Le blog-notes mathématique du coyote

Voici un petit jeu assez ancien, un casse-tête tout bête. Le genre de problème qui prend 2 minutes ou des heures...
Le principe est simple: vous lancez les dés, et vous devez alors deviner, en fonction du tirage, le nombre de pétales autour d'une rose imaginaire.

L'image ci-contre est de Sandro Del Prete. Comme toujours avec Del Prete, ce n'est pas une simple rose. Regardez bien!

L'ASRO, l'Association suisse de Recherche Opérationnelle, organise encore cette année un concours d'optimisation pour les lycéens suisses. Cette année, vu le problème posé, il me semble qu'il sera indispensable de programmer pour gagner, contrairement à l'année passée. Délai de participation : 20 avril 2007, mais, en cas d'égalité, c'est la date d'envoi qui départagera les vainqueurs.

L'énigme se passe dans un monastère très strict ou vivent 40 moines. Ces moines ont pour seule vocation la prière et ils ne doivent absolument pas communiquer entre eux, ni par geste, encore moins par la parole. Ils ne peuvent même pas se regarder dans un miroir. Chaque jour, le père supérieur, qui est le seul à pouvoir parler, réunit les moines dans la salle de réunion pour les informer des nouvelles du jour.
Une maladie très dangereuse et peut-être contagieuse vient d'arriver chez les moines. Elle se caractérise par la présence de petites plaques rouges sur le visage, bien visibles mais non douloureuses. Elle ne provoque pas d'autres symptômes au début. Chaque moine ne peut donc pas savoir s'il est malade.
Le père supérieur décide de prévenir les moines. Lors de la réunion quotidienne, ils les informe donc que cette maladie est dangereuse, et il demande qu'à la fin de chaque réunion, quand il le demandera, tous ceux qui se savent malades préparent leur valises et partent du monastère.
A la fin de cette réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". Mais personne ne se lève.
Le lendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". Mais personne ne se lève.
Le surlendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande: "Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s'en aillent". A ce moment-là, tous les moines qui sont malades se lèvent et s'en vont. Combien sont-ils?

Trois gars vont dans un hôtel. Le réceptionniste annonce la chambre à 30 €. Chacun donne 10 €.
Un peu plus tard, le réceptionniste réalise que la chambre est en fait à 25 €. Il appelle le groom et l'envoie avec les 5 € chez les gars qui ont loué la chambre.
En route, le groom se demande comment il va partager les 5 € en trois. Il décide de donner à chaque gars 1 € et garde 2 € pour lui.
Donc, chacun des trois gars a payé 9 € pour la chambre ; cela fait donc un total de 27 €.
Ajoutons à ces 27 € les 2 € gardés par le groom ; cela fait 29 €.
Où est passé l'euro manquant ?

Une mère est 21 ans plus âgée que son fils.
Dans 6 ans, elle aura l'âge de son fils multiplié par 5.
Où est le père ?

Vous ne trouvez pas ? Alors allez voir la réponse.

Un cavalier se promène sur un échiquier en passant par toutes les cases une seule fois et en finissant son parcours sur la case de départ. Combien y a-t-il de tels parcours ? Je suis tombé à la renverse en voyant l'estimation de Cancela et Mordecki : 1,22 x 10¹⁵ !

Lire l'article : Counting Knight’s Tours through the Randomized Warnsdorff Rule, Hector Cancela and Ernesto Mordecki, September 4, 2006
A voir : Knight's Tour Notes, le cavalier fou

Un cryptarithme est un casse-tête purement arithmétique, où il s'agit de retrouver une opération mathématique qui a subi une transformation littérale selon un code bien déterminé. Les cryptarithmes les plus courants sont dits de substitution bijective. Voici les règles que ces cryptarithmes doivent suivre:

• un chiffre donné sera toujours remplacé par une même lettre;
• une lettre donnée représente toujours le même chiffre;
• aucun nombre ne peut commencer par un zéro;
• les accents sont sans incidence (sauf précision de l'auteur);
• idéalement, il n'y a qu'une solution.

Évidemment, les plus beaux cryptarithmes sont ceux dont les lettres forment des mots du dictionnaire. Si en plus ces mots ont un rapport entre eux, cela confine à l'art. Par exemple :

       CINQ
     + CINQ
     +VINGT
     ------
     TRENTE

Pour en construire, il existe un site génial: Cryptarithmetic Puzzle Solver. Essayez!

A voir aussi :

• Cryptarithmes (Nicolas Graner)
• Cryptarithms (cut the knot)
• Cryptarithmes (Le coyote)

On dispose d'une grille carrée constituée de 49 cases blanches (7x7). On veut colorer certaines cases en noir de sorte que, en reliant 4 cases noires, on n'obtienne jamais un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bords de la grille. Combien peut-on colorer de cases au maximum ?
J'ai écrit un petit programme basé sur le principe du recuit simulé qui m'a trouvé plusieurs solutions avec 21 cases noires.

Ce casse-tête est constitué de sept pièces, chacune d'entre elles étant un assemblage figé de quatre petits cubes. Le premier objectif du casse-tête est de reconstruire un cube en assemblant les sept pièces de manière adéquate. Il existe 240 possibilités de le faire. La petite notice propose également de nombreuses autres figures à reconstituer: un sphinx, un pont, un immeuble, etc.

A lire:

• JesWeb : Soma Cube
• The Soma Cube

Le site mathschallenge.net propose des énigmes mathématiques chaque mois, avec les solutions. On peut aussi consulter les archives où les problèmes sont classés par catégories et par niveaux.

La récréation est un moment privilégié. C'est un moment où l'on se repose, où l'on se change les idées. Souvent on désire la prolonger. Si de plus on est passionné par l'informatique, pourquoi ne pas utiliser les récréations pour en faire ? C'est ce que propose le site Récréations informatiques & mathématiques.
Régulièrement, un poblème est posé. Les solutions fournies sont données en MatLab et/ou en java.

Chaque mois, une nouvelle énigme (en anglais) sur le site Puzzle of the month.

Voici un très joli problème que Pierre Berloquin propose dans son livre Le jardin du Sphinx:

Le désert est devant vous. Votre but est d'aller planter un fanion à 4 journées de marche à l'intérieur de ce désert. Vous n'avez aucun matériel particulier et ne pouvez compter que sur vos forces. Il est possible de vous adjoindre un ou plusieurs compagnons.
Le transport du fanion et de la nourriture n'est pas un problème. La seule contrainte est l'eau: chaque personne ne peut porter que 5 jours de provision d'eau. Ainsi, en partant seul, l'eau que vous pouvez emmener vous permettrait de marcher 2 jours et demi vers votre objectif et revenir à votre point de départ.
Dans ces conditions, comment réaliserez-vous ce projet en ne consommant pas plus de 20 journées d'eau, à 4 personnes ?

Mais la question la plus intéressante est celle-ci: "Quelle est la quantité minimale d'eau suffisante (avec cette fois-ci un nombre de compagnons à déterminer) ?"

Je vous laisse réfléchir là-dessus pendant mes 15 jours de vacances...

Hitori (littéralement "laissez-moi seul") est un jeu logique publié pour la première fois dans "Puzzle Communication Nikoli" #29, en mars 1990.
Au début du jeu, chaque cellule d'une grille contient un nombre. Le but est de peindre certaines cellules de sorte qu'il n'y ait pas plusieurs fois le même nombre sur une même ligne ou une même colonne.

Les connexions orthogonales sont aussi importantes: à la fin, les cellules peintes ne peuvent se toucher par les côtés et toutes les cellules non peintes doivent toutes être connectées par leurs côtés pour ne former qu'une seule pièce (on doit pouvoir parcourir toutes les cellules non peintes en passant de l'une à l'autre par un côté).


A voir: Wikipedia : Hitori (en anglais)
Pour jouer: Let's play Hitori, the Hirori Solver (en anglais)

Jeffrey Shep propose des dizaines d'énigmes sur son site. De quoi passer le temps pendant les vacances, au cas où vous ne sauriez pas quoi faire. Ce n'est pas du tout mon cas. J'espère au contraire avoir assez de temps pour faire tout ce que j'ai prévu!
Bravo aux nouveaux bacheliers et diplômés du Jura!

Enigmes mathématiques diaboliques est un petit livre qui regroupe 65 énigmes mathématiques classiques, avec leur solution. On retrouve ces énigmes sur le site de l'auteur: www.bric-a-brac.org/enigmes/.Personnellement, j'en connaissais une bonne moitié, mais il y en a une ou deux qui sont vraiment pas mal. Par exemple, presque tout le monde connait la fameuse suite :

1
11
21
1211
111221
312211
...

Mais sauriez-vous démontrer que le chiffre 4 ne peut jamais apparaître dans cette suite ?

Voici une première énigme tirée du Jardin du Sphinx, de Berloquin :

La tradition attribue à Newton ce curieux problème, dont la solution n'exige aucun calcul différentiel.

75 boeufs ont besoin de 12 jours pour brouter l'herbe d'un pré de 60 ares, tandis que 81 boeufs ont besoin de 15 jours pour brouter l'herbe d'un pré de 72 ares. Combien faut-il de boeufs pour brouter en 18 jours un pré de 96 ares?

(On suppose que l'herbe croît uniformément et qu'elle est dans les trois prés, à la même hauteur au début du problème.)

Encore un jeu logique : le jeu du gratte-ciel. Chaque case contient un immeuble de 10, 20, 30 ou 40 étages (on peut ajouter des immeubles plus hauts sur des grilles plus grandes). Les immeubles d'une même rangée (ligne ou colonne) ont tous des tailles différentes. Les informations données sur les bords indiquent le nombre d'immeubles visibles sur la rangée correspondante par un observateur situé à cet endroit. Par exemple, si une ligne contient la dispostion 20-40-30-10, deux immeubles sont visibles depuis la gauche (le 20 et le 40), et trois immeubles sont visibles à partir de la droite (le 10, le 30 et le 40). Le but du jeu est de remplir la grille.
Voici un exemple de problème :

		3
3
2
				1

La réponse se trouve dans les commentaires de ce billet.
Un premier livre sur ce jeu logique est sorti. Le premier d'une longue série ?
Un de mes élèves, Quentin, a choisi ce jeu comme thème de travail de maturité : nombre de grilles possibles, génération et résolution de grilles. On verra le résultat l'année prochaine.

J'ai retrouvé dernièrement dans mon grenier un casse-tête des années 80 : le tonneau Nintendo. Je n'ai encore jamais réussi à le résoudre, mais j'ai bon espoir avec le site Jaap's Puzzle Page. Ce site contient des dizaines de casse-tête, avec la façon de les résoudre.
Dans mes recherches sur le web, j'ai aussi trouvé un site similaire en français: les casse-tête de Chantal.

Le site Puzzle World contient des informations sur les plus beaux casse-tête mécaniques du monde. La plupart des casse-tête présentés ne sont pas disponibles en magasins, mais ont été créés et construits par de petits artisans, et souvent fabriqués en bois. Cependant, afin de fournir des exemples représentatifs des différentes catégories, des casse-tête produits de manière industrielle sont aussi présentés.