Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

vendredi 6 juin 2008

L'équation de la voix idéale

LONDRES (AFP), 30 mai 2008 - Des scientifiques britanniques ont mis au point une formule mathématique pour déterminer la voix idéale, en prenant en compte l'intonation, l'élocution ou encore le débit, selon une étude publiée vendredi.
Pour avoir la voix idéale, il suffit désormais d'appliquer la formule suivante: ([164.2wpm x 0.48pbs]Fi)=PVQ.
En clair, pour avoir une voix parfaite (perfect voice quality, PVQ), il faut prononcer moins de 164 mots par minute (wpm), faire une pause de 0,48 seconde entre chaque phrase (pbs) avec une intonation retombant progressivement à la fin des phrases (Fi), a déterminé une équipe de chercheurs dans une étude réalisée pour la poste britannique.
Les acteurs britanniques Judi Dench, Jeremy Irons ou encore Alan Rickman s'approchent de la perfection vocale déterminée par cette formule. "Toutes les voix analysées étaient britanniques et, même s'il peut y avoir des composantes culturelles, cette formule devrait s'appliquer au moins à toutes les langues européennes", a indiqué une porte-parole.
Cette étude a été dirigée par Andrew Linn, un professeur de linguistique de l'université de Sheffield (nord de l'Angleterre), et par Shannon Harris, ingénieur du son et musicien notamment pour Rod Stewart et Lily Allen. "Nous savons instinctivement quelles voix provoquent des sensations agréables et lesquelles nous font frémir de peur", a expliqué M. Linn. "Les réactions émotionnelles de l'échantillon aux voix ont été surprenantes et permettent d'expliquer comment les animateurs radios et les personnes faisant du doublage ou du commentaire sont choisies", a-t-il souligné.

jeudi 29 mai 2008

Numération Bibi

Inventée en 1968 par le chanteur et humoriste Boby Lapointe, la numération Bibi est une application du système hexadécimal (base 16). Pourquoi Bibi ? Parce que seize peut s'écrire "2 exposant 2, exposant 2". Il s'agit également probablement d'un calembour (référence au mot d'argot bibine): les jeux de mots sont en effet au centre de son oeuvre artistique.
Comme on parle de binaire pour la base 2, Boby Lapointe estimait qu'on pourrait parler de « Bi-Binaire » pour la base 4, et de « Bi-Bi-Binaire » pour la base 16, terme qu'il abrège en « Bibi ». À partir de ce postulat, Boby Lapointe inventa la notation et la prononciation de seize chiffres. À l'aide de quatre consonnes et de quatre voyelles, on obtient les seize combinaisons nécessaires :



Pour définir un nombre, il suffit d'énumérer les chiffres (hexadécimaux) qui le composent.

Exemple : en Bibi, le nombre 2000, qui se traduit, en hexadécimal, par 7D0, est appelé BIDAHO.

Nicolas Graner a écrit un petit programme qui convertit un nombre dans le système Bibi.

Pour en savoir plus : Numération Bibi

mercredi 7 mai 2008

Projection de Fuller

La projection de Fuller de la Terre est la projection cartographique d'une carte sur la surface d'un polyèdre. Elle a été créée par Richard Buckminster Fuller, en 1946 pour une projection sur un cuboctaèdre et sur un icosaèdre en 1954. Les 20 triangles peuvent être positionnés différemment, cette carte n'ayant ni haut ni bas.

Selon Fuller, sa projection présente de nombreux avantages par rapport à d'autres projections.
  • Elle présente moins de déformations notamment par rapport aux projection de Mercator et Projection de Peters.
  • Elle ne présente pas de biais culturel, le Nord n'est pas en haut, ni le Sud en bas.
  • C'est la représentation d'une île unique dans un océan unique
Pour en savoir plus : Notes to Fuller's World Maps

lundi 21 avril 2008

Dimension de Hausdorff-Besicovitch

Nous savons tous qu'un point est une figure de dimension 0; qu'une ligne droite est un objet de dimension 1; qu'une surface plane est un objet de dimension 2; qu'un volume est de dimension 3... Ceci est la dimension euclidienne ou topologique (en réalité ces deux termes ne snt pas strictement synonymes). Qu'en est-il d'un objet fractal ?
Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d'un objet.
On peut tenter une approche simplifiée. Imaginons que je veuille mesurer la limite (supposée droite) entre deux terrains, que cette longueur soit de 10 m et que je dispose d'une règle de 1 m. Il est évident que je dois l'appliquer 10 fois le long de la limite pour faire la mesure. Si ma règle fait 0,5 m je devrai la reporter 20 fois. On voit que, si je divise par n la longueur de la règle je dois multiplier par n le nombre de fois où je la reporte, ce qui donne un rapport de n/n=1.
Si la longueur à mesurer est une courbe, on comprend qu'en utilisant une règle droite reportée n fois de la même manière on n'aura qu'une valeur approximative, notablement sous-évaluée. Plus la règle sera courte, plus l'opération sera fastidieuse, mais plus le résultat sera précis. Pour une règle suffisamment (infiniment) petite, si je divise par n sa longueur, je multiplie encore par n le nombre de fois où je l'applique le long de la ligne et j'obtiendrai la longueur exacte de la courbe. Ceci donne toujours un rapport de n/n, soit 1 (c'est vrai aussi si j'écris ln n/ln n, remarque qui va nous servir bientôt).
Imaginons maintenant que je veuille recouvrir une surface avec du carrelage. S'il me faut n carreaux de 20 cm de côté, et que changeant d'avis je veuille des carreaux de 10 cm de côté, je sais qu'il ne me faudra pas 2 fois plus de carreaux, mais 4 fois plus, puisque la surface est proportionnelle au carré des dimensions linéaires.
Autrement dit n'=n2. Donc ln n'/ln n=ln n2/ln n=2 et ln n2/ln n=2. Chacun sait que 2 est la dimension euclidienne ou topologique de toute surface. On voit sans difficulté que cette relation se vérifie quelle que soit la taille choisie pour les carreaux. Cette manière de calculer la dimension est appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch ou "dimension fractale". Le même raisonnement s'applique sans difficulté à la dimension 3 pour les volumes.
La dimension de Hausdorff-Besicovitch est souvent difficile à calculer, mais il existe des exemples simples. Sans entrer dans les détails on peut penser qu'un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n'emplissant qu'une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. L'image ci-dessous montre en effet clairement que chaque fois qu'on réduit d'un facteur 3 la longueur de la règle, on multiplie par 4 le nombre de fois où l'on doit l'appliquer le long de la figure. Ceci démontre que sa dimension de Hausdorff-Besicovitch est égale à ln 4/ln 3=1,26…


Les fractales sont des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch est strictement supérieure à la dimension topologique. On trouve sur Wikipédia une liste de fractales par dimension de Hausdorff.

A lire aussi :

dimanche 20 avril 2008

Courbe de Peano

Une courbe de Peano est une fractale. Vous voyez ci-dessous les quatre premières itérations. Quand le nombre d'itérations tend vers l'infini, cette courbe passe par chaque point du carré unité. Bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2.
Cette courbe est nommée en l'honneur de Giuseppe Peano qui fut le premier à la décrire.


A lire : Les courbes de Peano

jeudi 20 mars 2008

Une expérience durant la mission Apollo 15

Voici une expérience dont j'avais entendu parler, mais que je n'avais pas encore vue. Sur la Lune, un astronaute a dans sa main gauche une plume et dans sa main droite un marteau. Il les lâche en même temps. Que se passe-t-il ?

mercredi 19 mars 2008

Noms de savants inscrits sur la tour Eiffel

Sur la tour Eiffel, Gustave Eiffel a fait graver 72 noms de scientifiques, ingénieurs ou industriels qui ont honoré la France de 1789 à 1889. Ces noms s'étalent en lettres d'or en relief de 60 cm de haut sur la périphérie du premier étage. On sait peu de choses sur la manière dont les noms ont été choisis. On sait en revanche que certains savants ont été récusés pour cause de nom trop long : Charles et Henri Sainte-Claire Deville, Boussingault, Henri Milne-Edwards et Quatrefages.

La liste de ces 72 savants est visible sur wikipédia. Parmi eux figurent plusieurs mathématiciens : Lalande, Poncelet, Bresse, Lagrange, Bélanger, Laplace, Chasles, Navier, Legendre, Perrier, Sturm, Cauchy, Poinsot, Morin, Poisson, Monge, Malus, Borda, Carnot, Lamé.

mercredi 5 mars 2008

64 = 65

Vous connaissez sûrement cette curieuse amusette proposée pour la première fois par Lewis Carroll:


Mais saviez-vous qu'il existait un lien étroit entre ce découpage et la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... ? En effet, on peut "transformer" selon le même modèle un carré 8x8 en un rectangle 5x13 (chiffres précédant et suivant 8 dans la suite), un carré 13x13 en un rectangle 8x21, un carré 21x21 en un rectangle 13x34, etc.

A voir : D'où vient la différence ?

samedi 23 février 2008

Economie japonaise et longueur des cheveux

Les analystes financiers se méfient: les Japonaises se font de nouveau couper les cheveux.

Selon une enquête menée par la deuxième firme de cosmétiques japonaise, Kao Corp, citée par le quotidien économique Nikkei, les Japonaises ont tendance à garder les cheveux longs lorsque l'économie nipponne se porte bien et à adopter des coupes courtes en période de crise économique.
Se fondant sur ce postulat, le Nikkei ne se montre pas très optimiste pour l'évolution de l'économie japonaise alors qu'une tendance aux coupes plus courtes semble se profiler. Ce qui confirme une opinion partagée par différents analystes selon laquelle le cycle de croissance le plus important qu'ait connu l'archipel depuis la Seconde guerre mondiale pourrait avoir pris fin, l'économie nationale courant désormais le risque de connaître une récession.
Pour établir cette théorie faisant de la longueur des cheveux un indicateur économique, Kao a régulièrement conduit des enquêtes sur des échantillons de 1.000 femmes dans les rues de Tokyo et d'Osaka au cours des deux dernières décennies. Jusqu'au début des années 1990, lorsque l'économie japonaise était florissante, 60% des femmes âgées d'une vingtaine d'années portaient des cheveux longs, relate le Nikkei en citant les résultats de ces sondages. Pendant les années 1990, marquées par l'effondrement de l'économie nipponne, les coupes courtes (définies dans ce sondage comme une longueur de cheveux n'allant pas au-delà de la clavicule) sont devenues les plus répandues. Mais depuis 2002, alors que l'économie progresse de nouveau, les cheveux longs font leur retour, souligne le Nikkei, qui a cependant identifié un facteur pouvant affecter la validité de cette théorie: la popularité croissante du chignon.

Source : Yahoo Actualités

jeudi 31 janvier 2008

Le gömböc

Pour un mathématicien, le Culbuto, célèbre mobile pour enfant, se définit comme un “corps mono-monostatique”. Sa particularité : il ne possède qu’un seul point d’équilibre stable (sa base arrondie) et un seul point d’équilibre instable (sa tête, qu’il suffit de toucher pour le mettre en mouvement). Son secret : sa base, lestée par un poids, est plus lourde que sa tête.
En revanche, une forme mono-monostatique homogène, c’est-à-dire pleine, faite d’un matériau de densité constante, n’était jusqu’ici possible qu’en théorie. Jusqu’à cette invention de deux chercheurs hongrois, cette forme étrange s’appelle Gömböc (sphère, en magyar). C’est le premier corps mono-monostatique homogène !


Travaillant sur les points d’équilibre de formes convexes, ces deux chercheurs Gábor Domokos, chef du département de mécanique, matériaux et structures de l'Université Technique de Budapest (BME) et un ancien étudiant, Péter Varkonyi, se sont passionnés pour une conjecture mathématique, émise par le Pr russe Vladimir Arnold, prédisant que certaines formes en 3D possédaient un seul point d’équilibre stable et un seul point d’équilibre instable –alors que la plupart des objets en ont plusieurs.
La fabrication du gömböc, par couche de 0,1 millimètre, prend environ huit heures. Une imprécision d’un millimètre fausse le résultat.
L’objet fini ressemble à une forme existant dans la nature : la carapace de la tortue étoilée indienne. Aucune tortue n’est équipée d’une carapace parfaitement monostatique mais quelques petits mouvements des membres suffisent à compléter leur retournement. Ces formes étonnantes auraient évolué pour permettre à ces tortues aux membres courts de ne pas rester coincées sur le dos.


A voir : le site officiel

lundi 21 janvier 2008

On peut aussi vendre les maths !

On a peut-être du mal à l'imaginer, mais on peut vendre les maths sur des tee-shirts, des mugs, des horloges, des cartes de voeux, etc. Vous découvrirez tout cela sur le site spécialisé www.mathematicianspictures.com.

vendredi 14 décembre 2007

Sons et formes géométriques

lundi 3 décembre 2007

142857

Quelques propriétés amusantes du nombre 142857.

lundi 26 novembre 2007

Scientists of America

Contrairement au titre, c’est un site français rédigé par des français. Le principe est assez simple, si vous avez envie qu’un article « scientifique » existe pour étayer certains de vos dires, faites la demande à Scientists of America et votre article sera créé de toute pièce pour vous donner raison (pour une participation de 5€) ! Evidemment les demandes sont plus tournées du coté des statistiques, c’est bien connu qu’on peut faire dire à des chiffres tout ce qu’on veut. C’est de cette manière que leur équipe soutient de manière « scientifique » que le taux de réussite au baccalauréat est proportionnel à l’intérêt du tournoi de Roland-Garros ou bien que les personnes de moins de 165cm donnent plus d’amour sans oublier que les gens qui ont les yeux bleus aiment les films allemands et que le jeu vidéo améliore le niveau scolaire. Les articles sont bien montés et documentés mais il n’y a pas références bibliographiques ce qui pourrait être intéressant mais peut être difficile à trouver pour soutenir des hypothèses farfelues.
Bref, une bonne source pour aiguiser l'esprit critique des élèves...

mardi 20 novembre 2007

Alexis Lemaire bat son record

Nouveau record pour Alexis Lemaire, prodige français du calcul mental

NEW YORK (AFP), vendredi 16 novembre 2007 — Le prodige français des mathématiques Alexis Lemaire a démontré jeudi à New York sa capacité exceptionnelle à jongler avec les nombres en calculant mentalement en 72 secondes la racine treizième d'un nombre à 200 chiffres.
La réponse donnée par le doctorant en intelligence artificielle était: 2.397.207.667.966.701, soit la racine treizième d'un nombre à 200 chiffres qui avait été choisi au hasard par un ordinateur.
En d'autres termes, en multipliant ce nombre 13 fois par lui-même, on obtient le nombre de départs générés par l'ordinateur.
A 27 ans, Alexis Lemaire est en train d'effectuer un doctorat en intelligence artificielle à Reims (est de la France).
"J'utilise un système d'intelligence artificielle que j'applique dans ma tête au lieu de le faire dans un ordinateur", a-t-il laconiquement commenté. "Je crois que la plupart des gens peuvent le faire, mais j'ai un cerveau qui fonctionne vite, parfois très très vite", a-t-il ajouté.
"Le premier chiffre est très facile, le dernier aussi, mais entre les deux c'est extrêmement difficile", a-t-il expliqué.
Alexis Lemaire s'exerce à ce type d'exercice pour trouver la racine treizième d'un nombre depuis des années, et continue d'améliorer à chaque fois son propre record. Il est ainsi passé d'une cinquantaine de minutes à 72,4 secondes exactement jeudi.
Son précédent record avait été établi en 2007 et était de 77,99 secondes.
Le petit génie a expliqué qu'il avait pris conscience vers 11 ans qu'il avait un don particulier pour le calcul même si, de manière surprenante, il dit ne pas avoir eu de très bons résultats en mathématiques à l'école. "Je n'étais pas dans les premiers de la classe. J'étais un autodidacte, apprenant grâce aux livres".
Le Français, qui court aussi après des records dans la catégorie de la racine treizième de nombres à 100 chiffres, s'impose une hygiène de vie drastique. Il ne boit pas d'alcool ni de café, court régulièrement et évite des aliments riches en gras et en sucres.
Il s'entraîne aussi au calcul mental quotidiennement mais dit prendre des jours de repos de temps en temps et écouter de la musique, mais n'a pas de groupe ou de genre favori.
"Je ne peux pas faire des calculs toute la journée, sinon mon cerveau ou mon coeur va lâcher. Trop d'entraînement, penser trop rapidement peut aussi être mauvais pour la santé", estime-t-il.
S'il a gagné le surnom de "calculator", il estime, en affichant un rare sourire, que celui d'"ordinateur humain" serait plus approprié.
Interrogé sur son avenir, Alexis Lemaire a dit ne pas savoir quand il terminera sa thèse, mais qu'il a déjà été approché par des sociétés informatiques et des banques. "Beaucoup de gens dans le secteur bancaire pensent que ce don peut être très utile", souligne-t-il.

A lire aussi : Alexis Lemaire vulgarise ses techniques

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