite aussi Lowry en 1814 et Wallace en 1831). Les preuves se font par construction, mais produisent des dissections avec beaucoup de pièces. C'est un défi de trouver des dissections économiques, qui utilisent le moins de pièces possibles. Bien qu'on connaisse quelques algorithmes pour construire des dissections économiques, il n'existe aucun algorithme pour décider si on a découvert une dissection avec le nombre minimal de pièces.

Tours extraordinaires de Mathémagique
Hiéronymus
Ellipses Marketing (14 novembre 2005)
143 pages

Présentation de l'éditeur
L'alliance secrète des mathématiques et des techniques de l'illusionnisme permet la réalisation d'effets inexplicables que l'on peut qualifier de magiques, d'où le nom de cette discipline, la mathémagique.
L'auteur décrit la mise en œuvre de nombreux tours mathémagiques que chacun peut faire aisément. Un simple jeu de cartes, un morceau de ficelle, un journal, etc., sont suffisants pour réaliser nombre de tours. Fabriquer à la demande un carré magique ou extraire mentalement une racine cinquième ou même treizième, ne nécessite la connaissance que de certaines astuces de calcul mental. Jouer le rôle d'un calculateur prodige devient à la portée de chacun.
Les tours sont classés en fonction de certaines disciplines mathématiques, ce qui fait l'originalité de cet ouvrage, unique en son genre. Certains tours utilisent la logique ou al topologie. D'autres sont à base de géométrie et d'arithmétique classiques. Les probabilités, les arrangements et permutations, les combinaisons, les carrés magiques, les extractions de racines d'ordre élevé, sont d'autres bases mathématiques que l'auteur utilise pour en tirer des effets déconcertants.
Les tours de mathémagique sont d'abord faits pour distraire et étonner. Ils ne doivent pas être confondus avec les jeux mathématiques qui sont essentiellement des problèmes à résoudre. Cependant, partant qu'un tour qui conduit à des effets apparemment irrationnels, l'apprenti magicien peut faire œuvre pédagogique en commentant ce qui constitue le soubassement mathématique de ce tour.

L'association Sésamath a pour vocation essentielle de diffuser gratuitement des ressources pédagogiques et des outils professionnels utilisés pour l'enseignement des Mathématiques via Internet. Elle est composée d'enseignants. Inscrite délibérément dans une démarche de service public, l'association est attachée aux valeurs du logiciel libre :

• elle favorise donc, dans la mesure du possible, des licences libres pour les documents et logiciels mis en ligne ainsi que des formats ouverts ;
• elle recommande à ses membres et contributeurs leur utilisation pour la communication, la production de documents et de ressources pédagogiques.

Les femmes mathématiciennes sont généralement peu connues. Le site Biographies of Women Mathematicians corrige cet état de fait en présentant les biographies de dizaines de mathématiciennes, de l'Antiquité à nos jours.

Les bandes dessinées ayant comme sujet les mathématiques sont rares. "Le théorème de Morcom", par Goffin et Peeters, en est une.

Synopsis
Le 12 juillet 1954, sur la route menant de Thornill à Strangton, une Cadillac verte sort de la route, plongeant à pleine vitesse dans le ravin qui borde la route. Julius Morcom, le chauffeur, est tué sur le coup. D’après les premiers éléments de l’enquête, la thèse du suicide se confirme. L’histoire aurait pu s’arrêter là : un simple fait divers dans les pages du New York Times.
Mais depuis que le journaliste Mathison est tombé sur cet article, le nom de Julius Morcom ne cesse de résonner dans son esprit... Il a déjà entendu parlé de cet homme... Après quelques recherches rapide, il découvre enfin ce qu’il attendait : Julius Morcom est un mathématicien de génie qui publia dès l’âge de 24 ans un article de logique mathématique qui remettait en cause de nombreux acquis !
Sans vraiment savoir pourquoi, il décida de mener une enquête sur la vie du défunt mathématicien, afin de remplir quelques colonnes de son journal : « Journal Of Science ». Malgré les réticences de son directeur, il réussit à obtenir son feu vert.
Il se rendit alors aux obsèques de Julius le matin-même et réussi à rencontrer sa mère. Cette vieille dame avenante fut vite convaincue de l’intérêt d’un article sur son fils et déroula donc avec précision l’enfance de Julius. Mais elle revenait régulièrement sur une chose qui lui parraissait évidente : Julius ne s’est pas suicidé, c’était un accident... Mathison repartit avec suffisamment d’éléments pour poursuivre sa recherche sur Morcom.
La prochaine étape serait Cambridge, pour interviewer Monsieur Rules, l’ancien professeur du mathématicien prodige. Son enquête se déroulait prodigieusement bien... Jusqu’à son rendez-vous avec le Colonel Knox. La langue de bois de ce dernier lui fit comprendre que monsieur Morcom avait de nombreux secrets et qu’il faudrait jouer prudemment la suite, pour ne pas éveiller de soupçons.
Mathison parviendra-t-il à faire la lumière sur les zones d’ombre de ce savant discret ? Morcom s’est-il suicidé ou est-il victime d’un complot ?

Source : Art 9

Depuis quelque temps, j'ai mis à disposition de mes élèves des quiz en ligne avec lesquels ils pourraient s'auto-évaluer avant une épreuve (j'utilise le conditionnel car je ne suis pas sûr que les élèves profitent vraiment de cette possibilité: pour des questions de temps sans doute, ils préfèrent aller directement au corrigé sans vraiment essayer de répondre). La structure est terminée, il faut encore maintenant remplir la base de données de questions. Je vise à moyen terme un stock de 200 questions.
L'idée est que les élèves puissent voir où ils en sont. Les réponses sont donc contrôlées et notées. Afin qu'ils puissent s'améliorer, une réponse courte mais complète est fournie, ainsi que l'endroit du cours où ils peuvent retrouver la théorie.
Pour la confection de ces QCM, j'ai dû apprendre les rudiments de PHP et de Mysql. Ce n'est pas très difficile, mais cela prend quand même du temps. Je me suis inspiré de my_quiz_php, que j'ai adapté à mes besoins. C'est toujours plus facile de partir de quelque chose qui existe, surtout quand on débute avec un nouveau langage de programmation.
Il existe aussi d'autres solutions si on n'a pas envie de se mettre à la programmation: AC_EXAMENS est une plate-forme de tests informatisés, disponible pour un prix modique. Je n'ai pas testé, mais ça a l'air pas mal.
Une solution plus globale est la plate-forme Claroline, qui permet de gérer des classes virtuelles. Parmi les nombreuses fonctionnalités (agenda, annonces, forum, ...), il y a possibilité de faire des exercices en ligne. Je suis en train de tester cette plate-forme et elle me semble très bien. Je pense l'utiliser intensivement l'année prochaine avec ma classe d'option math-physique. Je ferai part de mes conclusions dans ce blog.

A partir de demain, TF1 rediffuse la première saison de la série Lost. Je ne suis pas particulièrement fan, mais il semblerait que les chiffres jouent un rôle important dans l'intrigue.
Que signifient donc ces nombres (4 8 15 16 23 42) apparus lors du dix-huitième épisode, La loi des nombres (Numbers) ?

De nombreux sites se perdent en théories et conjectures, comme une recherche sur Google peut le montrer. Il pourrait donc être intéressant de regarder cette série sous l'angle des chiffres, afin de trouver une éventuelle signification cachée.

Sources

• Lost-Island
• Wikipedia - Les chiffres dans Lost

Au théâtre national de Chaillot se joue actuellement une pièce dont l'héroïne est une mathématicienne russe: Sofia Kovalevskaïa. Elle fut la première femme au monde à obtenir un doctorat de mathématiques, en 1874 à l'université de Göttingen. Voici la présentation qu'en fait l'auteur.

Sophie Kovalevskaïa : une rencontre
J’ai rencontré Sophie K., comme on rencontre une femme, par hasard ; après coup le hasard se change parfois en nécessité. Ce jour-là, je baguenaudais au BHV – j’aime beaucoup le BHV ; le BHV devrait sponsoriser tous mes spectacles (ah ! le sous-sol du bricolage, quelle invitation à l’art, d’un bricolage l’autre…) –, quand passant par hasard au rayon livres du magasin, je vis, au bout de sa gondole, Sophie qui m’attendait. Il y a souvent des gondoles dans les histoires d’amour. Le nom russe, le prénom, ce titre, Une nihiliste, sur la couverture cette femme un peu triste qui marche d’un pas décidé, vers son destin sans doute : je tombe en arrêt. Je prends le livre. Aussitôt festival de synapses sous mon crâne : elle a été admirée par Darwin, me dit la quatrième de couverture. Darwin : justement j’étais en pleine évolution ! (certains se souviennent peut-être encore des Variations Darwin ici-même). Voilà : Darwin passe le témoin, Sophie entre dans ma vie et dans mon théâtre. Elle avait vraiment toutes les raisons d’y entrer. Sophie était même trop belle : mathématicienne et écrivain, elle met en équation la toupie et sa jeunesse en roman ; elle laisse son nom à un théorème (avec Cauchy) et signe un grand drame (avec l’écrivain suédois Charlotte Leffler), c’est donc qu’elle tente, sinon de réconcilier, du moins de concilier l’invention mathématique et l’imagination littéraire. Il y a là de quoi intriguer un théâtre qui, depuis quelques temps, se risque du côté de chez les savants. Avouez qu’il serait bien intéressant d’être dans le secret de ce cerveau amphibie ! D’où la gageure d’y installer notre scène et de tâcher de voir ce qui s’y passe, comment y coexistent la poésie ou la prose avec les équations aux dérivées partielles, le désir d’émancipation et les intégrales abéliennes dégénérées, etc. Sophie K., c’est une oeuvre et une vie qui fut aussi un roman. Une vie brève (elle meurt à quarante et un ans en 1891) mais qui épouse son époque et s’y épuise : enfance et adolescence d’une aristocrate russe touchée par les idées nouvelles, mariage blanc pour quitter sa famille et partir faire des études, exil, l’Allemagne pour étudier les mathématiques mais sans avoir le droit de fréquenter l’université, la France de la Commune, la Suède qui lui donnera son poste de professeur d’université, le premier attribué à une femme en Europe. Et ce talent pour être aux bons endroits pour rencontrer les bonnes personnes : Dostoïevski, George Eliot, Herbert Spencer, Darwin, Tchekhov comme aussi le grand mathématicien allemand Weierstrass ou Poincaré. Une telle vie, c’est tout un monde. Les présentations sont faites : que la représentation commence.

Jean-François Peyret

A voir: un extrait du spectacle

Non, celui qui a dessiné cette carte du monde n'a pas fumé la moquette! Ce sont deux scientifiques très sérieux, Mark Newman et Michael Gastner, qui ont développé une nouvelle manière de représenter les statistiques. Plutôt que des tableaux de chiffres indigestes, ils ont pensé à utiliser la carte du monde et à déformer les pays en les gonflant ou en les dégonflant.
La carte ci-dessus montre la distribution mondiale des personnes âgées de plus de 65 ans. On voit très bien que les personnes âgées se concentrent dans les pays occidentaux et le Japon, car ces pays sont hypertrophiés. Les couleurs représentent le pourcentage des "vieux" dans la population locale.
On peut retrouver beaucoup d'autres cartes à l'adresse www.worldmapper.org.

Javagrapheur est une applet java qui permet de tracer des courbes. Il est gratuit et en français. Il permet de dessiner deux fonctions sur le même dessin et faire des compositions de deux fonctions. Un outil simple et pratique si on n'a pas son grapheur préféré sous la main.

Grand amateur de jeu, j'ai découvert récemment un jeu à deux que je trouve extraordinaire : Siam. D'abord, il y a l'esthétique parfaite (voir photo). Des éléphants et des rhinocéros se battent pour être les premiers à enlever du plateau de jeu un des trois rochers. Les règles du jeu sont très simples, les parties courtes mais intenses, car à chaque coup, tout est remis en question. On peut apparenter ce jeu à Abalone (jeu que, personnellement, je n'aime pas du tout), en plus épuré. Le seul point négatif est le prix, mais à mon avis, cela en vaut vraiment la peine.

A voir : TricTrac - jeux : Siam

Le site Puzzle World contient des informations sur les plus beaux casse-tête mécaniques du monde. La plupart des casse-tête présentés ne sont pas disponibles en magasins, mais ont été créés et construits par de petits artisans, et souvent fabriqués en bois. Cependant, afin de fournir des exemples représentatifs des différentes catégories, des casse-tête produits de manière industrielle sont aussi présentés.