Le blog-notes mathématique du coyote

Il est rare d'entendre une chanson dont les paroles comportent des termes mathématiques. Hier, j'écoutais la radio d'une oreille distraite quand j'ai entendu cela :

Un plus un égale un (de l'album Cheyenne song)

Paroles: Gaëtane Abrial - André Manoukian
Musique: André Manoukian
Durée: 4.02

Ecouter sur Spotify

Le chiffre 3, papa, maman et moi
Le chiffre 2, moi et mon amoureux
Le chiffre 7, c'est l' plus beau il se la pète
Le chiffre 9, c'est le jour où je suis sortie de l'oeuf

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Le chiffre 4, j'aime pas j' veux pas débattre
Le chiffre 5, Channel numéro 5
Le chiffre 8, il est mystique
Le chiffre 6, (666) est plein de maléfices

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma p'tite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Quand l'espace temps s'est courbé
Nos parallèles se sont croisées
Depuis ton problème c'est que je t'aime pour l'éternité,
Nos deux figures sont symétriques,
Il a de l'allure notre algorithme
Et nos courbes exponentielles s'emmêlent jusqu'au septième ciel

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Mon théorème, mon Pythagore
Je t'aime plus fort, que le nombre d'or
Tu es mon nombre entier, je serai ta moitié
Et nous deux au carré, on fera un beau bébé

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Car 1+1=1, c'est mon Amérique
Ma petite cuisine quantique
1+1=1, c'est numérologique
Mais pas de cabalistique non non non

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique.

Le lien entre Musique et Mathématiques a fasciné des siècles d'érudits. Pythagore découvrait il y a plus de 2000 ans que les intervalles musicaux plaisants pouvaient être mis en relation avec des fractions simples.

Aujourd'hui, Clifton Callender de la Florida State University, Ian Quinn de Yale et Dmitri Tymoczko de Princeton, trois professeurs de musique présentent une nouvelle manière d'analyser et de classifier la musique à partir des mathématiques. Le trio propose une méthode appelée "Théorie géométrique de la musique" qui regroupe par "famille" les séquences de notes. Ils ont mis au point une méthode associant ces familles avec des structures mathématiques formées de points dans des espaces géométriques complexes

Différentes façons de classifier la musique produisent différents espaces géométriques et reflètent les différentes manières dont les musiciens ont compris la musique au cours des siècles. Ce procédé permettra, espèrent-ils, aux chercheurs d'analyser et comprendre la musique plus profondément. Leurs travaux représentent un point de départ majeur dans la quantification de la musique selon Rachel Wells Hall du Department of Mathematics and Computer Science de la St Joseph's University de Philadelphie. Elle ajoute que cette avancée "est marquante de par le large spectre de ses applications musicales et compte tenu de la profondeur de son contenu mathématique".

Cette méthode promet de fournir de puissants outils pour la conceptualisation de la musique permettant ainsi à de nouveaux projets de voir le jour. "On pourrait créer de nouveaux types d'instruments de musique, de nouveau jouets, de nouveaux moyens de visualisation de la musique, de nouveaux accords musicaux ou de nouveaux moyens d'apprentissage de la musique et d'autres conséquences pratiques pourraient suivre" affirme Tymoczko. Sa plus grande satisfaction étant de pouvoir observer la structure logique liant divers concepts musicaux différents.

"Nos méthodes ne sont pas faîtes pour reconnaître Aerosmith des Rolling Stones mais elles permettent de visualiser les différences entre John Lennon et Paul McCartney. Et vous pourrez voir ce qui lie la musique classique au rock et ce qui la différencie de la musique atonale" conclue Tymoczko.

Source : http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/54348.htm

Adrian J.F. Leatherland produit des images à partir des nombres premiers, afin de visualiser leur distribution. Elles sont visibles sur son site Pulchritudinous primes. Il obtient des images qui ressemblent à des images astronomiques ou à un virus. Il a aussi créé une île qu'il a nommée Primes Island.

Hier, en allant fébrilement acheter le dernier Blake et Mortimer (pas le meilleur, même si la fin de l'album est tout à fait surprenante), j'ai remarqué cette couverture de BD :

Belle mise en abyme, mais l'exemple le plus connu reste La vache qui rit :

A quoi ressemblerait la forme qui, reflétée sur une sphère, donnerait un cheval ? Voici :

On pourra trouver d'autres images et une applet permettant de les créer sur Space Symmetry Structure.

Qui est Mike Williams ? Je ne sais pas vraiment. Un mathématicien peut-être, mais un artiste sûrement. On peut voir sur son site de merveilleuses oeuvres fractales, mais aussi plein de surfaces obtenues avec la commande isosurface du logiciel POV-Ray 3.5. A voir en particulier le Mathematical Zoo.

Inspiré des oeuvres d'Escher et de Vasarely, le travail de Dominique Ribault s'appuie sur des théories mathématiques alliant la topologie à la théorie des groupes. Son site www.polytess.info est consacré aux pavages réguliers du plan ainsi qu’à de nombreuses applications aux polygones, spirales logarithmiques, cylindres, sphères, tores et nœuds.

Remarque
La classification algébrique donne 17 groupes de pavages. La classification topologique donne 19 familles car les groupes PG et PGG donnent chacun 2 types de pavés. Concrètement, avec les 2 pavés de type PG, on ne transformera pas par déformation continue le chameau en femme (de même pour le groupe PGG avec la femme et le zèbre).
Introduction à cette classification sur http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/pavages.htm

Père de la géométrie fractale, le mathématicien franco-américain Benoit Mandelbrot soutient depuis deux ans le Benoit Mandelbrot Fractal Art Contest, un concours international d’art fractal. Les gagnants de l’édition 2007 ont été désignés en début d’année.
On considère généralement que c’est l’ensemble de Mandelbrot qui fit connaître cette discipline au grand public au milieu des années 80. Par définition, l’art fractal consiste à générer, par ordinateur, une image par un calcul fractal (ou un processus itératif proche). Si tout le monde peut créer une image fractale, le résultat dépend ensuite, comme dans tout art, du savoir-faire et de la créativité de son auteur. Et on s’en rend facilement compte en consultant la liste de toutes les oeuvres qui ont participé au concours.

Voir aussi :

• l'édition 2006
• l'édition 2002
• l'édition 2000
• l'édition 1999
• l'édition 1998
• l'édition 1997

Aurélie Nemous (1910-2005) étudie à l'École du Louvre, est l'élève notamment de Fernand Léger et André Lhote, prend le chemin de l'abstraction géométrique, privilégiant les lignes, les angles droits, les surfaces monochromatiques carrées ou rectangulaires jusqu'à un certain minimalisme avec des œuvres sur le tard en noir et blanc. A partir de 1965, elle privilégie le carré qu’elle exploite de façon multiple. La géométrisation de l'espace et la rectitude deviennent des composantes essentielles de son art. Ses oeuvres de la fin des années 80 se détachent totalement de la forme pour ne plus privilégier que la couleur dans un carré.

Générez vous-mêmes des tableaux à la façon d'Aurélie Nemours.

Les Ambassadeurs français à la cour d'Angleterre
Hans HOLBEIN le Jeune (c.1497 - 1543)
Ce tableau recèle de nombreux instruments et ouvrages mathématiques, sans compter la célèbre anamorphose de la tête de mort (au premier plan). Il est analysé en détails sur la page intitulée Les ambassadeurs, tentative d'épuisement d'un tableau.

LES MESUREURS, un tableau du XVIIe siècle, attribué à Hendrik van Balen

Cette image est tiré du site Views Through a Mathematical Microscope of Some Three-Dimensional Oddities. Allez-y pour en prendre plein les yeux.
Encore une preuve que les maths et l'art peuvent faire bon ménage.

Nicolas Neufchâtel est un peintre portraitiste flamand, né en 1527. La date de sa mort est indéterminée. Selon les historiens, elle serait ultérieure à 1567, probablement, en 1590.
Censuré par des sympathisants calvinistes qui l'auraient obligé à se réfugier en Frise, puis à Nuremberg, l’artiste y décède vers 1590. L’art portraitiste de Neufchâtel se caractérise généralement par l’absence d'attributs de la fonction ou du statut du personnage représenté. L'arrière plan, souvent uni et neutre, laisse voir de coups de pinceau.
Le portrait ci-dessous s'intitule "Johann I Neudorfer et son fils". Je n'ai pas trouvé grand-chose sur ce Johann I Neudorfer, à part qu'il était mathématicien et calligraphe.

J'ai découvert hier, grâce à deux blogs amis (Blog à maths et ABC maths) les travaux de l'artiste hollandais, physicien de formation, Theo Jansen. Il construit des sculptures dynamiques extraordinaires, propulsées par le vent, qui se meuvent tels des animaux sur le sable. J'ai passé une heure à regarder ses vidéos, c'est fascinant. En voici une pour vous mettre l'eau à la bouche :

A voir :

• Strandbeestmovie - Weblog
• Les films de Theo Jansen sur YouTube

Antoine Walter est un artiste qui jongle avec les figures géométriques comme avec les mots. On s'en rendra compte en voyant Histoire du carré (1992) et Huit navires portant chacun un trésor (1993).
Mais il est aussi sculpteur et il enchevêtre les formes avec talent: TETTIGONIA.
Il n'est pas mahématicien, mais on pourrait le croire en visitant ses galeries SURFACE et ESPACE.

Euler (1707-1783) a 24 ans lorsqu'il écrit, en 1731, son Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae (Essai d'une nouvelle théorie de la musique, exposée en toute clarté selon les principes de l'harmonie les mieux fondés). C'est une oeuvre de 263 pages, écrite en latin, qui ne sera publiée qu'en 1739. Elle a été traduite en français un siècle plus tard avec l'édition de Bruxelles des oeuvres du mathématicien.
En 1739 Euler est déjà connu comme mathématicien et se trouve à St Pétersbourg, où il occupera bientôt la chaire de mathématiques. Il est fort intéressé par tout ce qui touche à la musique. Il a publié à Bâle, en 1727, une "thèse sur le son" où il compare les sons produits par les cordes vibrantes avec ceux engendrés par les instruments à vent. Et vers 1726 déjà, Euler avait projeté le plan d'une oeuvre considérable sur la musique. A part le fait que les sons devaient y être notés par des numéros d'ordre dans la gamme, l'objet d'étude restait proche des réalités musicales. La dernière section, par exemple, devait analyser les différentes sortes de morceaux de musique (sarabande, courante, etc.). Mais le départ du mathématicien pour St-Pétersbourg (1727) et ses autres travaux l'empêchèrent de poursuivre dans cette voie initiale. C'est finalement une oeuvre beaucoup plus mûrie qui vit le jour en 1739.

Voir l'article complet de Patrice Bailhache : La Musique traduite en Mathématiques: Leonhard Euler

Serge Cecconi est un dessinateur humoristique que les maths, entre autres, inspirent. Voir sa galerie.

Hans Holbein le Jeune (1528)
Holbein représente Nicolas Kratzer (1487-1550), astronome du Roi Henri VIII d'Angleterre, entouré de nombreux instruments de géométrie : compas, équerre, règle, …
Kratzer a dans les mains est un turquet (en latin, torquetum), un instrument astronomique aux multiples fonctions en vogue au Moyen Âge. Cet instrument peut également servir au gnomoniste, en tant que cadran simplifié, tout en indiquant divers paramètres essentiels à la compréhension de la sphère céleste.
L'origine du turquet remonte au milieu du Moyen Âge. Le concepteur en serait soit l'écolâtre liégeois Francun (XIe siècle), soit l'Arabe Geber (XIIe siècle). Pour sa part, Nicolas de Cuse, cardinal allemand, philosophe et savant à ses heures, possédait un turquet, considéré comme le plus ancien répertorié dans la littérature historique.
Le turquet, généralement construit en bois, était constitué de quatre cadrans solaires dans des plans différents: une table horizontale dont une ligne centrale était orientée selon le méridien du lieu; une table équinoxiale agencée selon l'angle du complément de la latitude géographique du lieu; un cercle basilica et un plateau écliptique faisant un angle de 23°30' avec la table équinoxiale donnant la position du soleil dans l'année, et enfin un cercle gradué, complété d'un clinomètre, permettant de mesurer la longitude astronomique et de mettre au niveau l'instrument. La simplicité de l'instrument et les matériaux constituants en faisaient un instrument moins coûteux et plus aisé à produire que l'astrolabe ou la sphère armillaire.
Aux XIe et XIIe siècles, les problèmes d'astronomie de position ne pouvaient être réglés par l'algèbre ou la trigonométrie sphérique (non encore développée). On utilisait alors le turquet pour visualiser la position de divers astres, et aussi pour convertir les coordonnées équatoriales (horizontales) en coordonnés écliptiques. Par différentes manipulations, on obtenait des données sur la durée du jour, l'arc diurne, le temps écoulé depuis le lever du soleil jusqu'à la lecture, l'ascension droite du soleil au jour de l'opération, les heures des levers et couchers du soleil, la date et l'heure, ainsi que la longitude des étoiles. Le clinomètre affichait parfois des lignes horaires, faisant office de cadran solaire primitif.
Très pratique puisqu'ajustable, le turquet devait sûrement faire partie de l'équipement de nombreux savants et astronomes du Moyen Âge. Ceux-ci retrouvaient en un seul instrument des solutions d'astronomie de position et de visualisation de la sphère céleste, des opérations nécessitant bien plus que l'imagination pour les comprendre, mais une démonstration pratique concluante. Cependant l'avancement en trigonométrie et en mathématique ont rendu obsolète cet instrument ingénieux, mais tout de même un peu encombrant...

Source : Un cas ancien de cadrans solaires: le turquet, un instrument oublié

En ce jour de fête nationale suisse, je vous propose une animation dont certaines séquences font furieusement penser à un feu d'artifice.

J'ai déjà écrit un billet sur les crop circles où je m'émerveillais de cet art, tout ce qu'il y a d'humain, n'en déplaise aux farouches défenseurs de la cause extra-terrestre.
Toujours vivace, ce phénomène bientôt trentenaire avait connu une flambée médiatique en 2002 avec la sortie du film Signes. C’est de nouveau le cas en France grâce à TF1 qui en fait le thème de sa série Mystère.
Voici un crop circle moins géométrique, mais porteur d'un message.

Le 16 Août 2002, sur un champ à environ 5 miles (env. 8 km) de Chibolton une nouvelle formation représentant une silhouette d'alien "gris", dans un rectangle, accompagnée d'un disque assimilable à un CD-ROM. La formation fait 110m sur 70 environ. Le décryptage du disque (blé debout = bit '1' et blé couché = bit '0') donne un message en anglais : Beware the bearers of FALSE gifts & their BROKEN PROMISES.Much PAIN but still time.BELIEVe..There is GOOD up there.We oppose DECEPTION.Conduit CLOSING.



Sources :

• Le gogogramme de Crabwoods
• Le mystère des crop circles
• Le mystère de Chilbolton
• Crop circles : les extraterrestres sont-ils artistes ?
• ... et plein d'autres en tapant "Crabwood" dans un moteur de recherche.