Le blog-notes mathématique du coyote

Une prime de 1,45 million d'euros promise au joueur qui résoudra l'énigme d'Eternity II
Article du Monde, 23 juillet 2007

La simplicité apparente du plateau de 16 fois 16 cases et ses 256 pièces colorées ne doit pas faire illusion. Eternity II, casse-tête mathématique dont le lancement est prévu le 28 juillet dans vingt pays, est un jeu d'une extrême complexité. D'ailleurs, le premier joueur qui sera capable de résoudre cette vaste énigme en forme de puzzle recevra un prix de deux millions de dollars, soit 1,45 million d'euros. Le jeu sera disponible au prix de 50 euros environ.

Eternity II est composé de petites pièces carrées dont chacune est divisée en quatre parties colorées, ornées de motifs géométriques distincts. Pas question de reconstituer un paysage ou une photo, le but du jeu consiste à faire correspondre toutes les pièces de tous côtés. Un peu comme aux dominos, il faut faire correspondre couleurs et formes pour placer côte à côte deux pièces du puzzle.
Il existe des milliers de combinaisons gagnantes possibles, mais aucune machine ou aucun ordinateur ne saurait les résoudre car le codage de l'énigme invoque la mathématique des nombres complexes, l'analyse combinatoire, la théorie des probabilités, mais aussi et surtout la théorie des pavages dits quasi périodiques, dont l'un des grands découvreurs, Roger Penrose, n'a jeté les fondements qu'en 1974.
Pour mettre au point Eternity II, il a fallu avoir recours à la physique des quasi-cristaux, mais aussi à la statistique et aux mathématiques dites "discrètes" dont le succès tient à leurs applications dans la sphère informatique. Jusqu'au dernier moment et au dernier placement de la 256e pièce, nul ne pourra dire s'il est proche ou loin de la solution.

UNE PREMIÈRE VERSION EN 1999

Christopher Monckton, 55 ans, le créateur de ce jeu d'assemblage un peu particulier digne des figures impossibles d'Escher, n'en est pas à son coup d'essai. Le créateur d'Eternity avait déjà défriché le concept avec le premier Eternity lancé en 1999. Ce casse-tête composé de 209 pièces de formes différentes s'est écoulé à plus de 500 000 exemplaires et était déjà associé à une récompense d'1 million de livres sterling (1,48 million d'euros). Deux étudiants en géométrie et recherche combinatoire de Cambridge parvinrent, après sept mois de travail et l'aide de deux micro-ordinateurs et un programme d'intelligence artificielle, à résoudre l'énigme. Ils empochèrent la récompense et se firent embaucher par l'inventeur, qui, ruiné, dut vendre son manoir afin de développer le jeu suivant.
Le vicomte Christopher Monckton, diplômé de Cambridge, qui fut journaliste puis conseiller politique de Margaret Thatcher, s'est découvert une passion pour les mathématiques et les puzzles. Devenu célèbre avec Eternity, ce vicomte britannique, officier de l'ordre de Jérusalem et chevalier de l'ordre de Malte, est surtout connu en Angleterre pour ses grilles géantes de sudoku. Ses conseils pour résoudre Eternity II : "Lisez la question, ne paniquez pas, procédez par étapes, persévérez, et, surtout, unissez vos efforts." Le dépouillement des résultats est prévu le 31 décembre 2008.

A voir : Eternity II Puzzle (Wihipedia)

Petite note personnelle: où y a-t-il des nombres complexes là-dedans ?

Voici un problème qui me turlupine depuis que Gilles Jobin l'a posté sur son blog. Les Blancs sont au trait. Il ne fait pas de doute qu'ils gagneront facilement la partie. La question est cependant de savoir le nombre minimum de coups nécessaires pour mater l'adversaire. On suppose évidemment que les deux adversaires jouent le mieux possible.

J'ai lancé hier le troisième volet des aventures des soeurs Koukouchkina. Il s'agit de décrypter une série de message chiffrés selon différentes méthodes. De quoi s'occuper pour l'été, car cette série est particulièrement difficile. Aussi je conseille aux novices de d'abord tenter les volets 1 et 2.

C’est presque par hasard que Patrick Tirone, marseillais de 41 ans, découvre le Kamaji (littéralement « additions mélangées » en japonais). Et pourtant, rien ne prédestinait cet agent municipal, qui n’a jamais eu d’attirance pour les maths, à inventer un jeu d’additions !
Immobilisé pendant 8 mois après un accident de moto, c’est muni d’un simple crayon et d’une feuille de papier qu’il met au point une grille remplie de chiffres : le Kamaji .Il finalise ensuite son jeu avec le concours d’un informaticien qui crée un logiciel, puis il l’envoie dans la foulée à plusieurs maisons d’édition.
Quel est le but du jeu ?
Basé sur le principe des mots mêlés, Kamaji est un jeu créé basé sur les additions dont les chiffres sont mélangés dans la grille. Il faut barrer toutes les séries de chiffres d'un trait horizontal, vertical ou diagonal, toujours en ligne droite, de façon à ce que la somme des chiffres barrés soit égale au chiffre de la case colorée. Le jeu est terminé lorsque toutes les cases sont barrées au moins une fois : il n'y a qu'une seule solution possible.

Pour jouer en ligne : Kamaji Factory.

Slither Link, aussi connu sous le nom de Fences (clôtures), Loop the Loop (boucler la boucle) et Dotty Dilemma (dilleme des points) est un jeu de logique publié pour la première fois dans Puzzle Communication Nikoli n°26 (juin 1989). Dans la première version, toutes les cases comprenaient un nombre.
Le Slither Link se joue sur une matrice rectangulaire formée de points. Entre ces points, on retrouve parfois des nombres (entre 0 et 3). L'objectif est de relier horizontalement ou verticalement les points adjacents afin de créer une ligne unique continue. De plus, les nombres indiquent le nombre de côtés de la ligne qui doivent être adjacents au nombre. Par exemple, si une case contient le nombre 3, trois de ses côtés doivent être touchés par le trait continu. On indique souvent d'un X une ligne impossible à créer.

Pour jouer en ligne : Slither Link

Gisèle est allée faire ses courses. Elle a dépensé la totalité de ses sous dans cinq magasins. Dans chaque magasin, elle a dépensé la moitié de l'argent qu'il lui restait, plus 1 Euro.
Combien d'argent avait-elle en partant faire ses courses ?

Pour tout x dans R, x² >= 0.
On a aussi : (x²)^0.5 >= 0^0.5.
Donc, x^{(2 x 0.5)} >= 0.
Donc, x¹ >= 0.

Ainsi, pour tout x dans R, x >= 0 !

Où est le problème ?

Un ancien élève, Cyril Castella, a complètement refait son site sur le Rubik's cube et d'autres case-tête, qu'il avait commencé en 1998, alors qu'il était encore au Lycée. Il s'appelle Rubik's cube: une méthode simple et pour tous et vaut le détour. J'ai été particulièrement intéressé par l'algorithme génétique qu'il a développé pour résoudre le cube.

Son altesse le Sultan doit remplacer son Vizir. Trois candidats se présentent. Il veut que son nouveau vizir soit un homme intelligent et trouve une astuce pour le dénicher. Il les fait aligner les uns derirère les autres. Ainsi, le troisième voit la tête des deux devant lui, le deuxième voit celle du premier et le premier ne voit rien. Il montre aux trois candidats cinq chapeaux: 3 noirs et 2 blancs, puis il leur met un bandeau sur les yeux. Il prend trois chapeaux et en met un sur chaque tête. Il enlève les bandeaux et leur demande quelle est la couleur de leur chapeau.

Quelques secondes de silence passent puis le dernier de la file répond: "Je ne sais pas..."
Le second répond: "Moi non plus..."
Alors, le premier de la file dit: "Je sais! La couleur de mon chapeau est...".
Comment a-t-il fait et quelle est la couleur de son chapeau?

Le dernier jour d’un mois de la Première Guerre mondiale, des soldats découvrirent, en creusant une tranchée, la tombe d’un soldat français mort jadis au cours d’une guerre étrangère. Il y avait à ses côtés une pertuisane (sorte de hallebarde).
En multipliant le nombre des jours du mois de la découverte par la longueur, en pieds, de la pertuisane, par le nombre d’années écoulées depuis le décès du soldat jusqu’à la découverte de la tombe, et enfin par l’âge du capitaine du pertuisanier, on obtient un produit de 1 886 276.

1. À quel date et en quelle année fut découverte la tombe ?
2. Quelle était la longueur de la pertuisane ?
3. Au cours de quelle bataille le pertuisanier fut-il tué et en quelle année eut-elle lieu ?
4. Le nom et l’âge du capitaine du pertuisanier ?

Deux trains sont séparés de 200 km et s'approchent l'un de l'autre. L'un roule à 60 km/h et l'autre à 40 km/h. Une mouche vole d'un train à l'autre à la vitesse de 75 km/h, en faisant des aller-retour réguliers entre les deux jusqu'à ce qu'ils se croisent. Quelle est la distance totale parcourue par la mouche ?

On dit que John von Neumann (mathématicien ayant apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en informatique, en sciences économiques ainsi que dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques et de la physique) répondit à cette énigme en 10 secondes, en faisant la somme des termes d'une série... Ce n'est pas la méthode la plus simple !

Deux échelles sont posées dans un couloir de largeur a (voir dessin ci-dessous). L'une fait 2 mètres de long, l'autre 3 mètres. Le point où se croisent les deux échelles se trouve à 1 mètre du sol. Quelle est la largeur du couloir ?

Une locomotive doit échanger les positions des wagons A et B, puis revenir à sa position initiale. Elle peut aller en avant et en arrière, mais elle ne peut passer qu'une seule fois dans le tunnel.
Y a-t-il une solution ?

Nikoli est un éditeur japonais spécialisé dans les jeux et les casse-tête. Son magazine le plus connu est le Puzzle Communication Nikoli. Nikoli devint populaire grâce au Sudoku. Les jeux publiés par Nikoli sont internationaux, car indépendants des langues et des cultures. Il faut dire que les casse-tête japonais sont purement logiques et souvent numériques.

Sur le site officiel, on peut découvrir et jouer à quelques casse-tête qui feront peut-être beintôt leur apparition chez nous, si ce n'est déjà fait : Slitherlink, Nurikabe, Heyawake, Akari et les déjà connus Hitori, Kakuro et Sudoku.

Soit un entrepôt avec les dimensions données par le dessin ci-dessous. Une araignée se trouve au milieu d'une des parois, à 1 mètre du sol. Une mouche est posée sur la paroi opposée, au milieu, à 1 mètre du plafond. La vitesse de déplacement de l'araignée est de 0.5 km/h. D'après les dimensions de l'entrepôt, la mouche se dit qu'elle peut dormir tranquille pendant 5 minutes avant que l'araignée n'arrive sur elle. Mais la mouche se trompe...

Comme travail de maturité, un de mes élèves, Dylan Gassner (par ailleurs récent champion romand de Sudoku), a rédigé un excellent rapport sur une méthode de résolution des Hitori. Et quand vous aurez lu la méthode, vous pourrez la tester dans HitoriConquest.com.

Lire le rapport Hitori : comment résoudre toutes ses grilles

The Puzzle University Puzzler génère plusieurs casse-tête logiques, dont les fameux Sudoku et Hitori (de différents niveaux), mais aussi des cryptogrammes.

Voici un petit jeu assez ancien, un casse-tête tout bête. Le genre de problème qui prend 2 minutes ou des heures...
Le principe est simple: vous lancez les dés, et vous devez alors deviner, en fonction du tirage, le nombre de pétales autour d'une rose imaginaire.

L'image ci-contre est de Sandro Del Prete. Comme toujours avec Del Prete, ce n'est pas une simple rose. Regardez bien!

L'ASRO, l'Association suisse de Recherche Opérationnelle, organise encore cette année un concours d'optimisation pour les lycéens suisses. Cette année, vu le problème posé, il me semble qu'il sera indispensable de programmer pour gagner, contrairement à l'année passée. Délai de participation : 20 avril 2007, mais, en cas d'égalité, c'est la date d'envoi qui départagera les vainqueurs.

L'énigme se passe dans un monastère très strict ou vivent 40 moines. Ces moines ont pour seule vocation la prière et ils ne doivent absolument pas communiquer entre eux, ni par geste, encore moins par la parole. Ils ne peuvent même pas se regarder dans un miroir. Chaque jour, le père supérieur, qui est le seul à pouvoir parler, réunit les moines dans la salle de réunion pour les informer des nouvelles du jour.
Une maladie très dangereuse et peut-être contagieuse vient d'arriver chez les moines. Elle se caractérise par la présence de petites plaques rouges sur le visage, bien visibles mais non douloureuses. Elle ne provoque pas d'autres symptômes au début. Chaque moine ne peut donc pas savoir s'il est malade.
Le père supérieur décide de prévenir les moines. Lors de la réunion quotidienne, ils les informe donc que cette maladie est dangereuse, et il demande qu'à la fin de chaque réunion, quand il le demandera, tous ceux qui se savent malades préparent leur valises et partent du monastère.
A la fin de cette réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". Mais personne ne se lève.
Le lendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". Mais personne ne se lève.
Le surlendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". A ce moment-là, tous les moines qui sont malades se lèvent et s'en vont. Combien sont-ils?