Le blog-notes mathématique du coyote

Il y a en théorie des graphes un théorème qu’on nomme très joliment « lemme des mariages ». Un vrai lemme, utile partout, pour tout faire. Il survient ici où là, c’est un peu la clé à molette qui rend service dans tout plein de situations.
Je viens ici vous présenter un tour de magie purement mathématique, en ce sens qu’il ne nécessite qu’une maîtrise abstraite du tour, la dextérité manuelle pour l’entourloupe n’est pas utilisée. Par contre, on peut faire usage de la parole pour faire monter le suspens et tenir en haleine ses spectateurs.

Lire l'article de Sylvain Barré sur Images des Mathématiques.

Préparer un tour de magie ou construire des colliers de perles particuliers revient en fait à trouver un circuit particulier dans un graphe ayant de nombreuses propriétés mathématiques. Nous vous présentons ici un tour digne d’un magicien professionnel. Dans une salle de spectacle, ou pour une prestation en « close-up », le prestidigitateur présente brièvement aux spectateurs attentifs un jeu de trente-deux cartes. Il s’agit d’un jeu de belote tout à fait classique. Les cartes du paquet paraissent être disposées de façon aléatoire.
« Vous conviendrez aisément que ce jeu n’a pas été classé de façon particulière » lance le magicien. Ensuite, celui-ci propose à un spectateur désigné au hasard (n’ayez crainte, il ne s’agit nullement d’un comparse) de couper le jeu.
Ensuite, ce spectateur prend la carte en haut du paquet (sans la montrer au magicien) et distribue à ses voisins les cinq cartes au sommet du tas. Le magicien ne voit pas les cartes distribuées. A la demande du magicien, ces cinq personnes énoncent, à haute voix, la couleur de leur carte (simplement s’il s’agit d’une carte rouge ou noire). On a pris soin de ne pas rendre le jeu au magicien et celui-ci ne dispose d’aucune autre information que la couleur des cinq cartes. Il ne trichera pas plus que nécessaire...
Cependant, après s’être concentré, le maître énonce une à une les six cartes que les spectateurs cachent en main (y compris la carte du premier spectateur, dont le magicien ne connaissait a priori rien, même pas la couleur). Les six spectateurs étonnés montrent leur carte à l’ensemble du public qui applaudit alors chaudement.
Ce tour, plutôt époustouflant, vous en conviendrez, repose sur une propriété combinatoire : l’astuce est de ranger les cartes du paquet de façon spécifique. En effet, le magicien avait, au préalable, classé les cartes du jeu. Il y a toujours un truc ! Nous allons vous expliquer sur quoi ce tour est basé et comment le réaliser.

Lire l'article de Michel Rigo sur Images des maths.

Voir aussi sur le même sujet l'article de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science 441 de juillet 2014.

(jeu de 32 cartes)

Demandez à un spectateur :

1. de choisir un nombre N compris entre 20 et 29 ;
2. de faire un tas de N cartes ;
3. d'ajouter les deux chiffres qui composent ce nombre ;
4. de regarder la carte située à cette position à partir du dessous de son paquet ;
5. de remettre la carte à sa place et de replacer sous le paquet le reste du jeu.

Prenez alors l'ensemble du jeu, faces cachées, et jetez les cartes au fur et à mesure que vous épelez : "V-O-I-L-A L-A C-A-R-T-E C-H-O-I-S-I-E". Vous retournez la dernière carte. C'est la bonne !!!

Pour l'explication du tour, voir le blog du professeur Rometus.

J'ai déjà présenté ce tour de "magie" dans un précédent billet. Mais ici, il y a en plus l'explication, qui est très intéressante.

Source : Archimedes' laboratory

Demandez à un spectateur :

• d'écrire en cachette un nombre de quatre chiffres ;
• de calculer la somme de ces quatre chiffres ;
• de soustraire au nombre de départ la somme trouvée ;
• de sortir du jeu de 52 cartes 4 cartes correspondant aux chiffres du résultat obtenu, mais de 4 couleurs différentes (par exemple, pour 1929 : 1 de cÅ“ur, 9 de carreau, 2 de trèfle et 9 de pique ; pour un 0, prendre un 10) ;
• de mettre une de ces 4 cartes dans sa poche et de montrer les trois autres.

Annoncez alors presque aussitôt au spectateur la carte cachée !!!

Explication

Le nombre de quatre chiffres choisi par le spectateur est abcd.
abcd = 1000a + 100b + 10c + d.
La somme des quatre chiffres est a + b +c + d.
En soustrayant au nombre de départ la somme trouvée, on a :
1000a + 100b + 10c + d – (a + b +c + d) = 1000a + 100b + 10c + d – a – b – c – d.
1000a + 100b + 10c + d – (a + b +c + d) = 999a + 99b + 9c = 9 (111a + 11b + c).
Le résultat obtenu est donc un multiple de 9, la somme de ses chiffres est donc aussi un multiple de 9.
C'est pourquoi la hauteur de la carte cachée est le complément du total des chiffres représentés par les trois cartes pour arriver à un multiple de 9.

Source : Le blog du professeur Rometus

P.S. Mon collègue Jérôme Gavin me signale une faille. Je vous donne : deux de trèfle, trois de coeur et quatre de carreaux. Quelle carte annoncez-vous ? Neuf de pique ou dix de pique ?

Vous avez entendu à la fin de la vidéo ? C'est MATHEMATIQUE. Saurez-vous expliquer le truc ?

Le mathémagicien Arthur Benjamin présente un spectacle en direct dans lequel il défie des calculatrices de poche au calcul du carré de nombres à 3 chiffres, résout mentalement une équation mathématique énorme et devine quelques jours de naissance. Comment fait-il? Laissez-le vous expliquer.

Voir aussi :

• Hexahexaflexagones et cie
• How to make a Hexa-hexaflexagons

On trouvera sur Blogdemaths un tour de magie mathématique qui impressionnera vos spectateurs. Vous pourrez leur faire croire que vous avez une mémoire prodigieuse. Mais il y a un truc...

Voici un tour de magie très simple trouvé sur le site de miss Math. Il vous faut :

• 5 cartes ou fiches cartonnées
• Deux feutres de couleurs différentes (nous supposerons ici un noir et un rouge)
• Un minimum d'habileté de calcul mental

Numérotez d'abord d'une couleur les cartes de 1 à 5. On prendra ici le noir. Numérotez ensuite le verso des cartes d'un feutre d'une autre couleur. Mais attention, le truc se cache ici : l'ordre est important. Au 1, on associe le 6. Au 2, le 7. Au 3, le 8. Au 4, le 9. Et finalement, au 5, le 10.
Nous voilà prêts à commencer.
Le tour consiste à deviner la somme des cartes. On fait en sorte que la personne qui fait le tour ne puisse pas voir les cartes. Les participants lancent les cartes dans les airs.
Le devin demande combien il y a de cartes rouges.
Et pendant que les participants additionnent les cartes, le devin qui ne voit rien et n'entend rien donne la réponse.

Que sera-t-elle ? Cinq fois le nombre de cartes rouges + 15

Comment ça marche ?

On a placé le 6 sur le 1. Or, 6 - 1 = 5. Le 7 sur le 2. Différence, 5. Le 8 sur le 3. 8 - 3 = 5. 9 - 4 = 5. 10 - 5 = 5. Donc chaque carte rouge est en fait 5 + la valeur de son côté noir. La somme devient donc notre série originale de valeur 15 + tous les 5 naissant de chacune des cartes rouges.

Voici un tour assez connu que j'ai redécouvert aujourd'hui et qui utilise les puissances de 2. Imprimez les cartes de ce document. Demandez à un ami de choisir un nombre au hasard entre 1 et 63, puis demandez-lui de vous dire sur quelle(s) carte(s) ce nombre est inscrit. Il doit dire toutes les cartes. Sans même regarder les cartes, vous annoncez instantanément et triomphalement son nombre.

Vous pouvez tester ce tour ici. Il y aussi les explications.

Le truc est très simple. Il suffit d'additionner le nombre en haut à gauche des cartes indiquées par votre ami (ce sont des puissances de 2).

1. Prenez votre pointure
2. Multipliez-la par 2
3. Ajoutez 5
4. Multipliez le total par 50
5. Soustrayez votre année de naissance.
6. Ajoutez 1760

Les deux premiers chiffres indiquent votre pointure et les deux derniers votre âge.

Attention ! Ce tour marche seulement comme ça en 2010. En fait, il faut ajouter en dernier lieu (l'année actuelle-250). Je vous laisse calculer pourquoi

Une personne a un nombre pair de jetons dans une main et un nombre impair dans l'autre. Vous pouvez deviner dans quelle main est le nombre pair en procédant ainsi :

1. Faites multiplier le nombre de la main droite par un nombre pair au hasard, et le nombre de la main gauche par un nombre impair quelconque ;
2. Faites ajouter les résultats, et demandez le chiffre des unités de la somme;
3. S'il est impair, le nombre pair est dans la main droite et l'impair dans la gauche; s'il est pair, impair est à droite et pair à gauche.

Réf : J. Vinot, Récréations mathématiques, Ed. Larousse et Boyer, 1860

Source : Jobineries

Evénement vendredi sur canal+ : on a parlé de maths... Si, si. Pour ceux qui ont raté l'émission, l'excellent blog Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes en propose une transcription.

Je reproduis ici un extrait concernant un petit tour de "magie" avec un carré magique :

Le tour :

Kamel demande à Thierry Roland un nombre entre 22 et 99. Ça sera 44. Il lance un chronomètre, et écrit en moins de 18 secondes ceci :

C'est un carré magique : quand on fait la somme selon les lignes, les colonnes, les diagonales et certains sous-carrés, on trouve la constante magique : 44 ! Noter tout de même que tous les nombres sont différents (il aurait été trop facile de mettre des 11 partout).


24 façons de trouver 44 comme somme de 4 nombres
Comment a-il-fait pour remplir si vite son carré magique ?

Explication :

Une fois le nombre N donné (ici, 44), il suffit simplement de calculer x=N-21 (ici, x=23). Ceci explique aussi pourquoi il a demandé un nombre plus grand que 22... Il n'y a plus qu'à remplir le tableau suivant, préalablement mémorisé :


Qui donnera le carré magique recherché ! (Chaque ligne, colonne, diagonale ou sous-carré magique a une somme de x+21). On peut remarquer que dans la vidéo, il commence par placer tous les nombres de 1 à 12, et c'est ensuite qu'il met 23, 24, 25 et 26.
Cette méthode vient du fait que lorsque l'on ajoute un même nombre sur une "permutation figurée diagonale" du carré. Autrement dit, en partant d'un carré normal (un carré est dit normal quand tous les nombres de 1 à 16 apparaissent), on peut ajouter un même nombre y sur les cases (1,1), (3,2), (4,3) et (2,4). (En prenant y=N-34, on trouve le carré magique adéquat).


De la même façon, un carré magique reste magique quand on ajoute ou multiplie tous ses coefficients par un même nombre. Si le nombre N est trop grand, on peut commencer par faire le carré magique pour N'=N-40, et ajouter ensuite 10 à tous les coefficients (ce qui donnera un carré magique un peu plus homogène).

Un tour de magie, sans magie... Cela marche tout seul. Essayez !

Voici un tour de magie très simple que m'avait appris mon père, mais qui ne marchait pas toujours et j'ai enfin compris pourquoi : il ne faut pas prendre le jeu de cartes complet, mais seulement 21 cartes.

• Etape 1 : Posez les cartes, face visible, les unes après les autres sur trois tas A, puis B, puis C, puis A, puis B, … Demandez à votre interlocuteur dans quel paquet se trouve la carte qu'il a choisie. Rassemblez les trois paquets, en mettant le paquet indiqué au milieu des deux autres.
• Etape 2 : refaire l’étape 1.
• Etape 3 : refaire l’étape 1 (éventuellement sans recomposer le paquet de 21 cartes).

A l’issue de l’étape 3, la carte choisie sera toujours la quatrième du paquet indiqué, ou la onzième du paquet recomposé. A vous ensuite d'agrémenter à votre guise l'issue du tour...

Un exercice intéressant est de se demander pourquoi ça marche à tous les coups...