Le blog-notes mathématique du coyote

Une bonne idée, que je n'exploite pas assez, est d'enseigner les maths en partant de leur histoire. J'avais préparé il y a quelques années un document sur la tablette Plimpton 322 que je viens de dépoussiérer.

Mon document pour le travail en classe.

A lire:

• Faire des Mathématiques à partir de leur Histoire, Chapitre I
• The Babylonian tablet Plimpton 322
• Plimpton 322
• Le calcul sexagésimal en Mésopotamie
• Babylonian Culture and Tablets

Pour la deuxième fois de ma carrière, j'ai une classe scientifique. La première m'avait laissé un excellent souvenir, et je sens que c'est bien parti avec celle-ci. J'ai introduit avec cette classe des joutes mathématiques le vendredi en dernière heure, quand tout le monde est fatigué et pense déjà au week-end. Quatre groupes de 3-4 élèves s'affrontent. Il s'agit simplement de résoudre une énigme mathématique, qui sort du cadre scolaire. C'est évidemment leur heure de math préférée.
Ma principale source est pour l'instant Le jardin du Sphinx de Pierre Berloquin. Je suis toujours surpris de la vitesse à laquelle les élèves trouvent la solution. D'ailleurs, je pense que c'est la principale différence entre les élèves scientifiques et les autres: ils ont tout de suite des idées pour empoigner un problème. Par contre, du point de vue technique, ils ne sont guère meilleurs que les autres, par exemple pour simplifier des fractions...
Voici l'énigme qui a pour l'instant résisté le plus longtemps (mais qui a finalement été résolue):

Le curé et son bedeau (énigme no 30 du Jardin du Sphinx)

Un curé dit à son bedeau: "J'ai vu aujourd'hui trois paroisiennes. Le produit de leurs âges est 2450. Peux-tu me dire leurs âges respectifs?"
Le bedeau: "Non."
Le curé: "Si je précise que la somme de leurs âges est le double du tien, peux-tu répondre?"
Le bedeau: "Pas encore."
Le curé: "J'ajoute donc que la plus âgée est plus âgée que moi."
Le bedeau: "Maintenant, j'en sais assez."
Si l'on suppose que le curé et son bedeau sont de fins arithméticiens, quels sont les âges des trois paroisiennes, du bedeau et du curé?

Le début d’année scolaire est un moment propice au renouveau et aux résolutions. Voici donc un schéma que j'ai trouvé sur l'excellent blog Relief :

Comment dessiner un pentagone à la règle et au compas :

Connaissez-vous les mathcasts ? Ce sont des textes et des schémas animés avec voix (screencast en anglais), ayant pour objet les mathématiques. Une sorte de mini-cours de math sur le web, en fait. Cela semble se développer en anglais, mais je n'ai pas encore vu d'exemple en français.

A voir : www.mathcasts.org
A lire : Mathcasts : un wiki de screencasts mathématiques (Guitef)

Comme chaque année, j'ai demandé à mes élèves de noter une vingtaine de prix lus dans des grands magasins, afin d'illustrer la loi de Benford. Un jour de 1881, un astronome américain, Simon Newcomb, s'aperçut que les premières pages d'une table de logarithmes étaient plus usées que les autres. Se pouvait-il que les données recherchées dans cette table commençaient plus souvent par le chiffre "1" ? Il tenta de résumer les résultats de son observation dans une formule simple pour mesurer la fréquence d'apparition du premier chiffre C, celui situé le plus à gauche, dans un ensemble de données :

p("1er chiffre significatif est d") = log₁₀(1+1/d), avec d=1, 2, ..., 9

A l'époque, cette formule ne convainquit personne. Cinquante ans plus tard, vers 1938, un physicien américain, Frank Benford, redécouvrit les mêmes fréquences que celles résultant de l'application de la formule de Newcomb, en répertoriant plus de 20 000 données sélectionnées dans des domaines aussi divers que les longueurs de plus de 300 fleuves, les recensements démographiques de plus de 3 000 régions, les masses atomiques des éléments chimiques, les cours de bourse, les constantes de la physique, les couvertures de journaux, etc. Il constata, donc, que le premier chiffre était un "1" près d'une fois sur trois ! Il en fit une loi qui porte aujourd'hui son nom : la loi de Benford.
Ce n'est qu'en 1996 que Terence Hill démontra mathématiquement la loi de Benford.

Attention ! Cette loi ne s'applique qu'aux résultats de mesure. Inutile de l'utiliser pour avaoir plus de chance de gagner à la loterie !

Le graphique ci-dessous compare la loi de Benford (en bleu) avec les fréquences observées...

1. de prix récoltés au hasard par mes élèves (3369 nombres)
2. des résultats cantonaux d'une votation fédérale parus dans le Quotidien Jurassien du 14 juin 1999, page 4 (828 nombres)
3. des superficies des pays souverains et territoires dépendants en 1974 (204 nombres).

Dave Richeson propose sur son site un exercice intéressant pour les lycéens :

1. Estimer l'aire des USA.
2. Localiser le centre géographique des USA.
3. Localiser le point médian géographique (ce point divise le pays en quatre régions d'aire égale).
4. Localiser le centre de la population des USA.
5. Localiser le point médian de la population.
6. Estimer le périmètre de USA

Pour cela il utilise Maple. Mais comme il a le bon goût de mettre à disposition son programme, on devrait pouvoir l'adapter à un autre langage de programmation et à un autre pays.

A lire : The center of the United States and other applications of calculus to geography

Depuis quelque temps, j'ai mis à disposition de mes élèves des quiz en ligne avec lesquels ils pourraient s'auto-évaluer avant une épreuve (j'utilise le conditionnel car je ne suis pas sûr que les élèves profitent vraiment de cette possibilité: pour des questions de temps sans doute, ils préfèrent aller directement au corrigé sans vraiment essayer de répondre). La structure est terminée, il faut encore maintenant remplir la base de données de questions. Je vise à moyen terme un stock de 200 questions.
L'idée est que les élèves puissent voir où ils en sont. Les réponses sont donc contrôlées et notées. Afin qu'ils puissent s'améliorer, une réponse courte mais complète est fournie, ainsi que l'endroit du cours où ils peuvent retrouver la théorie.
Pour la confection de ces QCM, j'ai dû apprendre les rudiments de PHP et de Mysql. Ce n'est pas très difficile, mais cela prend quand même du temps. Je me suis inspiré de my_quiz_php, que j'ai adapté à mes besoins. C'est toujours plus facile de partir de quelque chose qui existe, surtout quand on débute avec un nouveau langage de programmation.
Il existe aussi d'autres solutions si on n'a pas envie de se mettre à la programmation: AC_EXAMENS est une plate-forme de tests informatisés, disponible pour un prix modique. Je n'ai pas testé, mais ça a l'air pas mal.
Une solution plus globale est la plate-forme Claroline, qui permet de gérer des classes virtuelles. Parmi les nombreuses fonctionnalités (agenda, annonces, forum, ...), il y a possibilité de faire des exercices en ligne. Je suis en train de tester cette plate-forme et elle me semble très bien. Je pense l'utiliser intensivement l'année prochaine avec ma classe d'option math-physique. Je ferai part de mes conclusions dans ce blog.

Pour intégrer un peu de biologie dans les cours de math, on pourrait peut-être parler des courbes de croissance chez les oiseaux.

Les J.O. de Turin sont terminés. Tout au long des jeux, on nous a présenté le tableau des médailles. Voici le palmarès final:

Rang	Pays	Or	Argent	Bronze	Total
1	Allemagne	11	12	6	29
2	États-Unis	9	9	7	25
3	Autriche	9	7	7	23
4	Féd. de Russie	8	6	8	22
5	Canada	7	10	7	24
6	Suède	7	2	5	14
7	Corée	6	3	2	11
8	Suisse	5	4	5	14
9	Italie	5	0	6	11
10	France	3	2	4	9
10	Pays-Bas	3	2	4	9
12	Estonie	3	0	0	3
13	Norvège	2	8	9	19
14	Chine	2	4	5	11
15	Rép.tchèque	1	2	1	4
16	Croatie	1	2	0	3
17	Australie	1	0	1	2
18	Japon	1	0	0	1
19	Finlande	0	6	3	9
20	Pologne	0	1	1	2
21	Bélarus	0	1	0	1
21	Bulgarie	0	1	0	1
21	Grande-Bretagne	0	1	0	1
21	Slovaquie	0	1	0	1
25	Ukraine	0	0	2	2
26	Lettonie	0	0	1	1

Ce tableau me laisse songeur. Pourquoi ne tenir compte que du nombre de médailles d'or pour établir le classement ? On arrive à des absurdités: regardez la Norvège qui se place derrière l'Estonie, alors qu'elle a 16 médailles de plus! En fait, il y a deux classements: celui-ci et un autre basé sur le nombre de médailles, tout métal confondu. Le deuxième n'est pas parfait non plus, puisque l'Estonie et la Croatie auront le même classement, alors que l'Estonie a 3 médailles d'or et la Croatie une seule.
Il serait intéressant d'imaginer en classe d'autres systèmes de classement et de comparer les palmarès. Des idées? Attribuer des points aux médailles, tenir compte de la population des pays, de leur climat, etc. Il doit bien y avoir un moyen de faire passer la Suisse au premier rang

Source : Torino 2006 - Palmarès

La maîtrise de l'informatique synonyme de meilleurs résultats scolaires
Mario Girard, La Presse, 24 janvier 2006

Les élèves de 15 ans qui utilisent régulièrement un ordinateur obtiennent en général de meilleurs résultats en mathématique et en sciences que ceux qui n'ont qu'une expérience limitée de l'informatique. C'est ce qui ressort d'une étude de l'Organisation de coopération et de développement économique (OCDE), intitulée Are students ready for a technology-rich world?; la première du genre au plan international. Elle corrobore des analyses antérieures sur l'importance des ordinateurs dans les établissements scolaires.
Les élèves qui utilisent un ordinateur depuis plusieurs années ont pour la plupart des résultats supérieurs à la moyenne. «Les résultats sont plus éloquents avec les mathématiques», précise l'une des auteures de l'étude, Claire Shewbridge. En revanche, ceux qui n'ont pas accès à un ordinateur ou n'en utilisent un que depuis peu de temps ont tendance à être en retard par rapport au niveau de leur année d'études.
Près de trois élèves sur quatre dans les pays de l'OCDE utilisent un ordinateur chez eux, plusieurs fois par semaine. Cette moyenne augmente de manière considérable pour des pays comme le Canada, l'Islande et la Suède, où neuf enfants sur 10 disposent d'un ordinateur à la maison.
Malgré cette découverte, il ne faudrait pas, selon les chercheurs, conclure que l'utilisation de l'ordinateur est en train de révolutionner les techniques d'éducation. «Il faut voir l'ordinateur comme un complément, dit Claire Shewbridge. Le Canada est un bon exemple de cela. Les jeunes ont accès facilement à un ordinateur au foyer et pas nécessairement à l'école. Leurs résultats s'en trouvent néanmoins améliorés.»

Différence entre la maison et l'école

En moyenne, 44% des élèves utilisent fréquemment un ordinateur à l'école. Dans certains pays, l'écart entre l'utilisation de l'ordinateur au foyer et à l'école est très marqué. Ainsi, l'Allemagne est le pays de l'OCDE qui enregistre le plus faible taux d'utilisateurs fréquents de l'ordinateur à l'école (23%), mais on y trouve une forte proportion d'utilisateurs fréquents au foyer (82%).
Les élèves qui ont un accès limité à un ordinateur au foyer sont souvent issus d'un milieu défavorisé. Mais dès qu'un usage régulier devient possible, un effet positif est observé.
Des expériences du genre ont été concluantes en Allemagne, en Australie, en Belgique, en Corée du Sud, aux États-Unis et en Suisse.
La moitié des élèves interrogés affirment utiliser leur ordinateur au foyer pour un large éventail de fonctions, et non pas simplement pour jouer.
Les filles ont moins confiance que les garçons dans l'exécution de fonctions sur l'ordinateur. Ceux-ci sont davantage susceptibles de disposer d'un ordinateur au foyer et ont davantage tendance à faire des jeux et de la programmation.

Quand cinq plus cinq font presque cent pour un enfant, il souffre peut-être de dyscalculie. Un trouble de l'apprentissage qu'il est possible d'atténuer.
Au fait, quel nombre est plus grand? Vingt-cinq pourrait-il être proche de cent? Ou plutôt de dix? 6% des écoliers suisses sont perplexes face à ce genre de questions. Les spécialistes désignent par dyscalculie cette grande difficulté à calculer, à se représenter une quantité exprimée par une valeur numérique. Pour les enfants qui souffrent de ce trouble, l'école est synonyme de stress.
La dyscalculie est un trouble partiel de l'apprentissage, que l'on ne détecte souvent qu'en deuxième ou troisième année scolaire, lorsque le calcul va au-delà des dix premiers chiffres, donc des dix doigts.

Causes encore méconnues
Erika Bütler rit aujourd'hui en se rappelant comme elle s'efforçait, pendant les cours, de faire semblant d'être très concentrée et de calculer de tête. Mais à l'époque, les conséquences de ses difficultés étaient moins drôles: on la dirigea vers la primaire supérieure, bien qu'elle fût une bonne élève dans toutes les autres branches. De plus, elle connut échec après échec en mathématiques, malgré tout le zèle qu'elle mettait à faire des exercices. Et elle se demandait sans cesse: comment est-ce possible?
«On ne le sait pas encore avec certitude, hélas», déclare Karin Kucian, 28 ans, neurobiologiste à l'Hôpital pour enfants de Zurich, qui a publié une thèse sur la dyscalculie. «Ce qui est sûr, c'est que les enfants atteints de ce trouble ne sont ni bêtes ni paresseux», affirme-t-elle. Il apparaît plutôt que les zones du cerveau responsables de la compréhension de la symbolique des chiffres soient activées différemment chez eux que chez les enfants qui n'ont pas de difficultés. La spécialiste l'a prouvé en enregistrant l'activité cérébrale pendant le calcul. Et elle déclare: «Aucune différence n'est apparue entre les enfants atteints de dyscalculie et ceux qui ne le sont pas lors d'opérations qu'ils peuvent apprendre par coeur.»
En revanche, l'activité cérébrale était nettement différente lorsque les enfants étaient appelés à évaluer des abstractions, à faire des suppositions ou à établir un pronostic sur la base d'un principe. Tous les enfants ont réussi à calculer à la même vitesse l'addition suivante: trois plus quatre égalent combien? Sept ou neuf? Des différences sont toutefois apparues pendant des exercices de raisonnement leur demandant si la somme de neuf et six est plus proche de treize ou de vingt-six.

Les signes de la dyscalculie

• L'enfant ne peut se libérer de matériel concret.
• Il compte sur ses doigts jusqu'à la deuxième ou la troisième année primaire.
• Il apprend par coeur le résultat d'opérations arithmétiques, mais ne les comprend pas.
• Répéter et s'exercer n'apporte que peu d'amélioration.
• L'écolier éprouve de grandes difficultés à se représenter des formes géométriques, à lire l'heure, à évaluer des distances ou des laps de temps et à reconnaître des suites numériques régulières.
• Les devoirs d'arithmétique à faire à la maison sont souvent un cauchemar et prennent un temps fou.
• Les échecs en mathématiques provoquent une aversion contre l'école en général.

Source: Migros Magazine N° 42, 18 octobre 2005
A voir: Dyscalculie, par Catherine Le Palud
A lire : Dyscalculie, le sens perdu des nombres

"Règle des trois" pour le calcul différentiel et intégral: les sujets doivent être présentés géométriquement, numériquement et algébriquement. On peut aussi mettre en avant l'aspect verbal ou descriptif pour obtenir la "règle des quatre".

Tiré de l'avant-propos du livre de James Stewart "Analyse, concepts et contextes, volume 1, fonctions d'une variable".

L’équipe d’enseignantes et d’enseignants de mathématique du programme Sciences de la nature du cégep de Rimouski (Québec) répond aux questions et de Lyse Favreau. Ils partagent ainsi leur point de vue et leurs façons de faire en matière d’intégration des technologies. Bulletin Clic, Numéro 58, Mai 2005

Quelques liens très utiles pour des activités en classe autour du jeu Sudoku:

Tout d'abord, une introduction au jeu: http://www.mots-croises.ch/Manuels/Sudoku/.
Des grilles de tous les niveaux: http://www.websudoku.com/ ou http://www.menneske.no/sudoku/eng/.
Ensuite, un logiciel gratuit qui aide à résoudre les grilles: the sudoku susser (versions Mac, Windows et Unix).

J'ai d'abord donné des grilles faciles aux élèves, ce qui leur a permis de découvrir des stratégies de résolution simples. Puis, j'ai augmenté la difficulté des grilles, et ils ont dû développer d'autres stratégies. Ils ont utilisé pour s'aider le formidable logiciel Sudoku Susser. Puis je leur ai posé quelques questions difficiles:

1. Combien faut-il donner de chiffres pour que la solution soit unique?
   Réponse sur Minimum Sudoku
   
2. Combien y a-t-il des grilles différentes?
   Réponse sur There are 6670903752021072936960 Sudoku grids ou dans l'article Enumerating possible Sudoku grids de Bertram Felgenhauer et Frazer Jarvis.
   
3. Comment construit-on un problème de sudoku?
   Réponse sur Let's make Sudoku!.
   
4. Comment définit-on la difficulté d'une grille?
   Réponse sur le forum des cruciverbistes.

D'autres liens sont disponibles ici.