Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

dimanche 11 janvier 2009

Sangaku

Les Sangaku ou San Gaku (littéralement tablettes mathématiques) sont des énigmes géométriques japonaises dans la géométrie euclidienne gravées sur des tablettes de bois, apparues durant la période Edo (1603-1867) et fabriquées par des membres de toutes les classes sociales.
Pendant cette période Edo, le Japon était complètement isolé du reste du monde, si bien que les tablettes furent créées en utilisant les mathématiques japonaises (wasan), sans influence de la pensée mathématique occidentale. Les Sangaku étaient peints en couleur sur des tablettes de bois qui étaient suspendues à l'entrée de temples et d'autels shintoïstes (Jinja) en offrande aux divinités locales (tablettes votives). Beaucoup de ces tablettes ont été perdues après la période de modernisation qui succéda à la période Edo, mais environ 900 ont pu être conservées.
Les Sangaku furent publiées pour la première fois en 1989 par Hidetoshi Fukagawa, un professeur de mathématiques de lycée et par Daniel Pedoe dans un livre intitulé : Japanese Temple Geometry Problems.

Types de problèmes

Les tablettes sangaku présentent souvent des figures simples où l'esthétique des formes est déterminante dans le choix des problèmes. On y retrouve particulièrement des polygones et des polyèdres simples ou réguliers, des cercles, des ellipses, des sphères et des ellipsoïdes. Le paraboloïde et les différentes coniques y font leur apparition aussi. Le cylindre intervient surtout pour créer l'ellipse par intersection avec le plan. Les transformations affines sont utilisés pour passer du cercle à l'ellipse. Des problèmes concernent par exemple plusieurs cercles mutuellement tangents ou plusieurs cercles tangents avec une ellipse. Le problème ci-dessous provient de la préfecture d'Ehime :


L'éventail est ouvert au 2/3. Que vaut le rapport du rayon du cercle rouge sur le rayon du cercle blanc?

Pour en savoir plus :

samedi 3 janvier 2009

Rues de mathématiciens à Paris

Saviez-vous qu'il existe des dizaines de rues à Paris ayant pour nom un mathématicien ? Vous trouverez la liste sur Paris street names.

vendredi 19 décembre 2008

La cardioïde est au fond de la casserole

La cardioïde est une caustique de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.

mercredi 26 novembre 2008

Paradoxe de Bertrand

Le samedi 29 novembre à 15h15, au centre professionnel "en Dozière" à Delémont, le cercle de mathématiques et de physique de la société jurassienne d'émulation propose une conférence donnée par le prof. Henri Carnal sur les paradoxes en calcul des probabilités. L'entrée est libre et les élèves du lycée sont vivement encouragés a suivre cette conférence.

Un de ces paradoxes est le célèbre "Paradoxe de Bertrand". Il met en évidence les limites du recours à l'intuition dans cette discipline. Il consiste à choisir au hasard une corde d'un cercle donné et d'estimer la probabilité que celle-ci soit de longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle. Le paradoxe est que cette probabilité dépend du protocole de choix de la corde. Ce problème fut énoncé pour la première fois en 1888 par Joseph Bertrand dans son ouvrage Calcul des probabilités. Bertrand en donnait trois réponses différentes (une chance sur deux, une sur trois et une sur quatre), toutes les trois apparemment valides.
Soit un cercle de rayon 1. Le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur racine de 3. Le paradoxe de Bertrand consiste à déterminer la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à racine de 3.

  1. Extrémités aléatoires : soit un point de la circonférence du cercle et le triangle équilatéral inscrit dont l'un des sommets est ce point. On choisit aléatoirement un autre point au hasard sur le cercle et on considère la corde reliant les deux points. Elle est plus longue que le côté du triangle si le deuxième point est situé sur l'arc reliant les deux sommets du triangle opposé au premier point. La probabilité est donc alors 1/3.
  2. Rayon aléatoire : on choisit un rayon du cercle et on considère le triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. On choisit aléatoirement un point sur le rayon et on trace la corde dont il est le milieu. Cette corde est plus longue que le côté du triangle si le point est situé plus près du centre du cercle que l'intersection de ce côté et du rayon, laquelle est située au milieu de ce dernier. La probabilité est donc alors 1/2.
  3. Milieu aléatoire : soit un point choisi aléatoirement à l'intérieur du cercle et une corde dont il est le milieu. La corde est plus longue qu'un côté du triangle équilatéral inscrit si le point est situé à l'intérieur d'un cercle concentrique de rayon 1/2. L'aire de ce cercle est un quart celle du grand cercle. La probabilité est donc alors 1/4.
Le paradoxe de Bertrand met en évidence la dépendance à la méthode de sélection d'une corde « au hasard ». Dès que cette méthode est spécifiée, le problème possède une solution bien définie. En l'absence d'une telle méthode, le terme « au hasard », dans « choisir une corde du cercle au hasard », est ambigu. Les trois solutions présentées par Bertrand correspondent à des méthodes de sélection distinctes et valables, et en l'absence d'autre information, il n'y a aucune raison d'en privilégier une par rapport aux autres.

Pour illustrer ce paradoxe, plusieurs sites proposent des animations et des simulations :

lundi 24 novembre 2008

Où est le centre d'un triangle ?

Bonne question ! Le commun des mortels en connaît généralement trois : l'intersection des médiatrices, des bissectrices et des médianes. Mais saviez-vous qu'il existe environ 3500 définitions pour le "centre" d'un triangle ?
Vous trouverez quelques nouvelles définitions sur l'excellent blog Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes dans deux articles : Où est le centre de ce triangle ? et Il est là !.
Quant aux 3514 définitions actuelles, elles sont listées sur le site Encyclopedia of triangle centers.

mardi 11 novembre 2008

Etonnante précision


L'étoile mystérieuse, par Hergé

Remarquez l'incroyable précision de 387'000'000'000'000,0005 ! A faire hurler les profs de physique et de maths...

vendredi 7 novembre 2008

Nombre Taxicab

En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire, et pour le moment, seuls les cinq premiers nombres taxicab sont connus :

Ta(1) = 2 = 13 + 13
Ta(2) = 1729 = 13 + 123 = 93 + 103
Ta(3) = 87539319 = 16733 + 43633 = 22833 + 42333 = 25533 + 41433
...

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par une anectode impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes. »


Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

Source : Wikipédia

samedi 1 novembre 2008

La méthode infaillible pour prédire le vainqueur de la présidentielle américaine

Les sondeurs n'ont qu'à bien se tenir. Un système mathématique permet de prédire sans faillir le vainqueur des présidentielles américaines. C'est en tout cas ce qu'affirme son co-inventeur, Allan Lichtman, professeur d'histoire à l'American University. Basé sur l'analyse des présidentielles de 1860 à 1980, ce dispositif, baptisé "Les treize clés de la Maison-Blanche", a été mis au point en 1981 avec le mathématicien russe Volodia Keilis-Borok. Il a fait l'objet d'une communication dans les Annales de l'académie américaine des sciences (PNAS) et d'un livre publié en 1990. Concrètement, il comprend 13 variables ou "clés" qualifiées de "positives" ou "négatives".
D'après les deux scientifiques, le parti au pouvoir ne doit pas récolter plus de cinq clés négatives s'il veut l'emporter. Les 13 clés prennent en compte la situation économique, intérieure et mondiale, l'existence de troubles sociaux et d'un scandale frappant le président sortant. La formule ignore les sondages, la stratégie des candidats, les débats présidentiels et le choix des colistiers. "Ce système est fondé sur la théorie selon laquelle l'élection présidentielle est surtout un verdict des performances des sortants. C'est la raison pour laquelle on peut faire des prédictions avant même de connaître le nom du candidat", explique le Pr Lichtman.

Voici les réponses aux 13 clés pour 2008 :

  1. Après les dernières élections législatives, le Parti républicain a obtenu plus de sièges à la Chambre des représentants : Faux.
  2. John McCain a été investi par les républicains sans véritable bataille au sein du parti : Vrai.
  3. Le candidat du parti sortant est le président : Faux.
  4. Il n'y a pas de candidat indépendant significatif : Vrai.
  5. L'économie n'est pas en récession durant la campagne: ceci est théoriquement vrai mais la gravité de la crise financière est négative pour les républicains, relève Allan Lichtman.
  6. La conjoncture économique a été meilleure durant la présidence sortante que lors des deux précédents mandats : Faux.
  7. M. Bush a mis en oeuvre des politiques d'envergure ayant amélioré la vie des Américains : Faux.
  8. Il y a eu des troubles sociaux comme des émeutes durant le mandat de M. Bush : Faux.
  9. Un scandale a éblaboussé le président sortant : Faux.
  10. L'administration Bush n'a pas subi d'échec majeur en politique étrangère : Faux.
  11. M. Bush a obtenu un grand succès en politique étrangère : Faux.
  12. Le candidat du parti au pouvoir est charismatique ou un héros national : Faux. "John McCain n'est pas charismatique. Il est un héros à titre personnel mais pas pour ses actes en tant que chef", note Allan Lichtman.
  13. Le candidat d'opposition n'est pas charismatique : Faux.
Résultat, "on compte au moins neuf faux, ce qui fait que M. Obama remportera la Maison-Blanche", conclut l'historien, qui prévoit même un écart de huit points en faveur du démocrate. Résultat mardi prochain.

Source : lepoint.fr

mardi 7 octobre 2008

Ig Nobel 2008

L' Ig Nobel Prize rend chaque année honneur aux gens dont les accomplissements « ne peuvent pas ou ne doivent pas être reproduits » (la reproductibilité étant un des critères de la méthode scientifique). La 18ème cérémonie des Ig Nobel s’est tenue le 3 octobre 2008. Voici les lauréats :

Nutrition : revient à Massimiliano Zampini, de l’Université de Trente et Charles Spence de l’Université d’Oxford pour leurs recherches sur la sonorité de la nourriture.

Paix : le prix est décerné au comité d’éthique sur la biotechnologie non-humaine de la confédération helvétique pour avoir établi légalement que les plantes avaient une dignité.

Archéologie : Astolfo G. Mello Araujo et José Carlos Marcelino de l'Université de São Paulo, pour avoir mesuré les effets nocifs du tatou sur le contenu des sites de fouilles archéologiques.

Biologie : Marie-Christine Cadiergues, Christel Joubert et Michel Franc de l’École Nationale Veterinaire de Toulouse pour avoir découvert que les puces qui vivent sur un chien peuvent sauter plus haut que les puces qui vivent sur un chat.

Médecine : Dan Ariely (Duke University) qui a démontré qu’un placebo au tarif très élevé était plus efficace qu’un placebo au prix peu élevé.

Sciences cognitives : Toshiyuki Nakagaki (université d’Hokkaido), Hiroyasu Yamada (Nagoya), Ryo Kobayashi (Hiroshima), Atsushi Tero de la Japan science and technology (JST/Presto), Akio Ishiguro de l’université Tohoku et Ágotá Tóth de l’université de Szeged en Hongrie, qui ont découvert que les mycétozoaires pouvaient trouver la sortie d'un labyrinthe.

Économie : Geoffrey Miller, Joshua Tybur et Brent Jordan de l’université de New Mexico pour avoir découvert que le cycle d’ovulation d’une danseuse de danse contact pouvait avoir un effet sur le montant de ses pourboires.

Sciences physiques : Dorian Raymer, des observatoires océaniques de l’institution Scripps et Douglas Smith de l’Université de Californie à San Diego, pour avoir prouvé mathématiquement que les tas de cheveux, de cordes ou de presque n’importe quoi d’autre finissaient inévitablement par s’emmêler en nœuds.

Chimie : à Sharee A. Umpierre de l’université de Puerto Rico, Joseph A. Hill, des centres de fertilité de Nouvelle-Angleterre et à Deborah J. Anderson de l’université de médecine de Boston et de la Harvard medical school pour avoir démontré que le Coca-Cola était un spermicide efficace. Le prix est aussi remis aux chercheurs taïwanais Chuang-Ye Hong, C.C. Shieh, P. Wu, et B.N. Chiang qui ont de leur côté établi que le Coca-Cola n’était pas un spermicide efficace.

Littérature : David Sims, de la Cass Business School (Londres) pour son étude joliment écrite et intitulée You Bastard: A Narrative Exploration of the Experience of Indignation within Organizations. (traduction approximative : Espèce de salaud ! Une exploration narrative de l’expérience de l’indignation au sein des organisations).

mercredi 23 juillet 2008

Engrenages paradoxaux

Les engrenages paradoxaux sont des engrenages dont les deux "roues" tournent dans le même sens.


Pour en savoir plus : Développante de cercle et engrenages

dimanche 13 juillet 2008

Mengermania

Mengermania suit le processus de construction d'une éponge de Menger, qui comprendra 160'000 cubes ! Chaque cube unité sera construit avec une feuille cartonnée, selon une méthode bien précise. Ni colle, ni ruban adhésif, ni ciseaux ne seront utilisés lors de l'assemblage.
Aujourd'hui 13 juillet, l'auteur en est à 4160 cubes.
Un invité idéal pour un dîner de cons, non ?

dimanche 6 juillet 2008

pac-math


Vous pouvez commander un T-shirt avec cette image sur le site de Diesel sweeties.

mercredi 25 juin 2008

Wikipedia : 4'573 degrés de séparation

Les habitués de Facebook et autres réseaux sociaux connaissent bien la théorie des « six degrés de séparation », selon laquelle il faut au maximum six liens personnels pour me relier à n’importe quelle personne d’un réseau, voir du monde. Je connais untel, qui connaît machin, qui connait George Bush. Simple.
Peut-on appliquer ce concept aux données, aux briques de savoir, grâce aux liens hypertexte ? La base de données de Wikipedia est l’outil idéal pour s’amuser un peu. Plusieurs outils permettent en effet de calculer le plus court chemin entre deux notions présentes dans Wikipedia. Stephen Dolan a réalisé un algorithme en ce sens, grâce à un « dump » de la base Wikipedia datant du moi de mars. Il suffit de rentrer deux termes dans son moteur de recherche pour connaître le nombre de clics nécessaires pour aller de l’un à l’autre en suivant les liens hypertexte.
Ainsi, pour aller de « Darth Vader » (le père de qui vous savez) à « Eddie Vedder » (le chanteur de Pearl Jam), il faut 3 clics, les étapes intermédiaires étant Country Music et Mandolin. Omnipelagos, un outil similaire, propose d’autres chemins (les étapes sont par exemples Alderaan => Red Hot Chili Peppers ou Marty McFly => Guitar), et permet de voir le texte environnant les liens.
Dolan a également calculé la distance moyenne de chaque article Wikipedia vers tous les autres, pour déterminer le « centre » de l’encyclopédie collaborative. Selon lui, en mars 2008, il s’agissait de la notice « 2007 », qui peut-être reliée à 2'111'479 autres articles, via une distance moyenne de 3.45 clics. En éliminant d’office tous les articles du type « liste d’évènements », le centre se déplace vers la notice « United Kingdom » (distance moyenne de 3.67 clics), suivie de Billie Jean King (3.68) et United States (3.69).
Le classement total est ici (fichier compressé de 37 MB !). On y découvre que la France est 1364eme (3.81), perdue entre le 400 mètres haies et la liste des épisodes de One Piece… Au final, le degré de séparation d'un article à un autre serait en moyenne de 4'573.

Source : Suivez le Geek

lundi 23 juin 2008

La formule du sandwich parfait

Des scientifiques britanniques ont élaboré une formule mathématique destinée à créer le parfait sandwich au fromage grâce à un savant dosage associant notamment mayonnaise, salade et cheddar, selon le responsable de l'étude de l'Université de Bristol (sud-ouest de l'Angleterre).
Cette équation, qui prend en compte neuf variables, a été mise à disposition du public sur le site internet www.cheddarometer.com, pour permettre aux internautes de réaliser un sandwich sur mesure en adaptant la quantité de cheddar, spécialité fromagère britannique, nécessaire en fonction des ingrédients choisis.

Pour les mathématiciens, la formule est W=[1 + ((bd)/6.5)) - s + ((m-2c)/2) + ((v+p)/7t)] (100 + l/100).

"W" est l'épaisseur de cheddar en millimètres, "b" l'épaisseur du pain et "d" sa particularité (blanc, céréales), "s" est la quantité de margarine ou de beurre et "m" le volume de mayonnaise. Les autres paramètres pris en compte sont notamment la quantité de laitue ("l"), de pickles ("p"), de tomates ("v").
La formule est le résultat d'une recherche dirigée par le professeur Geoff Nute à l'université de Bristol en utilisant des cobayes humains et de complexes instruments de mesure pour étudier plusieurs centaines de sortes de cheddar et déterminer, en fonction du goût et de la texture, la quantité nécessaire en fonction des différents ingrédients ajoutés.

samedi 14 juin 2008

Une horloge pour les matheux


Vous avez remarqué la contrainte : exprimer chaque nombre de 1 à 12 avec trois 9. Cela prend tout son sens quand on sait que cette horloge est conmmercialisée par la société Triple Nine...

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