Le blog-notes mathématique du coyote

J'ai enfin pu mettre la main sur le numéro spécial de La Recherche consacré aux Jeux mathématiques. Le format est plus petit que La Recherche. C'est peut-être pour ça que j'ai eu du mal à le trouver...
Très bon numéro que je conseille.

Le numéro 369 de Pour la Science est particulièrement intéressant pour les mathématiciens, car il contient trois articles sur les maths :

• Pourquoi se dopent-ils ? La théorie des jeux expliquerait le comportement de certains coureurs cyclistes professionnels.


• L'optimisation combinatoire. Bonne introduction.


• Des mathématiciens sculpteurs. L'article de Jean-Paul Delahaye.

Les années 1836-1934 du Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ont été numérisées par la Bibliothèque nationale de France et sont présentes dans la collection numérique Gallica. Il manque encore un volume, qui n'a pas été numérisé.

Les psychologues, les éducateurs, les cogniticiens et même les éthologues vous le diront : c’est par le jeu que les enfants et, plus généralement, les petits de mammifères apprennent. Le jeu leur sert à simuler la réalité et à mesurer les conséquences de leurs actes. Mais, parmi les animaux, l’humain est le seul à inventer un monde abstrait dans ses jeux. Ce goût pour l’abstraction donne à son activité ludique une apparence plus futile que les jeux de combat auxquels se livrent les lionceaux pour tester leur force physique.
Pourtant le raisonnement logique, l’évaluation des quantités et des probabilités, la vision tridimensionnelle et l’optimisation des circuits ont conféré une remarquable capacité d’adaptation à l’espèce humaine. Ainsi, d’un point de vue évolutif, le jeu d’esprit ne serait pas futile.
Aujourd’hui, l’homme est doté d’une imposante connaissance du monde, qu’il doit transmettre. Le jeu mathématique l’assiste dans sa tâche éducative, car, comme Leibniz le remarque encore : « Nous réussissons mieux ce que nous faisons avec plaisir. » Faites réciter à un enfant le théorème de Pythagore : il s’exécute avec un certain sens du devoir. Faites-lui la démonstration du théorème sans un mot, à l’aide de carrés accolés au triangle : son œil s’éclaire. En outre, le jeu mathématique ouvre des voies d’exploration de nouvelles mathématiques : théorie des nombres et code de Gray, géométrie et théorie des graphes, logique et théorie de la complexité, etc.
Foin de discours sur la pédagogie ! Il y a un siècle, le mathématicien Charles-Ange Laisant s’exclamait déjà : « Ceux pour qui le mot “instruire” est synonyme d’ennuyer – et quelquefois de torturer – sont de véritables malfaiteurs publics. » Nos bienfaiteurs sont les concepteurs de jeux mathématiques, tels que Samuel Loyd, Henry Dudeney, Édouard Lucas, Martin Gardner… et les auteurs du présent recueil.

Visual Mathematics est une revue en ligne créée en 1999 qui lance un pont entre l'art et les mathématiques. Le but principal est de montrer la beauté des mathématiques dans un large contexte artistico-scientifique. Il en sort des articles très illustrés et mathématiquement intéressants.

Si vous vous êtes déjà trouvé bloqué devant un problème de Sudoku, vous avez peut-être imaginé que l'énigme n'avait pas de solution, ou, lorsque finalement vous en résolviez un, que votre solution n'était pas forcément la seule.

Ces questions et d'autres sont explorées dans l'article Sudoku Squares and Chromatic Polynomials d'Agnes M. Herzberg et M. Ram Murty, paru dans l'édition de juin-juillet 2007 des Notes de l'AMS (American Mathematical Society) dans lequel les auteurs utilisent des outils mathématiques de la théorie des graphes pour analyser systématiquement des problèmes de Sudoku. Ils y démontrent également que l'analyse de ce type de problèmes conduit vers certains problèmes non résolus de cette théorie.
Dans ce contexte, un "graphe" est un ensemble de noeuds reliés par des segments. On peut représenter les 81 cases d'un Sudoku comme les 81 noeuds d'un graphe, et l'on attribue à chacun des chiffres de un à neuf une couleur différente. Dans un graphe de Sudoku, deux noeuds sont reliés par un segment si les deux cases qu'ils représentent appartiennent à une même ligne, une même colonne, ou à un même bloc de 3 sur 3 cases. Puisque aucune ligne, aucune colonne, ni aucun bloc ne doit contenir plus d'une fois le même chiffre, le graphe ne possédera aucun noeud relié à un noeud de la même couleur. (Par exemple, en supposant que l'on représente le 1 avec la couleur rouge, deux noeuds rouges reliés par un segment signifieraient qu'une ligne, une colonne, ou un bloc posséderait deux 1, ce qui est interdit par la règle du Sudoku).
Dans le langage de la théorie des graphes, un graphique coloré sans connexion entre les noeuds de même couleur est appelé une "coloration propre". Ce que les amateurs de Sudoku tentent de réaliser chaque jour est d'étendre un graphe partiellement coloré à un graphe à coloration propre (le puzzle initial avec ses cases vides signifie que le graphe le représentant possède des noeuds qui demandent à être coloriés).
L'analogie entre les Sudoku et les graphes étant en place, Herzberg et Murty ont pu utiliser des outils de théorie des graphes pour démontrer des théorèmes sur ce type de problèmes. Par exemple, ils démontrent que le nombre de façons différentes d'étendre une coloration partielle est donné par un polynôme. Si la valeur de ce polynôme est zéro pour un Sudoku donné, alors le puzzle n'a aucune solution ; si la valeur est 1, le puzzle n'a qu'une solution ; et ainsi de suite. Ils démontrent également que, pour qu'un Sudoku quelconque puisse n'avoir qu'une solution unique, au moins 8 des 9 chiffres doivent apparaître dans le problème posé ; si seulement 7 chiffres apparaissent, alors le puzzle possède au moins deux solutions. Et ceci évoque une question mathématique non résolue: "il serait extrêmement intéressant de déterminer sous quelles conditions une coloration partielle peut être étendue à une coloration [propre] unique", écrivent les auteurs.
Certains Sudokus sont plus difficiles à résoudre que d'autres, les plus ardus ne contenant que très peu de chiffres au départ. La détermination de ce nombre minimum d'entrées nécessite de s'assurer qu'un problème n'a qu'une seule solution. Herzberg et Murty donnent un exemple d'un Sudoku avec 17 entrées qui ne possède qu'une solution (grille ci-dessous). Aussi le nombre minimum est au plus 17. Cependant cela pourrait être 16 ou plus petit encore, mais personne ne le sait. On pourrait penser par ailleurs qu'un problème avec de nombreux chiffres donnés au départ est susceptible de n'avoir qu'une seule solution, mais ce n'est pas forcément le cas. L'article donne l'exemple d'un puzzle à 29 chiffres donnés qui possède au final deux solutions différentes.

Et si vous vous demandez quand votre revue préférée manquera de problèmes de Sudoku, les auteurs affirment que le nombre de Sudoku distincts se situe quelque part autour de 5,5 milliards, ce qui devrait s'avérer suffisant pour occuper les afficianados pendant de nombreuses années encore.

Source : Techno-science (9 juin 2007)

A lire : Sudoku Squares and Chromatic Polynomials, by Agnes M. Herzberg and M. Ram Murty

CultureMATH a mis en ligne un dossier sur les géomètres de la Grèce antique composé d'une série de dix articles, à partir desquels a été réalisé le numéro 21 des Génies de la Science paru en novembre 2004. Les articles seront mis en ligne progressivement, au rythme d'un article tous les deux mois environ.
La version proposée par CultureMATH est un peu différente de celle des Génies de la Science: l'iconographie est plus réduite, la mise en page est plus sobre, mais les textes sont, sur certains points, plus complets et les outils pour l'enseignement sont plus développés (bibliographie, chronologie, liste des sources, démonstrations mathématiques).

Les dossiers de l'ingéniérie éducative N° 54, avril 2006.

Un état des lieux de l’univers TICE et mathématiques. Comment le tableur, la calculatrice ou le logiciel de construction géométrique apportent une aide sensible dans l’élaboration d’une démonstration, la conjecture d’un résultat, la modélisation d’une situation ou la représentation d’un concept… Des scénarios racontés avec assez de précision pour faire voir comment s’imbriquent l’outil et son exploitation pédagogique. Les points de vue de l’Inspection générale, de la direction de la Technologie, de l’association Sésamath, et ceux de chercheurs, d’enseignants, de créateurs de sites.

La revue La recherche a sorti un numéro hors série petit format intitulé 365+1 énigmes mathématiques. Une énigme par jour et un thème de réflexion par mois.
C'est l'équivalent du calendrier mathématique qu'elle publiait les années précédentes. Pourquoi alors le mettre sous forme d'une brochure? Le calendrier à accrocher au mur me semblait être un format bien mieux adapté.
Toujours est-il que ce numéro plaira aux amateurs du genre (dont je suis).

Bien s’y connaître en mathématiques n’immunise pas contre les mirages des jeux de hasard

Par Jean Hamann

La connaissance des mathématiques ne constitue pas un rempart efficace contre les écueils des jeux de hasard, démontre une étude publiée par des chercheurs de l’École de psychologie dans un récent numéro de l’International Journal of Psychology. À un point tel que les auteurs de l’étude, l’étudiante-chercheuse Marie-France Pelletier et le professeur Robert Ladouceur, s’interrogent sur la pertinence d’inclure des notions de mathématiques dans les programmes de prévention du jeu excessif.
Les deux chercheurs ont évalué les croyances erronées et les comportements irrationnels face au jeu chez deux groupes de sujets très distincts sur le plan de leurs rapports aux chiffres. Le premier groupe était formé de 30 étudiants universitaires inscrits en actuariat, mathématiques, statistique ou génie, des programmes à forte composante mathématique. Le second, qui comptait également 30 sujets, était constitué d’étudiants provenant de programmes d’arts, d’histoire, de littérature et de philosophie qui n’avaient suivi aucun cours de maths à l’université. Un test de cinq questions portant sur les probabilités a confirmé l’écart de connaissances entre les deux groupes: le score moyen des premiers était de 2,7, alors que les seconds obtenaient à peine 0,4 sur 5.
Malgré leur bagage mathématique, les matheux entretiennent plus de croyances erronées dans la notion de hasard que l’autre groupe d’étudiants, a révélé un test standard administré par les chercheurs. Invités par la suite à générer une séquence de 100 «pile ou face» conforme à celle que produirait le hasard, 70 % des étudiants du groupe maths ont eu recours à une stratégie pour y arriver, contre 50 % des sujets de l’autre groupe. Il y a stratégie lorsque le participant essaie d’équilibrer le nombre de piles et de faces ou encore lorsqu’il évite les séquences répétitives ou les alternances régulières, comme si la notion de hasard excluait tout patron de régularité. Or, pour reproduire fidèlement le hasard, il faut réussir à faire abstraction des résultats obtenus précédemment, et non s’en inspirer, chaque événement étant indépendant de ce qui s’est produit auparavant. «Les erreurs commises par les étudiants du groupe mathématiques ne proviennent pas d’un manque de connaissances du hasard, mais de la difficulté à appliquer concrètement ce concept», écrivent les chercheurs.
Enfin, les participants étaient conviés à participer à un jeu de loterie vidéo qui récompensait l’obtention d’une série de symboles identiques. Les joueurs pouvaient laisser l’appareil générer automatiquement les symboles ou ils pouvaient stopper le défilement en touchant l’écran tactile ou en pressant un bouton d’arrêt. Comme ces interventions n’avaient aucune incidence sur l’issue du jeu, y recourir constitue un comportement irrationnel, estiment les chercheurs. Leurs observations indiquent que les étudiants de deux groupes utilisent tout aussi souvent l’écran tactile ou le bouton d’arrêt. Par contre, les matheux ont spontanément joué plus de parties que l’autre groupe d’étudiants, soit 172 contre 129.
La plupart des programmes de prévention du jeu excessif incluent des notions de base en mathématiques qui initient les participants aux concepts de chance, de statistiques et de probabilités. La connaissance des mathématiques, croyait-on, devait aider les joueurs à développer leur jugement critique et à éviter les pièges du jeu excessif. «Nos résultats indiquent que l’importance des connaissances en mathématiques en tant que facteur de protection contre le jeu de hasard excessif doit être remise en question», résument les deux chercheurs.

Source : Au fil des événements, Le journal de la communauté universitaire, Université de Laval, ÉDITION DU 22 NOVEMBRE 2007, Volume 43, numéro 12

L'ouvrage intitulé: Leonhard Euler: "incomparable géomètre" dirigé et majoritairement rédigé par Philippe Henry, doctorant en mathématique de l'Université de Genève, offre au lecteur un voyage richement illustré à travers la biographie et l'oeuvre du grand mathématicien. Conçu dans le cadre d'une exposition du Musée d'Histoire des Sciences de Genève dédiée à Euler, le livre est bien plus qu'un simple catalogue. Alors que l'on compte de nombreuses biographies d'Euler en allemand, la notice biographique d'Anne Aeschlimann et Philipe Henry vient combler un manque patent de la littérature française; en effet, les éloges de Condorcet et de Nicolas Fuss n'ont aujourd'hui encore pas vraiment été remplacées par une biographie digne de ce nom. Ainsi que le remarque Jean-Claude Pont (professeur émérite de l'Université de Genève) dans sa préface, l'oeuvre d'Euler a eu une grande influence sur le développement des sciences mathématiques des XVIIIe et XIXe siècles. L'ouvrage de Philippe Henry consacre donc la plus grande partie de son propos au travail du mathématicien. On y découvre, exposé dans un langage simple et clair, les fameux problèmes des ponts de Königsberg ou du cavalier, le Théorème sur les polyèdres, les travaux sur les carrés magiques, mais aussi les articles et livres plus importants dédiés au développement du cacul infinitésimal et différentiel, à la mécanique, l'astronomie, l'optique, la géographie, la musique, etc.

Sous la direction de Philippe Henry
Genève: Médecine & Hygiène, 2007. 236 p. ; 72 ill. ISBN: 978-2-88049-241-0.

Qui aurait imaginé, en 1987, quand une bande de passionnés de mathématiques s’est unie pour créer un magazine, que l’aventure perdurerait encore 20 ans plus tard ? Pour fêter cet événement, Tangente publie un numéro exceptionnel de 76 pages, qui regroupe 20 articles, soit un par an.
Art, jeux, géométrie, littérature, histoire,…vous (re)découvrirez au fil des pages les articles -tels qu’ils ont été publiés en leur temps- qui ont marqué la grande aventure de Tangente, parmi lesquels :

• M.C. Esher ou l’art mathématique (1988)
• L’arbre aux zéros (1993)
• Pascal et Fermat, les écrits restent (1996)
• Géométrie de l’équerre (1997)
• Les nombres et proportions de Milan Kundera (1998)
• L’art des dissections mathématiques (2000)
• Alain Connes : la vérité est mathématique (2000)
• Economie et maths : entre fascination et rejet (2001)
• Manipuler les électeurs (2002)
• Thalès et l’ombre de la pyramide (2005)
• François Apery, du mathématicien à l’artiste (2006)
• Le jour où Pi a failli devenir un rationnel (2005)
• La pifométrie (2007)…

Ce numéro inaugure également une nouvelle formule : les hors séries deviennent les Thématiques de Tangente et seront désormais disponibles en kiosque et par abonnement indépendant.

Les Nouvelles d'Archimède est le journal culturel de l'Université des Sciences et Technologies de Lille. Il s’inscrit dans la mission réflexion-débat développée par l’espace culture :

• Amorcer et prolonger la réflexion menée lors des rendez-vous d’Archimède
• Proposer des rubriques variées : philosophiques, scientifiques, littéraires, artistiques…
• Sensibiliser à la programmation de l’Espace Culture : gros plan sur les événements phares du trimestre

La revue Mathématiques et sciences humaines propose ses articles en lecture sur Internet.

J’en ai découvert une démonstration merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir.

Cette phrase de Pierre Fermat accompagne l’énoncé de son célèbre théorème, selon lequel il est impossible de trouver des nombres entiers x, y, z tels que xⁿ + yⁿ = zⁿ pour n supérieur à 2. Bien que griffonnée dans la marge d’un ouvrage, elle n’est pas « marginale » dans l’œuvre du mathématicien. Ses lettres et écrits recèlent nombre de formules de ce type, que lui-même excuse en se qualifiant de « paresseux ». Aucune discipline explorée par Fermat n’y échappe, que ce soit la géométrie analytique, les probabilités, la théorie des nombres, ou l’optique. Découvrez comment Fermat, magistrat toulousain, s’imposa, de son vivant, comme l’un des plus grands mathématiciens de son temps, tenant tête à Descartes et correspondant avec Pascal. Son secret ? L’homme était passé maître dans l’art de convaincre.
Également au sommaire : l’astronome Jérôme Lalande, dont on fête le bicentenaire de la mort, les oiseaux de Buffon, joyaux de l’illustration savante du XVIIIe siècle, et le destin tragique d’un module de programmation pour calculatrice HP-41 conçu dans les années 1980, le module Paname.

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