Le blog-notes mathématique du coyote

Le 1er Avril 1975, Martin Gardner annonce dans une revue scientifique que le nombre:

est entier. Etant donné les faibles performances des calculatrices de l'époque, il fut très difficile pour le lecteur moyen de le conterdire. De fait, les douze premières décimales sont des 9, de sorte que tout arrondi à moins de douze décimales près donnera un nombre entier. Il faut donc calculer au moins 13 décimales pour se rendre compte du canular, le développement décimal de ce nombre commençant par:

262537412640768743,999999999999250072....

Ce poisson d'Avril n'aurait plus aucun intérêt de nos jours, le calcul d'une vingtaine de décimales de ce nombre se faisant instantanément avec des logiciels comme Mathematica.

Source : Blogdemaths

On peut acheter des montres à affichage binaire sur amazon... Je ne sais pas qui les achète, mais enfin, elles ont le mérite d'exister.

Démonstration impressionnante de calcul mental. C'est en anglais, mais ce jeune homme articule parfaitement et on comprend tout ce qu'il dit.
Je dédie cette vidéo à tous mes élèves qui sortent leur machine pour calculer 7 x 8...

Pour tester votre attention, observez bien la séquence ci-dessous, et tirez-en vos propres conclusions :

Lu dans "Ces nombres qui nous fascinent" :

954 est le seul nombre de trois chiffres qui soit "self replicating" : un nombre n dont tous les chiffres sont distincts et décroisssants est dit "self replicating" si, lorsqu'on inverse ses chiffres et qu'on soustrait le nouveau nombre du nombre n, on obtient un nombre dont les chiffres sont les mêmes que ceux qu'on retrouve dans n (954-459 = 495). Aucun nombre de 1, 2, 5, 6 ou 7 chiffres ne satisfait cette propriété. Selon Gardner, 954, 7641, 98'754'210, 987'654'321 et 9'876'543'210 sont les seuls nombres qui satisfont cette propriété.

En voyant le strip ci-dessous, quelqu'un a eu l'idée de programmer une horloge qui donne la décomposition en facteurs de l'heure.

Le bâton plutôt que la carotte ? Aussi étonnant que cela puisse paraître, ce serait en effet une bonne méthode pour une stratégie sur le long terme à l'échelle d'une équipe devant coopérer.

Des expériences antérieures de modèles évolutionnistes comparant coopération altruiste et punition avaient montré que les coûts des punitions par rapport aux gains d'une coopération laissaient penser que punir n'était pas une option viable.
Pour les chercheurs de l'université de Nottingham, c'est sûrement vrai ... si l'expérience ne dure pas suffisamment longtemps. Ces chercheurs ont donc regardé sur une plus longue échelle de temps, si la punition ne pouvait pas finalement améliorer la coopération.
Ils ont ainsi organisé des séries d'expériences concernant le bien public. Ils ont donné à des groupes de 3 personnes, 20 pièces que ces personnes pouvaient garder afin de contribuer au bien public. Chaque pièce valait une unité monétaire UM au détenteur et chaque pièce investie valait 0.5 UM pour chaque membre du groupe.
La règle était que les volontaires pouvaient choisir de donner un UM en échange de la déduction de 3 UM d'un bénéfice d'un autre membre du groupe : une manière de le punir si un volontaire jugeait qu'un autre n'avait pas suffisamment investi pour le bien du groupe.
L'expérience a donc été divisée en deux périodes de temps et reproduite entre court terme, 10 fois ou long terme, 50 fois. On a d'ailleurs réalisé cette expérience soit avec l'option de punition soit sans. Les résultats furent clairs : les résultats de la coopération étaient meilleurs lorsque les joueurs avaient la possibilité de punir les autres.
Cela s'explique par le fait que les gens punissent ceux qui pensent « solo » et cela renforce au final la cohésion du groupe total. Il était manifeste que les gens réagissent différemment selon qu'ils jouent sur le court terme ou le long terme, car la menace de punition était moins forte dans un jeu court terme.
Il était clair que la punition était peu usitée : c'est surtout la présence de la menace qui permet de recadrer le groupe dans le bon chemin de la coopération.
Il y a enfin une manifestation émotionnelle de la présence de cette punition : on voyait par exemple la punition s'exercer dans la dernière itération du jeu (quand cela n'a plus d'effet concret), juste pour faire la leçon à ceux « qui se la jouaient perso ».
Un effet paradoxal du point de vue logique pure mais souvent vérifié dans le cadre de la théorie du jeu.

Source : Sur-la-Toile

Hermann, M., Leuthold, H.: Atlas der Politischen Landschaften – Ein weltanschauliches Porträt der Schweiz. Zürich: vdf Hochschulverlag, 2003

Les règles de Golomb doivent leur nom au docteur Solomon W. Golomb, un professeur de mathématiques qui s'est particulièrement intéressé à l'analyse combinatoire, à la théorie des nombres, à la théorie du codage et aux communications. Le docteur Golomb s'intéresse aussi aux jeux et aux énigmes mathématiques : il est l'auteur de nombreux articles parus dans la rubrique "Jeux Mathématiques" de Scientific American. Les OGR ont de nombreuses applications dont entre autres : le positionnement des capteurs pour la cristallographie à rayons X, et la radioastronomie. Les règles de Golomb jouent également un rôle en combinatoire, en théorie du codage et dans les communications, et le docteur Golomb est l'un des premiers à avoir analysé leur utilité dans ces domaines.
Une règle de Golomb est une manière de placer des marques sur une droite de sorte que chaque couple de marques mesure une longueur différente des autres. Voici une règle de Golomb à cinq marques :

| |     |         |   |
0 1     4         9   11

Le nombre situé sous la marque donne la distance au bord gauche. La longueur de cette règle est 11; il se trouve que cette règle est l'une des deux règles à cinq marques les plus courtes. L'autre règle est celle dont les marques se situent aux positions 0, 3, 4, 9 et 11. (les images inversées de ces deux règles, 0, 2, 7, 10, 11 et 0, 2, 7, 8, 11 constituent également des règles de Golomb optimales. On ne mentionne habituellement qu'un représentant de chaque paire d'images inversées.)
Pour vérifier que la règle ci-dessus est effectivement une règle de Golomb, on peut écrire la table de toutes les paires de marques possibles en indiquant pour chacune la distance correspondante :

Marque 1  Marque 2  Distance
   0          1         1
   0          4         4
   0          9         9
   0         11        11 
   1          4         3 
   1          9         8
   1         11        10 
   4          9         5 
   4         11         7 
   9         11         2 

Notez que la troisième colonne ne contient aucune répétition. La distance 6 n'apparaît pas non plus, mais ce n'est pas grave : une règle de Golomb n'est pas censée permettre de mesurer toutes les distances, mais seulement des distances différentes d'une paire de marques à l'autre.
Le but de l'"optimisation" des règles de Golomb est de les rendre aussi courtes que possible, tout en ne duplicant pas les distances mesurées. Les deux règles à cinq marques données ci-dessus sont optimales.
On caractérise habituellement les règles de Golomb par l'espacement entre les marques plutôt que par la position absolue des marques, comme c'est le cas sur le diagramme ci-dessus. La règle ci-dessus s'écrirait ainsi 1-3-5-2 (ou encore 0-1-3-5-2, mais on oublie souvent le 0 initial).
Par exemple, voici la plus petite règle à 21 marques connue :

2-22-32-21-5-1-12-34-15-35-7-9-60-10-20-8-3-14-19-4

James B. Shearer a compilé une liste des plus petites règles de Golomb connues jusqu'à 150 marques. Si vous comparez les règles, vous constaterez que la règle à 21 marques mentionnée sur la page de James est l'image inversée de celle ci-dessus.
Malheureusement, la complexité de la recherche d'OGR croît de manière exponentielle avec le nombre de marques (de la même manière que ce que les mathématiciens décrivent sous l'appellation "problème NP complet" ... comme l'infâme "problème du voyageur de commerce").

Source : distributed.net

En pleine réflexion au petit coin, mon attention est soudain attirée par le pavage des murs :


La forme de la planelle permet apparemment (mais je n'ai pas réfléchi à fond) un pavage apériodique. J'ai toujours cru qu'il fallait au moins deux formes différentes. Je me trompe ? Quoi que en y regardant bien, il semble qu'il y ait un axe de symétrie vertical au centre de la photo...

Les Sangaku ou San Gaku (littéralement tablettes mathématiques) sont des énigmes géométriques japonaises dans la géométrie euclidienne gravées sur des tablettes de bois, apparues durant la période Edo (1603-1867) et fabriquées par des membres de toutes les classes sociales.
Pendant cette période Edo, le Japon était complètement isolé du reste du monde, si bien que les tablettes furent créées en utilisant les mathématiques japonaises (wasan), sans influence de la pensée mathématique occidentale. Les Sangaku étaient peints en couleur sur des tablettes de bois qui étaient suspendues à l'entrée de temples et d'autels shintoïstes (Jinja) en offrande aux divinités locales (tablettes votives). Beaucoup de ces tablettes ont été perdues après la période de modernisation qui succéda à la période Edo, mais environ 900 ont pu être conservées.
Les Sangaku furent publiées pour la première fois en 1989 par Hidetoshi Fukagawa, un professeur de mathématiques de lycée et par Daniel Pedoe dans un livre intitulé : Japanese Temple Geometry Problems.

Types de problèmes

Les tablettes sangaku présentent souvent des figures simples où l'esthétique des formes est déterminante dans le choix des problèmes. On y retrouve particulièrement des polygones et des polyèdres simples ou réguliers, des cercles, des ellipses, des sphères et des ellipsoïdes. Le paraboloïde et les différentes coniques y font leur apparition aussi. Le cylindre intervient surtout pour créer l'ellipse par intersection avec le plan. Les transformations affines sont utilisés pour passer du cercle à l'ellipse. Des problèmes concernent par exemple plusieurs cercles mutuellement tangents ou plusieurs cercles tangents avec une ellipse. Le problème ci-dessous provient de la préfecture d'Ehime :

L'éventail est ouvert au 2/3. Que vaut le rapport du rayon du cercle rouge sur le rayon du cercle blanc?
Pour en savoir plus :

• Sangaku.info
• cut-the-knot
• Pour la Science No 249, Juillet 1998, pp. 52-59
• Sangaku : Le mystère des énigmes géométriques japonaises, par Géry Huvent, Dunod, 2008

Saviez-vous qu'il existe des dizaines de rues à Paris ayant pour nom un mathématicien ? Vous trouverez la liste sur Paris street names.

La cardioïde est une caustique de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.

Le samedi 29 novembre à 15h15, au centre professionnel "en Dozière" à Delémont, le cercle de mathématiques et de physique de la société jurassienne d'émulation propose une conférence donnée par le prof. Henri Carnal sur les paradoxes en calcul des probabilités. L'entrée est libre et les élèves du lycée sont vivement encouragés a suivre cette conférence.

Un de ces paradoxes est le célèbre "Paradoxe de Bertrand". Il met en évidence les limites du recours à l'intuition dans cette discipline. Il consiste à choisir au hasard une corde d'un cercle donné et d'estimer la probabilité que celle-ci soit de longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle. Le paradoxe est que cette probabilité dépend du protocole de choix de la corde. Ce problème fut énoncé pour la première fois en 1888 par Joseph Bertrand dans son ouvrage Calcul des probabilités. Bertrand en donnait trois réponses différentes (une chance sur deux, une sur trois et une sur quatre), toutes les trois apparemment valides.
Soit un cercle de rayon 1. Le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur racine de 3. Le paradoxe de Bertrand consiste à déterminer la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à racine de 3.

1. Extrémités aléatoires : soit un point de la circonférence du cercle et le triangle équilatéral inscrit dont l'un des sommets est ce point. On choisit aléatoirement un autre point au hasard sur le cercle et on considère la corde reliant les deux points. Elle est plus longue que le côté du triangle si le deuxième point est situé sur l'arc reliant les deux sommets du triangle opposé au premier point. La probabilité est donc alors 1/3.
2. Rayon aléatoire : on choisit un rayon du cercle et on considère le triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. On choisit aléatoirement un point sur le rayon et on trace la corde dont il est le milieu. Cette corde est plus longue que le côté du triangle si le point est situé plus près du centre du cercle que l'intersection de ce côté et du rayon, laquelle est située au milieu de ce dernier. La probabilité est donc alors 1/2.
3. Milieu aléatoire : soit un point choisi aléatoirement à l'intérieur du cercle et une corde dont il est le milieu. La corde est plus longue qu'un côté du triangle équilatéral inscrit si le point est situé à l'intérieur d'un cercle concentrique de rayon 1/2. L'aire de ce cercle est un quart celle du grand cercle. La probabilité est donc alors 1/4.

Le paradoxe de Bertrand met en évidence la dépendance à la méthode de sélection d'une corde « au hasard ». Dès que cette méthode est spécifiée, le problème possède une solution bien définie. En l'absence d'une telle méthode, le terme « au hasard », dans « choisir une corde du cercle au hasard », est ambigu. Les trois solutions présentées par Bertrand correspondent à des méthodes de sélection distinctes et valables, et en l'absence d'autre information, il n'y a aucune raison d'en privilégier une par rapport aux autres.

Pour illustrer ce paradoxe, plusieurs sites proposent des animations et des simulations :

• Le paradoxe de Bertrand sur le fameux site de Thérèse Eveilleau
• Le paradoxe de Bertrand ou Qu'est-ce qu'une simulation ?
• Bertrand's Paradox

Bonne question ! Le commun des mortels en connaît généralement trois : l'intersection des médiatrices, des bissectrices et des médianes. Mais saviez-vous qu'il existe environ 3500 définitions pour le "centre" d'un triangle ?
Vous trouverez quelques nouvelles définitions sur l'excellent blog Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes dans deux articles : Où est le centre de ce triangle ? et Il est là !.
Quant aux 3514 définitions actuelles, elles sont listées sur le site Encyclopedia of triangle centers.

L'étoile mystérieuse, par Hergé
Remarquez l'incroyable précision de 387'000'000'000'000,0005 ! A faire hurler les profs de physique et de maths...

En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire, et pour le moment, seuls les cinq premiers nombres taxicab sont connus :

Ta(1) = 2 = 1³ + 1³
Ta(2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
Ta(3) = 87539319 = 1673³ + 4363³ = 2283³ + 4233³ = 2553³ + 4143³
...

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par une anectode impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes. »

Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

Source : Wikipédia

Les sondeurs n'ont qu'à bien se tenir. Un système mathématique permet de prédire sans faillir le vainqueur des présidentielles américaines. C'est en tout cas ce qu'affirme son co-inventeur, Allan Lichtman, professeur d'histoire à l'American University. Basé sur l'analyse des présidentielles de 1860 à 1980, ce dispositif, baptisé "Les treize clés de la Maison-Blanche", a été mis au point en 1981 avec le mathématicien russe Volodia Keilis-Borok. Il a fait l'objet d'une communication dans les Annales de l'académie américaine des sciences (PNAS) et d'un livre publié en 1990. Concrètement, il comprend 13 variables ou "clés" qualifiées de "positives" ou "négatives".
D'après les deux scientifiques, le parti au pouvoir ne doit pas récolter plus de cinq clés négatives s'il veut l'emporter. Les 13 clés prennent en compte la situation économique, intérieure et mondiale, l'existence de troubles sociaux et d'un scandale frappant le président sortant. La formule ignore les sondages, la stratégie des candidats, les débats présidentiels et le choix des colistiers. "Ce système est fondé sur la théorie selon laquelle l'élection présidentielle est surtout un verdict des performances des sortants. C'est la raison pour laquelle on peut faire des prédictions avant même de connaître le nom du candidat", explique le Pr Lichtman.

Voici les réponses aux 13 clés pour 2008 :

1. Après les dernières élections législatives, le Parti républicain a obtenu plus de sièges à la Chambre des représentants : Faux.
2. John McCain a été investi par les républicains sans véritable bataille au sein du parti : Vrai.
3. Le candidat du parti sortant est le président : Faux.
4. Il n'y a pas de candidat indépendant significatif : Vrai.
5. L'économie n'est pas en récession durant la campagne: ceci est théoriquement vrai mais la gravité de la crise financière est négative pour les républicains, relève Allan Lichtman.
6. La conjoncture économique a été meilleure durant la présidence sortante que lors des deux précédents mandats : Faux.
7. M. Bush a mis en oeuvre des politiques d'envergure ayant amélioré la vie des Américains : Faux.
8. Il y a eu des troubles sociaux comme des émeutes durant le mandat de M. Bush : Faux.
9. Un scandale a éblaboussé le président sortant : Faux.
10. L'administration Bush n'a pas subi d'échec majeur en politique étrangère : Faux.
11. M. Bush a obtenu un grand succès en politique étrangère : Faux.
12. Le candidat du parti au pouvoir est charismatique ou un héros national : Faux. "John McCain n'est pas charismatique. Il est un héros à titre personnel mais pas pour ses actes en tant que chef", note Allan Lichtman.
13. Le candidat d'opposition n'est pas charismatique : Faux.

Résultat, "on compte au moins neuf faux, ce qui fait que M. Obama remportera la Maison-Blanche", conclut l'historien, qui prévoit même un écart de huit points en faveur du démocrate. Résultat mardi prochain.

Source : lepoint.fr

L' Ig Nobel Prize rend chaque année honneur aux gens dont les accomplissements « ne peuvent pas ou ne doivent pas être reproduits » (la reproductibilité étant un des critères de la méthode scientifique). La 18ème cérémonie des Ig Nobel s’est tenue le 3 octobre 2008. Voici les lauréats :

Nutrition : revient à Massimiliano Zampini, de l’Université de Trente et Charles Spence de l’Université d’Oxford pour leurs recherches sur la sonorité de la nourriture.

Paix : le prix est décerné au comité d’éthique sur la biotechnologie non-humaine de la confédération helvétique pour avoir établi légalement que les plantes avaient une dignité.

Archéologie : Astolfo G. Mello Araujo et José Carlos Marcelino de l'Université de São Paulo, pour avoir mesuré les effets nocifs du tatou sur le contenu des sites de fouilles archéologiques.

Biologie : Marie-Christine Cadiergues, Christel Joubert et Michel Franc de l’École Nationale Veterinaire de Toulouse pour avoir découvert que les puces qui vivent sur un chien peuvent sauter plus haut que les puces qui vivent sur un chat.

Médecine : Dan Ariely (Duke University) qui a démontré qu’un placebo au tarif très élevé était plus efficace qu’un placebo au prix peu élevé.

Sciences cognitives : Toshiyuki Nakagaki (université d’Hokkaido), Hiroyasu Yamada (Nagoya), Ryo Kobayashi (Hiroshima), Atsushi Tero de la Japan science and technology (JST/Presto), Akio Ishiguro de l’université Tohoku et Ágotá Tóth de l’université de Szeged en Hongrie, qui ont découvert que les mycétozoaires pouvaient trouver la sortie d'un labyrinthe.

Économie : Geoffrey Miller, Joshua Tybur et Brent Jordan de l’université de New Mexico pour avoir découvert que le cycle d’ovulation d’une danseuse de danse contact pouvait avoir un effet sur le montant de ses pourboires.

Sciences physiques : Dorian Raymer, des observatoires océaniques de l’institution Scripps et Douglas Smith de l’Université de Californie à San Diego, pour avoir prouvé mathématiquement que les tas de cheveux, de cordes ou de presque n’importe quoi d’autre finissaient inévitablement par s’emmêler en nœuds.

Chimie : à Sharee A. Umpierre de l’université de Puerto Rico, Joseph A. Hill, des centres de fertilité de Nouvelle-Angleterre et à Deborah J. Anderson de l’université de médecine de Boston et de la Harvard medical school pour avoir démontré que le Coca-Cola était un spermicide efficace. Le prix est aussi remis aux chercheurs taïwanais Chuang-Ye Hong, C.C. Shieh, P. Wu, et B.N. Chiang qui ont de leur côté établi que le Coca-Cola n’était pas un spermicide efficace.

Littérature : David Sims, de la Cass Business School (Londres) pour son étude joliment écrite et intitulée You Bastard: A Narrative Exploration of the Experience of Indignation within Organizations. (traduction approximative : Espèce de salaud ! Une exploration narrative de l’expérience de l’indignation au sein des organisations).