Le blog-notes mathématique du coyote

Découvrez sur Futura-Sciences le dossier « Merveilleux nombres premiers ». Vedettes des mathématiques, les nombres premiers, divisibles uniquement par un et par eux-mêmes, continuent d’occuper les mathématiciens de tous horizons. Découvrez les propriétés et l’histoire de ces nombres essentiels en cryptographie dans ce dossier.

Les statistiques mathématiques, leurs pièges, leurs succès
MEDIAPART | 21 JANVIER 2014 | PAR NICOLAS DUTENT

On dit : il y a trois degrés dans le mensonge : le mensonge simple, le fieffé mensonge et la statistique ; pourtant les statistiques sont souvent utiles, alors que faire ?

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La plupart des profs que je connais sont réfractaires à l'utilisation d'un smartphone par les élèves, et rejettent cet outil. Ce n'est pas mon cas. Evidemment, il est hors de question que les élèves l'utilisent en cours sans mon autorisation. Mais pendant la pause, il est intéressant de voir ce que les élèves font avec leur appareil. Beaucoup envoient des messages, d'autres jouent. Et justement, certains jeux ne sont pas si idiots que cela, loin s'en faut.
L'année passée, des élèves m'ont fait découvrir "Ruzzle". C'est un jeu de lettres, très inspiré de son ancêtre "physique" Boggle. Dans une grille 4x4 sont inscrites 16 lettres. Il faut former le plus de mots possible en deux minutes, en passant d'une case à une case voisine. On ne peut utiliser chaque case qu'une seule fois pour un mot.
Je me suis mis à jouer à ce jeu (très addictif) et j'ai constaté que les grilles proposées contenaient en général entre 250 et 350 mots. Mais quelle est la grille où l'on peut trouver le plus de mots ? Je l'ai cherchée en utilisant des techniques d'optimisation (plus grande pente, méthode avec tabous, recuit simulé et algorithme génétique). C'est le sujet de l'article que vous trouverez sur cette page.

La plus belle grille que j'ai trouvée (mais il y a sûrement mieux), avec 1634 mots

La communication entre le monde scientifique et le grand public n’est pas toujours facile.
Pour un chercheur, parvenir à faire parler de son travail dans la presse non-scientifique est très gratifiant, même si une publication dans un quotidien n’a aucune valeur académique en comparaison d’un article publié dans une revue scientifique. Faire parler de ses recherches dans un journal est cependant l’occasion pour le scientifique de s’assurer que le problème sur lequel il travaille peut être intéressant, même en dehors de la petite communauté des spécialistes de la question, et d’essayer de faire comprendre à ses proches à quoi il consacre ses journées.
Malheureusement, la communication entre scientifiques et journalistes est quelquefois difficile et peut engendrer beaucoup de frustration. Il n’est pas rare que les journalistes déforment involontairement les paroles des chercheurs et leur prêtent des propos scientifiquement incorrects, parfois radicalement opposés à l’idée qu’ils cherchaient à exprimer.
Pire encore, un article mal vulgarisé peut discréditer un sujet de recherche aux yeux du grand public et pousser les lecteurs à se demander comment il est possible qu’on ait payé des gens pour travailler dessus. J’aimerais illustrer ce phénomène par un exemple récent qui m’a interpelé, en retraçant les étapes de vulgarisation successives qu’a connu un article scientifique.

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Les nombres premiers ont beau être étudiés depuis au moins 2300 ans, ils n'ont jamais été aussi mystérieux ni utiles qu'aujourd'hui.
Mystérieux, car la démonstration de l'hypothèse de Riemann, qui permettrait de définir la répartition des nombres premiers d'avancer, attend toujours son futur millionnaire.
Utiles, car nos cartes à puces, téléphones et ordinateurs consomment des quantités industrielles de "grands" nombres premiers, en particulier pour le cryptage RSA. La sécurité de cette méthode "asymétrique" repose sur le fait que la factorisation entière en nombres premiers de grands nombres demande un temps prohibitivement long, alors qu'il est très rapide de trouver de grands nombres premiers.

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Intéressant article dans Images des mathématiques sur les graphes, en particulier les arbres.

Douze ou seize ?
Par Rémi Peyre

On s’imagine volontiers les mathématiciens comme des individus décalés, aux préoccupations bizarres, obsédés par des problèmes aussi abstraits qu’inutiles... Eh bien, au risque d’en faire hurler certains, ce n’est pas tout à fait faux !
Tenez, moi qui vous écris, j’ai récemment passé des jours à méditer sur la question : « Quelle est la meilleure base de numération ? ».

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Le dernier numéro d'Accromath est sorti. A déguster sans modération en ligne ou au format papier.

Je viens de découvrir l'existence de la revue en ligne Mathématiquement Vôtre. Le numéro 13 vient de sortir. Voici sa "bio".

Création du journal
Fin août 2010. La rentrée scolaire approche. L'actualité mathématique a été bouillonnante depuis le mois d'avril, une actualité que les matheux connaissent, mais pas forcément "le grand public". Devant un tel "gâchis", l'idée de présenter un PowerPoint aux élèves rassemblant toute cette actualité, pour introduire le cours de maths de l'année, me parait être une bonne idée (du moins pour le professeur...). Mais il me fallait une trace écrite à leur donner.
L'idée du journal était née...et on y prend vite goût...la preuve !!!

La philosophie du journal
L'objectif n'a pas changé depuis le premier numéro : essayer de montrer le vrai visage des mathématiques, leur richesse, leur beauté, leur utilité, en essayant de le faire de façon sérieuse et ludique à la fois, montrer que l'histoire des mathématiques est grande, mais que son futur aussi ! On y parle de mathématiciens, de grandes périodes des mathématiques, de nombres célèbres, de mouvements de pensée, de jeux mathématiques, d'humour mathématique, etc, mais aussi de l'actualité mathématique au Lycée Français de Chicago !
Le public visé ? Les élèves mais aussi leurs parents, et tout ceux qui souhaitent lire le journal à l'extérieur de notre "communauté" !!! L'idée principale est évidemment d'essayer de faire adhérer le plus d'élèves possible, les faire écrire pour le journal, les faisant adopter une démarche scientifique et journalistique, les sortir du couloir des programmes, essayer de les rendre curieux des mathématiques, leur faire attraper la fibre...

Les auteurs
Pour la premiere année du journal, les élèves du Lycée Français de Chicago, collégiens et lycéens, ainsi que quelques enseignants du Lycée. Pour chaque journal il y a deux enseignants et 4 ou 5 élèves journalistes. Les thèmes leurs sont suggérés ou alors ils viennent avec leurs idées.
Depuis janvier 2012, des rédacteurs du monde entier rejoignent nos colonnes chaque mois.

En kiosque actuellement :

Itérer une fonction : voilà un plaisir simple que l'on a tous fait dès lors que nous avons eu entre les mains notre première calculette ! On écrit un nombre, on écrit "+1", puis on martèle la touche [=] pour voir les nombres défiler. Le premier arrivé à 1000 sera prem's à la Master System !

Lire l'article sur Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes.

Le mathématicien français Harald Helfgott vient de mettre en ligne deux papiers sur la conjecture faible de Goldbach. Si en France cela a été accueilli comme un soulagement, Outre-Atlantique, on a minimisé l'importance de cette "découverte" pour la suite. Conjecture de Goldbach : Duel au sommet ?

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Par Bruno Martin
Maître de conférence au laboratoire de recherche en Mathématiques de l'Université du Littoral, Côte d'Opale

Quelle drôle d’idée d’additionner des nombres premiers ! C’est pourtant ce qu’a fait un certain Goldbach il y a plus de 250 ans...
Dans cet article, nous allons partir à la découverte d’une des plus célèbres conjectures mathématiques. Elle a été énoncée en 1742 par le mathématicien allemand Christian Goldbach dans une lettre (qui constitue le logo de cet article) au mathématicien suisse Leonhard Euler. Il s’agit ainsi d’un des plus vieux problèmes mathématiques irrésolus à ce jour.
La conjecture de Goldbach fait intervenir les nombres premiers. Plutôt que de livrer d’emblée son intitulé, nous allons commencer par présenter l’ensemble des nombres premiers, donner sa propriété fondamentale et voir les raisons qui peuvent conduire à énoncer la conjecture de Goldbach.

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Un exemple de démonstration mathématique
Xavier Caruso
Chargé de Recherche CNRS, Université de Rennes I

Dans cet article, nous présentons et résolvons une énigme logique. En fait, celle-ci sert principalement de prétexte à la mise en place d’une démonstration mathématique. Mais une démonstration qui vous surprendra peut-être tant elle est différente de celles que vous avez pu rencontrer à l’école : beaucoup de phrases, pratiquement aucun calcul, surtout de la logique. Par contre, je vous préviens tout de suite, de même que beaucoup d’autres démonstrations mathématiques, elle ne sera pas forcément toujours docile et vous demandera certainement des efforts pour l’apprivoiser complètement. Mais le jeu en vaut sûrement la chandelle... alors, lisez et jugez par vous-même.

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La dernière livraison du mensuel « Pour la science », qui consacre sa première de couverture aux « fractales lisses », nous propose plusieurs articles où les mathématiques sont largement présentes. Pour commencer l’éditorial nous invite à réfléchir sur les liens entre les mathématiques, les arts, la magie … Les passerelles avec le monde des arts sont nombreuses et anciennes. Souvent les magiciens ont appuyé leurs tours sur des connaissances mathématiques. Et si les « enjeux des mathématiciens et ceux des magiciens sont à l’évidence différents … certaines stratégies semblent les rapprocher ».

Des cartes bien mélangées : La rubrique mensuelle « Logique et calcul » fait justement le point sur un sujet passionnant (et qui est loin d’être épuisé), le mélange des cartes d’un jeu. Comment arriver à un désordre suffisant qui ne favorise aucune distribution et aucun joueur ? « Depuis plus d’un siècle que l’on cherche à comprendre comment il faut s’y prendre pour mélanger et distribuer les cartes avant de faire une partie de bridge, de poker ou de belote, on a percé quelques mystères et élaboré de beaux résultats. Mais soyons certains que d’autres pépites sont restées cachées et attendent que l’oeil puissant du théoricien les découvre » affirme Jean-Paul Delahaye.

A la une : Les fractales lisses, défis à l’impossible. Depuis l’annonce en avril des première image d’un tore plat en 3D (classé par La Recherche dans « Les 10 plus belles découvertes de l’année »), les articles sur le sujet se multiplient (voir sur ce site : Gnash, un tore plat ! ou Rothorn, un tore plat !). Celui qui vient d’être publié dans le numéro de mars du mensuel « Pour la science » est co-signé par trois des chercheurs de l’équipe Hévéa à laquelle on doit ces images : Vincent Borrelli Francis Lazarus et Boris Thibert. Le lecteur pourra ici comprendre la méthode mathématique qui permet de construire un tore plat, un domaine en pleine expansion. « Les fractales lisses, chaînon manquant entre les fractales et les surfaces ordinaires, vont probablement surgir dans d’autres questions mathématiques. Ces structures joueront-elles également un rôle en physique, en chimie ou dans les sciences du vivant ? Il est fort probable que certaines des structures fractales déjà observées dans le monde physique sont en réalité des fractales C1... et que l’on en découvrira d’autres. »

Les coniques selon Dürer : C’est la version française d’un article publié par Daniel Silver dans l’American Scientist. Après avoir brossé une biographie complète du grand artiste, l’auteur s’intéresse à ses « Instructions pour la mesure à la règle et au compas » (publiées en 1525 et 1538) dans lesquelles Dürer développe de nombreuses questions de géométrie. Mais l’artiste « croyait à tord que l’ellipse était plus large à la base du cône qu’en son sommet » et, par exemple, l’ellipse de la cloche du tableau « Mélancolia » était un ovale. Une autre erreur de Dürer dans la construction du foyer d’une parabole serait liée à une lecture incorrecte de Johannes Werner. Cependant cet article souligne surtout le fait qu’Albrecht Dürer a ouvert « un passage à double sens entre les mathématiques et l’art ».

La courbe antisecousse : Il s’agit de la clothoïde ou spirale de Cornu qui est très utilisée dans les ponts et chaussées lors des raccordements de trajectoires rectilignes et circulaires. Cet article de la rubrique « Idées de physique » nous montre comment cette courbe intervient dans la construction des bretelles d’autoroutes, dans la géométrie des voies des TGV, dans la construction des montagnes russes ou des sabots des pylônes de téléphériques pour assurer la sécurité et le confort des véhicules.

Source : Images des Mathématiques