Le blog-notes mathématique du coyote

Il semblerait que ce problème soit écrit en coréen. Etrangement, nul besoin de connaître cette langue pour deviner de quoi il s'agit...

On peut tout imprimer sur des T-shirts, même des maths. Toute une collection est disponible sur café presse.

Ce que j'aime bien dans le métier de prof, c'est que parfois les rôles s'inversent et que c'est les élèves qui me font découvrir des choses. Dernièrement, je me suis mis à lire des mangas et je dois dire que j'ai été époustouflé par la qualité de l'histoire de Death Note. Un vrai chef-d'oeuvre, à mon avis (et mes élèves sont d'accord).
En cherchant sur le web comment étaient représentés les profs de maths dans les manga, je suis tombé sur le manwha (manga coréen) Unbalance X 2, où la prof de maths ressemble à ceci :

Décidément, la prof de math suscite bien des fantasmes...

Le 1er Avril 1975, Martin Gardner annonce dans une revue scientifique que le nombre:

est entier. Etant donné les faibles performances des calculatrices de l'époque, il fut très difficile pour le lecteur moyen de le conterdire. De fait, les douze premières décimales sont des 9, de sorte que tout arrondi à moins de douze décimales près donnera un nombre entier. Il faut donc calculer au moins 13 décimales pour se rendre compte du canular, le développement décimal de ce nombre commençant par:

262537412640768743,999999999999250072....

Ce poisson d'Avril n'aurait plus aucun intérêt de nos jours, le calcul d'une vingtaine de décimales de ce nombre se faisant instantanément avec des logiciels comme Mathematica.

Source : Blogdemaths

On peut acheter des montres à affichage binaire sur amazon... Je ne sais pas qui les achète, mais enfin, elles ont le mérite d'exister.

Démonstration impressionnante de calcul mental. C'est en anglais, mais ce jeune homme articule parfaitement et on comprend tout ce qu'il dit.
Je dédie cette vidéo à tous mes élèves qui sortent leur machine pour calculer 7 x 8...

Pour tester votre attention, observez bien la séquence ci-dessous, et tirez-en vos propres conclusions :

Lu dans "Ces nombres qui nous fascinent" :

954 est le seul nombre de trois chiffres qui soit "self replicating" : un nombre n dont tous les chiffres sont distincts et décroisssants est dit "self replicating" si, lorsqu'on inverse ses chiffres et qu'on soustrait le nouveau nombre du nombre n, on obtient un nombre dont les chiffres sont les mêmes que ceux qu'on retrouve dans n (954-459 = 495). Aucun nombre de 1, 2, 5, 6 ou 7 chiffres ne satisfait cette propriété. Selon Gardner, 954, 7641, 98'754'210, 987'654'321 et 9'876'543'210 sont les seuls nombres qui satisfont cette propriété.

En voyant le strip ci-dessous, quelqu'un a eu l'idée de programmer une horloge qui donne la décomposition en facteurs de l'heure.

Le bâton plutôt que la carotte ? Aussi étonnant que cela puisse paraître, ce serait en effet une bonne méthode pour une stratégie sur le long terme à l'échelle d'une équipe devant coopérer.

Des expériences antérieures de modèles évolutionnistes comparant coopération altruiste et punition avaient montré que les coûts des punitions par rapport aux gains d'une coopération laissaient penser que punir n'était pas une option viable.
Pour les chercheurs de l'université de Nottingham, c'est sûrement vrai ... si l'expérience ne dure pas suffisamment longtemps. Ces chercheurs ont donc regardé sur une plus longue échelle de temps, si la punition ne pouvait pas finalement améliorer la coopération.
Ils ont ainsi organisé des séries d'expériences concernant le bien public. Ils ont donné à des groupes de 3 personnes, 20 pièces que ces personnes pouvaient garder afin de contribuer au bien public. Chaque pièce valait une unité monétaire UM au détenteur et chaque pièce investie valait 0.5 UM pour chaque membre du groupe.
La règle était que les volontaires pouvaient choisir de donner un UM en échange de la déduction de 3 UM d'un bénéfice d'un autre membre du groupe : une manière de le punir si un volontaire jugeait qu'un autre n'avait pas suffisamment investi pour le bien du groupe.
L'expérience a donc été divisée en deux périodes de temps et reproduite entre court terme, 10 fois ou long terme, 50 fois. On a d'ailleurs réalisé cette expérience soit avec l'option de punition soit sans. Les résultats furent clairs : les résultats de la coopération étaient meilleurs lorsque les joueurs avaient la possibilité de punir les autres.
Cela s'explique par le fait que les gens punissent ceux qui pensent « solo » et cela renforce au final la cohésion du groupe total. Il était manifeste que les gens réagissent différemment selon qu'ils jouent sur le court terme ou le long terme, car la menace de punition était moins forte dans un jeu court terme.
Il était clair que la punition était peu usitée : c'est surtout la présence de la menace qui permet de recadrer le groupe dans le bon chemin de la coopération.
Il y a enfin une manifestation émotionnelle de la présence de cette punition : on voyait par exemple la punition s'exercer dans la dernière itération du jeu (quand cela n'a plus d'effet concret), juste pour faire la leçon à ceux « qui se la jouaient perso ».
Un effet paradoxal du point de vue logique pure mais souvent vérifié dans le cadre de la théorie du jeu.

Source : Sur-la-Toile

Hermann, M., Leuthold, H.: Atlas der Politischen Landschaften – Ein weltanschauliches Porträt der Schweiz. Zürich: vdf Hochschulverlag, 2003

Les règles de Golomb doivent leur nom au docteur Solomon W. Golomb, un professeur de mathématiques qui s'est particulièrement intéressé à l'analyse combinatoire, à la théorie des nombres, à la théorie du codage et aux communications. Le docteur Golomb s'intéresse aussi aux jeux et aux énigmes mathématiques : il est l'auteur de nombreux articles parus dans la rubrique "Jeux Mathématiques" de Scientific American. Les OGR ont de nombreuses applications dont entre autres : le positionnement des capteurs pour la cristallographie à rayons X, et la radioastronomie. Les règles de Golomb jouent également un rôle en combinatoire, en théorie du codage et dans les communications, et le docteur Golomb est l'un des premiers à avoir analysé leur utilité dans ces domaines.
Une règle de Golomb est une manière de placer des marques sur une droite de sorte que chaque couple de marques mesure une longueur différente des autres. Voici une règle de Golomb à cinq marques :

| |     |         |   |
0 1     4         9   11

Le nombre situé sous la marque donne la distance au bord gauche. La longueur de cette règle est 11; il se trouve que cette règle est l'une des deux règles à cinq marques les plus courtes. L'autre règle est celle dont les marques se situent aux positions 0, 3, 4, 9 et 11. (les images inversées de ces deux règles, 0, 2, 7, 10, 11 et 0, 2, 7, 8, 11 constituent également des règles de Golomb optimales. On ne mentionne habituellement qu'un représentant de chaque paire d'images inversées.)
Pour vérifier que la règle ci-dessus est effectivement une règle de Golomb, on peut écrire la table de toutes les paires de marques possibles en indiquant pour chacune la distance correspondante :

Marque 1  Marque 2  Distance
   0          1         1
   0          4         4
   0          9         9
   0         11        11 
   1          4         3 
   1          9         8
   1         11        10 
   4          9         5 
   4         11         7 
   9         11         2 

Notez que la troisième colonne ne contient aucune répétition. La distance 6 n'apparaît pas non plus, mais ce n'est pas grave : une règle de Golomb n'est pas censée permettre de mesurer toutes les distances, mais seulement des distances différentes d'une paire de marques à l'autre.
Le but de l'"optimisation" des règles de Golomb est de les rendre aussi courtes que possible, tout en ne duplicant pas les distances mesurées. Les deux règles à cinq marques données ci-dessus sont optimales.
On caractérise habituellement les règles de Golomb par l'espacement entre les marques plutôt que par la position absolue des marques, comme c'est le cas sur le diagramme ci-dessus. La règle ci-dessus s'écrirait ainsi 1-3-5-2 (ou encore 0-1-3-5-2, mais on oublie souvent le 0 initial).
Par exemple, voici la plus petite règle à 21 marques connue :

2-22-32-21-5-1-12-34-15-35-7-9-60-10-20-8-3-14-19-4

James B. Shearer a compilé une liste des plus petites règles de Golomb connues jusqu'à 150 marques. Si vous comparez les règles, vous constaterez que la règle à 21 marques mentionnée sur la page de James est l'image inversée de celle ci-dessus.
Malheureusement, la complexité de la recherche d'OGR croît de manière exponentielle avec le nombre de marques (de la même manière que ce que les mathématiciens décrivent sous l'appellation "problème NP complet" ... comme l'infâme "problème du voyageur de commerce").

Source : distributed.net

En pleine réflexion au petit coin, mon attention est soudain attirée par le pavage des murs :


La forme de la planelle permet apparemment (mais je n'ai pas réfléchi à fond) un pavage apériodique. J'ai toujours cru qu'il fallait au moins deux formes différentes. Je me trompe ? Quoi que en y regardant bien, il semble qu'il y ait un axe de symétrie vertical au centre de la photo...

Les Sangaku ou San Gaku (littéralement tablettes mathématiques) sont des énigmes géométriques japonaises dans la géométrie euclidienne gravées sur des tablettes de bois, apparues durant la période Edo (1603-1867) et fabriquées par des membres de toutes les classes sociales.
Pendant cette période Edo, le Japon était complètement isolé du reste du monde, si bien que les tablettes furent créées en utilisant les mathématiques japonaises (wasan), sans influence de la pensée mathématique occidentale. Les Sangaku étaient peints en couleur sur des tablettes de bois qui étaient suspendues à l'entrée de temples et d'autels shintoïstes (Jinja) en offrande aux divinités locales (tablettes votives). Beaucoup de ces tablettes ont été perdues après la période de modernisation qui succéda à la période Edo, mais environ 900 ont pu être conservées.
Les Sangaku furent publiées pour la première fois en 1989 par Hidetoshi Fukagawa, un professeur de mathématiques de lycée et par Daniel Pedoe dans un livre intitulé : Japanese Temple Geometry Problems.

Types de problèmes

Les tablettes sangaku présentent souvent des figures simples où l'esthétique des formes est déterminante dans le choix des problèmes. On y retrouve particulièrement des polygones et des polyèdres simples ou réguliers, des cercles, des ellipses, des sphères et des ellipsoïdes. Le paraboloïde et les différentes coniques y font leur apparition aussi. Le cylindre intervient surtout pour créer l'ellipse par intersection avec le plan. Les transformations affines sont utilisés pour passer du cercle à l'ellipse. Des problèmes concernent par exemple plusieurs cercles mutuellement tangents ou plusieurs cercles tangents avec une ellipse. Le problème ci-dessous provient de la préfecture d'Ehime :

L'éventail est ouvert au 2/3. Que vaut le rapport du rayon du cercle rouge sur le rayon du cercle blanc?
Pour en savoir plus :

• Sangaku.info
• cut-the-knot
• Pour la Science No 249, Juillet 1998, pp. 52-59
• Sangaku : Le mystère des énigmes géométriques japonaises, par Géry Huvent, Dunod, 2008

Saviez-vous qu'il existe des dizaines de rues à Paris ayant pour nom un mathématicien ? Vous trouverez la liste sur Paris street names.

La cardioïde est une caustique de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.

Le samedi 29 novembre à 15h15, au centre professionnel "en Dozière" à Delémont, le cercle de mathématiques et de physique de la société jurassienne d'émulation propose une conférence donnée par le prof. Henri Carnal sur les paradoxes en calcul des probabilités. L'entrée est libre et les élèves du lycée sont vivement encouragés a suivre cette conférence.

Un de ces paradoxes est le célèbre "Paradoxe de Bertrand". Il met en évidence les limites du recours à l'intuition dans cette discipline. Il consiste à choisir au hasard une corde d'un cercle donné et d'estimer la probabilité que celle-ci soit de longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle. Le paradoxe est que cette probabilité dépend du protocole de choix de la corde. Ce problème fut énoncé pour la première fois en 1888 par Joseph Bertrand dans son ouvrage Calcul des probabilités. Bertrand en donnait trois réponses différentes (une chance sur deux, une sur trois et une sur quatre), toutes les trois apparemment valides.
Soit un cercle de rayon 1. Le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur racine de 3. Le paradoxe de Bertrand consiste à déterminer la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à racine de 3.

1. Extrémités aléatoires : soit un point de la circonférence du cercle et le triangle équilatéral inscrit dont l'un des sommets est ce point. On choisit aléatoirement un autre point au hasard sur le cercle et on considère la corde reliant les deux points. Elle est plus longue que le côté du triangle si le deuxième point est situé sur l'arc reliant les deux sommets du triangle opposé au premier point. La probabilité est donc alors 1/3.
2. Rayon aléatoire : on choisit un rayon du cercle et on considère le triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. On choisit aléatoirement un point sur le rayon et on trace la corde dont il est le milieu. Cette corde est plus longue que le côté du triangle si le point est situé plus près du centre du cercle que l'intersection de ce côté et du rayon, laquelle est située au milieu de ce dernier. La probabilité est donc alors 1/2.
3. Milieu aléatoire : soit un point choisi aléatoirement à l'intérieur du cercle et une corde dont il est le milieu. La corde est plus longue qu'un côté du triangle équilatéral inscrit si le point est situé à l'intérieur d'un cercle concentrique de rayon 1/2. L'aire de ce cercle est un quart celle du grand cercle. La probabilité est donc alors 1/4.

Le paradoxe de Bertrand met en évidence la dépendance à la méthode de sélection d'une corde « au hasard ». Dès que cette méthode est spécifiée, le problème possède une solution bien définie. En l'absence d'une telle méthode, le terme « au hasard », dans « choisir une corde du cercle au hasard », est ambigu. Les trois solutions présentées par Bertrand correspondent à des méthodes de sélection distinctes et valables, et en l'absence d'autre information, il n'y a aucune raison d'en privilégier une par rapport aux autres.

Pour illustrer ce paradoxe, plusieurs sites proposent des animations et des simulations :

• Le paradoxe de Bertrand sur le fameux site de Thérèse Eveilleau
• Le paradoxe de Bertrand ou Qu'est-ce qu'une simulation ?
• Bertrand's Paradox

Bonne question ! Le commun des mortels en connaît généralement trois : l'intersection des médiatrices, des bissectrices et des médianes. Mais saviez-vous qu'il existe environ 3500 définitions pour le "centre" d'un triangle ?
Vous trouverez quelques nouvelles définitions sur l'excellent blog Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes dans deux articles : Où est le centre de ce triangle ? et Il est là !.
Quant aux 3514 définitions actuelles, elles sont listées sur le site Encyclopedia of triangle centers.

L'étoile mystérieuse, par Hergé
Remarquez l'incroyable précision de 387'000'000'000'000,0005 ! A faire hurler les profs de physique et de maths...