Le blog-notes mathématique du coyote

Le philosophe et logicien britannique Bertrand Russell (1872-1970), afin d'illustrer le principe selon lequel n'importe quelle proposition peut être déduite d'une proposition fausse, a eu recours à cette identité mathématique. À un de ses étudiants en philosophie qui lui demandait : « Prétendez-vous que de 2 + 2 = 5, il s’ensuit que vous êtes le pape ? », Russell proposa la démonstration suivante :

1. Supposons que 2 + 2 = 5.
2. Soustrayons 2 de chaque membre de l’identité. Nous obtenons 2 = 3.
3. Par symétrie, 3 = 2.
4. Soustrayant 1 de chaque côté, il vient : 2 = 1.
5. Maintenant, le pape et moi sommes deux. Puisque 2 = 1, le pape et moi sommes un. Par suite, je suis le pape.

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Il y a quelques années, Nick Hoggard a créé un simultateur pour voir combien de temps la célèbre citation "Si vous avez assez de singes tapant au hasard sur les machines à écrire, ils finiront par écrire toute l'œuvre de William Shakespeare" mettrait à s'accomplir.
Les "singes" ont commencé leur travail le 1er juillet 2003. Il y en avait 100 pour commencer, mais leur nombre croissait quand ils trouvaient le temps de procréer (en gros, la population doublait tous les deux jours). La durée de vie de chaque singe était fixée à 50 ans. Un singe était supposé taper une touche par seconde et 2000 caractères par page. Chaque touche de la machine à écrire avait la même probabilité d'être tapée.
En février 2005 a paru le dernier résultat documenté. La plus grande suite de caractères correspondant à une oeuvre de Shakespeare (Henri IV partie 2) avait une longueur de... 24 caractères. "RUMOUR. Open your ears; 9r"5j5&?OWTY Z0d "B-nEoF.vjSqj[..." correspond à "RUMOUR. Open your ears; for which of you will stop The vent of hearing when loud Rumour speaks?..."
Il a fallu 2.737.850 millions de milliards de milliards de milliards d'années-singes pour leur permettre d'atteindre ce record... Comme quoi cette histoire de singes donne une bonne idée de l'infini.

Il n'est pas étonnant que certains joueurs de Poker portent des lunettes de soleil... Une récente recherche australienne vient de montrer que la position de nos yeux trahit les nombres auxquels nous réfléchissons. Lors de l'étude, on demandait aux participants de donner une série de nombres au hasard. En mesurant la position horizontale et verticale des yeux, les chercheurs furent capables de donner le nombre choisi suivant avant même que le participant ait le temps de l'énoncer !
Si les yeux bougent vers la droite et le haut, cela prédit que le nombre suivant sera plus grand. Le degré d'amplitude du mouvement donne l'écart entre les deux nombres. Lorsque l'on pense à des nombres, on les visualise en réalité dans l'espace, avec les petits nombres qui reposent à gauche et les nombres plus grands à droite. On ne réalise bien sûr pas cette association de manière consciente.

Source : Sur-la-Toile

A l'heure de gloire des systèmes de chat et des réseaux sociaux tels que Facebook, Twitter, Copains d'avant, il est temps de vous révéler que vous pourriez contacter ou connaître la planète entière en quelques clics ou quelques mails...
La théorie des six degrés de séparation établie par le hongrois Frigyes Karinthy en 1929 évoque la possibilité que toute personne sur le globe peut être reliée à n'importe quelle autre, au travers d'une chaîne de relations individuelles comprenant au plus cinq autres maillons.
Cette théorie est reprise en 1967 par Stanley Milgram à travers l'étude du petit monde. Cette expérience consistait à créer un groupe de volontaires pour faire parvenir par la poste un dossier (sur l'expérience) à un individu-cible choisi au départ. Les volontaires pouvaient l'envoyer directement à la cible s'ils la connaissaient ou l'envoyer à une de leurs connaissances qui avait selon eux la plus grande probabilité de connaître la cible. Sur 217 participants à l'expérience 64 dossiers sont finalement parvenus jusqu'à l'individu-cible, au terme de chaînes de connaissances de longueurs variables, mais dont la longueur moyenne était de 5,2 intermédiaires.
Eric Horvitz et Jure Leskovec, chercheurs chez Microsoft, confirment aujourd'hui cette théorie après avoir étudié 30 milliards de messages instantanés envoyés à travers le monde par près de 250 millions de personnes en juin 2006. Ils ont réussi à mettre en évidence que deux individus pris au hasard sur le globe peuvent en moyenne être reliés en 6,6 étapes.

Source : Algorythmes

Comme beaucoup de pays, la Bulgarie propose à ses habitants son propre loto. Et comme beaucoup de pays, les probabilités pour qu’une combinaison de six numéros sorte deux fois en peu temps sont minimes. Pourtant, les même six numéros sont sortis deux semaines de suite lors du tirage du loto national. Les responsables démentent toute manipulation.
Les chiffres 4, 15, 23, 24, 35 et 42 tirés devant les caméras de la télévision et une commission indépendante le 6 septembre dernier, l'ont été à nouveau, mais dans un autre ordre, quatre jours plus tard. Par ailleurs, trois de ces chiffres sont à nouveau apparus gagnants au tirage suivant.
Bien que mathématicien Mikhaïl Konstantinov explique que le phénomène est rare mais pas impossible, le ministre des Sports bulgare a tout de même souhaité ouvrir une enquête sur cette étrange coïncidence. Pour le mathématicien interrogé, la probabilité qu’une même série de six numéros sort deux fois en deux semaines et de 1 sur 4.2 millions, une chance plus que minime. La vice-présidente de la loterie bulgare se défend de toute "manipulation du tirage", expliquant que ce dernier est filmé et contrôlé.

Source : Zigonet.com (17.9.2009)

Fabrice Bellard vient de battre le record de calcul du nombre de décimales de Pi. Il a calculé environ 2 700 milliards de décimales de ce nombre magique.
La performance vient surtout du matériel utilisé : il a utilisé un ordinateur de bureau tournant sous Fedora 10, alors que le précédent record, ayant calculé environ 2 577 milliards de décimales, avait utilisé un supercalculateur japonais (113 téraflops en pointe soit la quarante-deuxième position au dernier Top500). Il a écrit le programme ayant permis le calcul des décimales. Il utilise l'algorithme de Chudnovsky pour calculer les chiffres en base binaire, avant de les convertir en base décimale. Le programme permet de vérifier les décimales calculées, palliant ainsi les erreurs liées au matériel et la reprise des calculs à un point de sauvegarde, ce qui permet d'éviter la perte de calcul en cas de coupure de courant !
La matériel utilisé est un simple ordinateur de bureau, avec un processeur Intel Core i7 à 2,93 GHz, 6 Gio de mémoire vive et un RAID 0 de 5 disques de 1,5 To, utilisant ext4 pour gérer les gros fichiers générés. Le calcul des 2 700 milliards de décimales a duré 103 jours, les phases de vérification et de conversion en base 10 ont pris 28 jours supplémentaires.
Le précédent record a été calculé en 29 heures sur une grille de 640 nœuds, contenant chacun 4 Opteron. Selon la FAQ la machine du précédent record était 2 000 fois plus puissante mais le temps de calcul du nouveau record a été 96 fois plus long... ce qui fait que le calcul de Fabrice Bellard a été environ 20 fois plus efficace que celui du super-calculateur. Ceci est expliqué car le calcul de Pi est très consommateur d'entrées/sorties.

Pour en savoir plus : Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer (pdf)

Source : linuxfr.org