Le blog-notes mathématique du coyote

Patrice Jeener entre en 1963 à l'École des Beaux Arts dans l'atelier de gravure au burin. Déjà influencé par les gravures de Escher et le traité de Flocon sur la perspective curviligne, il découvre au Palais de la Découverte et à l'Institut Henri Poincaré des modèles de fonctions mathématiques en plâtre et décide de s'en inspirer. Il étudie alors les mathématiques en autodidacte. Il cherche actuellement à représenter en gravures les nombreux modèles remarquables qu'offrent les mathématiques et leurs développements dans certains domaines de la physique.

Gyroïde
Cette surface spirale et minimale contient une courbe logarithmique. Cette surface minimale découverte par Schoen est à 3 périodes et ne possède aucune droite.

Primary Blue, une sculpture en papier de Jen Stark

"The Droste effect" est une expression hollandaise que l'on pourrait traduire par "mise en abyme". Il s'agit d'une image récursive : une partie de l'image se répète indéfiniment. Cette expression vient d'une boîte de cacao de marque "Droste" :

On peut maintenant créer, grâce aux logiciels de traitement d'images, des image plus sophistiquées telles que celle-ci :
Pour en savoir plus : Escher and the Droste effect

Pour voir d'autres trucages :

• Escher's Droste print gallery
• Droste effect

Prenez un segment de droite enduit de couleur et déplacez-le sur une surface noire. Appuyez et recommencez. Vous obtiendrez une figure en forme de voilage. On peut aussi utiliser des ficelles et des clous.
Xavier Gouchet a réalisé une version informatique du procédé.

Un programme qui encode des textes en binaire et représente visuellement le code: c’est Waste Land. Waste Land, c’est aussi le nom d’un poème de T.S. Eliot, dont Sai Sriskandarajah, à l’origine du projet, semble particulièrement fan. La tapisserie qu’il a fait naître n’est pourtant qu’une suite de données, les carrés correspondant à des 1 ou des 0. Il faut cinq bits (donc cinq carrés) pour coder une lettre.

Andy Lomas et un infographiste américain qui a travaillé sur les effets spéciaux de films comme Matrix Revolution et Matrix Reloaded, ainsi que Over the Hedge (Nos amis les humains). C'est en travaillant sur Matrix que Lomas a développé l'algorithme qui lui a permis de créer ses Aggregations.
Leur mode de croissance ressemble à celui de corail : chaque particule est soumise à un champ de force et s'aggrège à l'ams global. En changeant la formule qui décrit le champ de force, Andy Lomas obtient différentes images.

Un exemple d'Aggregation
Vous pourrez trouver sur son site des images de ses Aggregations, ainsi que des vidéos montrant leur formation.

C'est, par n'importe quel calcul, une création éblouissante d'ingéniosité. Sculpté dans un champ d'orge, on dit que ce grand dessin de 45 mètres est une représentation picturale des dix premiers chiffres de Pi, un des symboles les plus fondamentaux en mathématiques.

Ceux qui croient aux extraterrestres pourraient soutenir qu'il a été fait par des aliens mathématiciens lors d'un voyage en campagne sur la Terre. Les sceptiques diront que c'est l'œuvre d'humains ayant une prédilection pour les nombres et un penchant pour les puzzles. Mais quelle que soit son origine, les experts disent que c'est le crop circle le plus complexe jamais vu en Grande-Bretagne. Le motif est apparu au début du mois de juin près de Barbury Castle, un fort à coteau de l'âge de fer au-dessus du village de Wroughton dans le Wiltshire.
Au départ, les fanatiques de crop circle séchaient sur sa signification et même un tas d'experts ont dit qu'il était époustouflant. Puis l'astrophysicien retraité Mike Reed en a vu une photo et a fait le lien mathématique. Il a déclaré que le motif du crop « montre clairement » les dix premiers chiffres de Pi qui – comme beaucoup s'en souviendront de leur scolarité – est utilisé pour calculer l'aire d'un cercle en utilisant la formule Pi*R au carré. M. Reed a dit : « J'ai remarqué une photo du motif de Barbury Castle. Il montre une image codée représentant les dix premiers chiffres de Pi – le rapport de la circonférence d'un cercle au diamètre. Les dix chiffres de Pi ont même été correctement arrondis. Le petit point près du centre est la virgule de la décimale. Le code est basé sur dix segments angulaires, les sauts radiaux indiquant chaque segment. »
Après avoir compris la séquence, M. Reed a élaboré le diagramme ci-dessous. L'image est un exemple de ce que l'on désigne par fractale ou motif géométrique. Les fractales ont été une base des motifs de crop circles depuis de nombreuses années, le plus connu étant celle de Mandelbrot ou de Julia qui est apparu il y a 12 ans à Avebury Trusloe dans le Wiltshire.
Lucy Pringle, une chercheuse renommée en agroglyphes, détient la plus grande base de données au monde sur le phénomène. Elle a déclaré hier : « c'est une réalisation renversante – un événement fructueux. »
Bien que de nombreux individus se sont présentés au cours des ans pour avouer qu'ils avaient réalisé les crop circles, beaucoup de personnes croient toujours que les cercles sont liés au paranormal ou à des civilisations de galaxies lointaines. Jusqu'ici, personne n'a revendiqué la responsabilité du cercle de Barbury Castle.

Comment ça marche

Bien que cela semble compliqué à première vue, l'énigme prend tout son sens si on l'approche avec logique et étape par étape. L'image codée représente 3,141592654, les dix premiers chiffres de Pi. Comment est-ce fait ?
Premièrement, le diagramme est divisé en dix sections égales (un peu comme une cible ou un gâteau découpé en dix) parce qu'il y a dix bords décalés situés à des endroits stratégiques autour du crop circle.
Pour mieux comprendre comment on y parvient, regardez encore l'image ci-dessus et imaginez une règle géante alignée sur les bords (ne tenez pas compte des traces de tracteur qui étaient présentes avant que le cercle ne fut créé). Cela pose le cadre de base. Ensuite, chaque nombre de pi est représenté dans le diagramme par un nombre correspondant de blocs colorés. En démarrant au centre à la flèche marquée « start », le premier chiffre, « 3 », est représenté par trois blocs rouges dans le sens des aiguilles d'une montre.
Suivez en tournant et cela vous amène à la décimale qui est représentée par un petit cercle dans l'orge. Le chiffre suivant la décimale est « 1 », représenté par un bloc vert. Le même modèle continue pour chaque chiffre – quatre blocs violets, un orange, cinq bleus, neuf jaunes, deux violets, six rouges, cinq verts et puis quatre bleus foncés suivis de trois cercles ou points mentionnant que Pi est infini.

Source : Mail Online

Les peintures de Janet Parke trouvent leur inspiration dans les fractales. Janet Parke est américaine (de l'Indiana) et...danseuse classique. Elle a commencé à s'intéresser aux fractales en 1996, avant de créer ses propres images. Depuis, Janet Parke a participé à de nombreuses expositions aux Etats-Unis et a reçu un prix de création digitale en 2000.

Taupensky © Janet Parke

Vous connaissez peut-être mon amour pour Escher et pour les tatouages Alors voici comment combiner les deux :

Chris Jordan est un photographe surtout connu pour ses grandes oeuvres qui cherchent à faire comprendre aux américains les enjeux du consummérisme occidental et notamment américain, en passant par des représentations des grands nombres, qui ne sont pas compréhensible par le cerveau humain lorsque présentés par les statistiques pures.
Beaucoup de ses œuvres d'artistes sont créées à partir de photographies et d'accumulations, avec une dimension presque fractale, une dimension en cachant une autre qu'on découvre en détaillant l'oeuvre et en s'en approchant.

La Sagrada Famillia, à Barcelone, a deux portails achevés : celui de la Nativité et celui de la Passion. Ce dernier est orné par des sculptures de Josep Subirachs : Judas qui donne le baiser du traître à Jésus. A côté, il y a un carré numérique, qui est un carré magique de somme 33 (durée de la vie du Christ) obtenue non seulement par les 10 lignes, colonnes et diagonales, mais par en tout 310 regroupements de cases, sur les 1820 possibles. Plus précisément, on peut obtenir 33 de 17 façons en additionnant 3 cases, de 88 façons avec 4 cases, de 131 manières avec 5 cases, de 66 façons avec 6 cases et de 8 manières avec 7 cases. Il est impossible d'obtenir une somme de 33 avec un autre nombre de cases.
Il semblerait que Subirachs est parti du célèbre carré magique de la mélancolie de Dürer, tourné de 180°, auquel il a retranché 1 aux 4 nombres indiqués en gras :

1  14  15  4
12  7   6  9
8  11  10  5
13  2  3  16

Voici le fichier Mathematica qui a calculé toutes les combinaisons.

Pour en savoir plus : Article About The Subirachs Magic Square by George Zimmerman

Mathématique

Dans un parallélépipède rectangle se déplaçant le long d'une ligne intégrale solution de l'équation différentielle du second ordre y" + TCRP(x)y' + S = 84, deux homoïdes (dont l'un seulement, l'homoïde A, présente une partie cylindrique de longueur L > N et dont deux sinusoïdes dont le rapport des périodes = π/2 entourent la calotte sphérique) ne peuvent présenter de points de contact de la base sans avoir également un point de rebroussement. L'oscillation de deux homoïdes tangentiellement à la trajectoire ci-dessus entraîne le déplacement infinitésimal de toute sphère de rayon infinitésimal tangente à une ligne de longueur l < L perpendiculaire à la partie supérieure de la médiane du plastron de l'homoïde A.

Ensembliste

Dans l'autobus S considérons l'ensemble A des voyageurs assis et l'ensemble D des voyageurs debout. A un certain arrêt, se trouve l'ensemble P des personnes qui attendent. Soit C l'ensemble des voyageurs qui montent; c'est un sous-ensemble de P et il est lui-même l'union de C' l'ensemble des voyageurs qui restent sur la plate-forme et de C" l'ensemble de ceux qui vont s'asseoir. Démontrer que l'ensemble C" est vide. Z étant l'ensemble des zazous et {x} l'intersection de Z et de C', réduite à un seul élément. A la suite de la surjection des pieds de x sur ceux de y (élément quelconque de C' différent de x), il se produit un ensemble M de mots prononcés par l'élément x. L'ensemble C" étant devenu non vide, démontrer qu'il se compose de l'unique élément x.
Soit maintenant P l'ensemble des piétons se trouvant devant la gare Saint-Lazare, {x,x'} l'intersection de Z et de P, B l'ensemble des boutons du pardessus de x, B' l'ensemble des emplacements possibles des dits boutons selon x', démontrer que l'injection de B dans B' n'est pas une bijection.

Géométrique

Dans un parallélépipède rectangle se déplaçant le long d'une ligne droite d'équation 84x + S = y, un homoïde A présentant une calotte sphérique entourée de deux sinusoïdes, au-dessus d'une partie cylindrique de longueur l > n, présente un point de contact avec un homoïde trivial B. Démontrer que ce point de contact est un point de rebroussement. Si l'homoïde A rencontre un homoïde homologue C, alors le point de contact est un disque de rayon r < l. Déterminer la hauteur h de ce point de contact par rapport à l'axe vertical de l'homoïde A.

Raymond Queneau, Exercices de style

George W. Hart est un sculpteur spécialisé dans la construction d'objets mathématiques, la plupart du temps enchevêtrés. Son site contient plusieurs centaines de pages. A découvrir.

Image vue sur Flickr, dans l'album Doyle Spirals and other circle/sphere packings.

Bathsheba Grossman est une artiste qui explore comment les maths et la sculpture peuvent se rencontrer. Il est possible d'acheter ses oeuvres via son site.

J'avais déjà écrit un billet sur Jos Leys le 9 avril 2006, J'en reparle aujourd'hui, car je suis retourné voir son site Mathematical Imagery et il a beaucoup évolué. C'est un plaisir pour les yeux et l'esprit. A (re)voir absolument.

Steve Turnidge a fait une vidéo qui présente une sélection du travail de Jos Leys :

La loi des séries. Alors que je disais mercredi qu'il était rare qu'une chanson contienne des termes mathématiques, voilà la vidéo que je vois le lendemain sur plusieurs blogs de maths :

Je parlais hier des diagrammes de Voronoi. Voici une étagère Voronoi (série limitée) du designer Marc Newson.