Le blog-notes mathématique du coyote

Un ancien élève, Cyril Castella, a complètement refait son site sur le Rubik's cube et d'autres case-tête, qu'il avait commencé en 1998, alors qu'il était encore au Lycée. Il s'appelle Rubik's cube: une méthode simple et pour tous et vaut le détour. J'ai été particulièrement intéressé par l'algorithme génétique qu'il a développé pour résoudre le cube.

Son altesse le Sultan doit remplacer son Vizir. Trois candidats se présentent. Il veut que son nouveau vizir soit un homme intelligent et trouve une astuce pour le dénicher. Il les fait aligner les uns derirère les autres. Ainsi, le troisième voit la tête des deux devant lui, le deuxième voit celle du premier et le premier ne voit rien. Il montre aux trois candidats cinq chapeaux: 3 noirs et 2 blancs, puis il leur met un bandeau sur les yeux. Il prend trois chapeaux et en met un sur chaque tête. Il enlève les bandeaux et leur demande quelle est la couleur de leur chapeau.

Quelques secondes de silence passent puis le dernier de la file répond: "Je ne sais pas..."
Le second répond: "Moi non plus..."
Alors, le premier de la file dit: "Je sais! La couleur de mon chapeau est...".
Comment a-t-il fait et quelle est la couleur de son chapeau?

Le dernier jour d’un mois de la Première Guerre mondiale, des soldats découvrirent, en creusant une tranchée, la tombe d’un soldat français mort jadis au cours d’une guerre étrangère. Il y avait à ses côtés une pertuisane (sorte de hallebarde).
En multipliant le nombre des jours du mois de la découverte par la longueur, en pieds, de la pertuisane, par le nombre d’années écoulées depuis le décès du soldat jusqu’à la découverte de la tombe, et enfin par l’âge du capitaine du pertuisanier, on obtient un produit de 1 886 276.

1. À quel date et en quelle année fut découverte la tombe ?
2. Quelle était la longueur de la pertuisane ?
3. Au cours de quelle bataille le pertuisanier fut-il tué et en quelle année eut-elle lieu ?
4. Le nom et l’âge du capitaine du pertuisanier ?

Deux trains sont séparés de 200 km et s'approchent l'un de l'autre. L'un roule à 60 km/h et l'autre à 40 km/h. Une mouche vole d'un train à l'autre à la vitesse de 75 km/h, en faisant des aller-retour réguliers entre les deux jusqu'à ce qu'ils se croisent. Quelle est la distance totale parcourue par la mouche ?

On dit que John von Neumann (mathématicien ayant apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en informatique, en sciences économiques ainsi que dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques et de la physique) répondit à cette énigme en 10 secondes, en faisant la somme des termes d'une série... Ce n'est pas la méthode la plus simple !

Deux échelles sont posées dans un couloir de largeur a (voir dessin ci-dessous). L'une fait 2 mètres de long, l'autre 3 mètres. Le point où se croisent les deux échelles se trouve à 1 mètre du sol. Quelle est la largeur du couloir ?

Une locomotive doit échanger les positions des wagons A et B, puis revenir à sa position initiale. Elle peut aller en avant et en arrière, mais elle ne peut passer qu'une seule fois dans le tunnel.
Y a-t-il une solution ?

Nikoli est un éditeur japonais spécialisé dans les jeux et les casse-tête. Son magazine le plus connu est le Puzzle Communication Nikoli. Nikoli devint populaire grâce au Sudoku. Les jeux publiés par Nikoli sont internationaux, car indépendants des langues et des cultures. Il faut dire que les casse-tête japonais sont purement logiques et souvent numériques.

Sur le site officiel, on peut découvrir et jouer à quelques casse-tête qui feront peut-être beintôt leur apparition chez nous, si ce n'est déjà fait : Slitherlink, Nurikabe, Heyawake, Akari et les déjà connus Hitori, Kakuro et Sudoku.

Soit un entrepôt avec les dimensions données par le dessin ci-dessous. Une araignée se trouve au milieu d'une des parois, à 1 mètre du sol. Une mouche est posée sur la paroi opposée, au milieu, à 1 mètre du plafond. La vitesse de déplacement de l'araignée est de 0.5 km/h. D'après les dimensions de l'entrepôt, la mouche se dit qu'elle peut dormir tranquille pendant 5 minutes avant que l'araignée n'arrive sur elle. Mais la mouche se trompe...

Comme travail de maturité, un de mes élèves, Dylan Gassner (par ailleurs récent champion romand de Sudoku), a rédigé un excellent rapport sur une méthode de résolution des Hitori. Et quand vous aurez lu la méthode, vous pourrez la tester dans HitoriConquest.com.

Lire le rapport Hitori : comment résoudre toutes ses grilles

The Puzzle University Puzzler génère plusieurs casse-tête logiques, dont les fameux Sudoku et Hitori (de différents niveaux), mais aussi des cryptogrammes.

Voici un petit jeu assez ancien, un casse-tête tout bête. Le genre de problème qui prend 2 minutes ou des heures...
Le principe est simple: vous lancez les dés, et vous devez alors deviner, en fonction du tirage, le nombre de pétales autour d'une rose imaginaire.

L'image ci-contre est de Sandro Del Prete. Comme toujours avec Del Prete, ce n'est pas une simple rose. Regardez bien!

L'ASRO, l'Association suisse de Recherche Opérationnelle, organise encore cette année un concours d'optimisation pour les lycéens suisses. Cette année, vu le problème posé, il me semble qu'il sera indispensable de programmer pour gagner, contrairement à l'année passée. Délai de participation : 20 avril 2007, mais, en cas d'égalité, c'est la date d'envoi qui départagera les vainqueurs.

L'énigme se passe dans un monastère très strict ou vivent 40 moines. Ces moines ont pour seule vocation la prière et ils ne doivent absolument pas communiquer entre eux, ni par geste, encore moins par la parole. Ils ne peuvent même pas se regarder dans un miroir. Chaque jour, le père supérieur, qui est le seul à pouvoir parler, réunit les moines dans la salle de réunion pour les informer des nouvelles du jour.
Une maladie très dangereuse et peut-être contagieuse vient d'arriver chez les moines. Elle se caractérise par la présence de petites plaques rouges sur le visage, bien visibles mais non douloureuses. Elle ne provoque pas d'autres symptômes au début. Chaque moine ne peut donc pas savoir s'il est malade.
Le père supérieur décide de prévenir les moines. Lors de la réunion quotidienne, ils les informe donc que cette maladie est dangereuse, et il demande qu'à la fin de chaque réunion, quand il le demandera, tous ceux qui se savent malades préparent leur valises et partent du monastère.
A la fin de cette réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". Mais personne ne se lève.
Le lendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". Mais personne ne se lève.
Le surlendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". A ce moment-là, tous les moines qui sont malades se lèvent et s'en vont. Combien sont-ils?

Trois gars vont dans un hôtel. Le réceptionniste annonce la chambre à 30 €. Chacun donne 10 €.
Un peu plus tard, le réceptionniste réalise que la chambre est en fait à 25 €. Il appelle le groom et l'envoie avec les 5 € chez les gars qui ont loué la chambre.
En route, le groom se demande comment il va partager les 5 € en trois. Il décide de donner à chaque gars 1 € et garde 2 € pour lui.
Donc, chacun des trois gars a payé 9 € pour la chambre ; cela fait donc un total de 27 €.
Ajoutons à ces 27 € les 2 € gardés par le groom ; cela fait 29 €.
Où est passé l'euro manquant ?

Une mère est 21 ans plus âgée que son fils.
Dans 6 ans, elle aura l'âge de son fils multiplié par 5.
Où est le père ?

Vous ne trouvez pas ? Alors allez voir la réponse.

Un cavalier se promène sur un échiquier en passant par toutes les cases une seule fois et en finissant son parcours sur la case de départ. Combien y a-t-il de tels parcours ? Je suis tombé à la renverse en voyant l'estimation de Cancela et Mordecki : 1,22 x 10¹⁵ !

Lire l'article : Counting Knight’s Tours through the Randomized Warnsdorff Rule, Hector Cancela and Ernesto Mordecki, September 4, 2006
A voir : Knight's Tour Notes, le cavalier fou

Un cryptarithme est un casse-tête purement arithmétique, où il s'agit de retrouver une opération mathématique qui a subi une transformation littérale selon un code bien déterminé. Les cryptarithmes les plus courants sont dits de substitution bijective. Voici les règles que ces cryptarithmes doivent suivre:

• un chiffre donné sera toujours remplacé par une même lettre;
• une lettre donnée représente toujours le même chiffre;
• aucun nombre ne peut commencer par un zéro;
• les accents sont sans incidence (sauf précision de l'auteur);
• idéalement, il n'y a qu'une solution.

Évidemment, les plus beaux cryptarithmes sont ceux dont les lettres forment des mots du dictionnaire. Si en plus ces mots ont un rapport entre eux, cela confine à l'art. Par exemple :

       CINQ
     + CINQ
     +VINGT
     ------
     TRENTE

Pour en construire, il existe un site génial: Cryptarithmetic Puzzle Solver. Essayez!

A voir aussi :

• Cryptarithmes (Nicolas Graner)
• Cryptarithms (cut the knot)
• Cryptarithmes (Le coyote)

On dispose d'une grille carrée constituée de 49 cases blanches (7x7). On veut colorer certaines cases en noir de sorte que, en reliant 4 cases noires, on n'obtienne jamais un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bords de la grille. Combien peut-on colorer de cases au maximum ?
J'ai écrit un petit programme basé sur le principe du recuit simulé qui m'a trouvé plusieurs solutions avec 21 cases noires.

Ce casse-tête est constitué de sept pièces, chacune d'entre elles étant un assemblage figé de quatre petits cubes. Le premier objectif du casse-tête est de reconstruire un cube en assemblant les sept pièces de manière adéquate. Il existe 240 possibilités de le faire. La petite notice propose également de nombreuses autres figures à reconstituer: un sphinx, un pont, un immeuble, etc.

A lire:

• JesWeb : Soma Cube
• The Soma Cube

Le site mathschallenge.net propose des énigmes mathématiques chaque mois, avec les solutions. On peut aussi consulter les archives où les problèmes sont classés par catégories et par niveaux.