Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

mardi 18 août 2009

Nouveau record pour le pavage de l'espace avec des tétraèdres

Quelle est la meilleure façon de stocker des oranges dans des paniers de manière à ce qu’il y en ait le plus possible dans un volume donné ? Cette question et d’autres du même genre ont passionné des générations de mathématiciens et de physiciens. Aujourd’hui, un groupe de chercheurs de Princeton vient d’établir un nouveau record en étudiant des polyèdres platoniciens et archimédiens.

Le problème du pavage de l’espace par des solides réguliers est la généralisation de celui du plan par des polygones réguliers, comme des triangles isocèles ou des carrés. Cela peut sembler un problème de mathématique pur mais il a des répercussions sur la physique des solides.
On peut s’en douter en considérant le problème des oranges que l’on peut faire remonter à Képler, même si celui-ci considérait des empilements de boulets de canon. En effet, en considérant les boulets comme des atomes, il devient possible de relier la taille et l’empilement de ces derniers à la densité d’un matériau donné et donc de mieux comprendre et de mieux concevoir des matériaux avec des propriétés physiques remarquables.
De nos jours, et pour les mêmes raisons, un groupe de chercheurs de Princeton s’est de nouveau attelé à déterminer le pavage de l’espace le plus efficace avec des polyèdres réguliers et d’autres dits semi-réguliers. Dans le premier cas il s’agit des célèbres solides platoniciens, dont on pense qu’ils permettent de mieux comprendre le verre, et dans le second cas les chercheurs de Princeton, parmi lesquels se trouve Salvatore Torquato, ont en fait considéré une classe particulière de polyèdres semi-réguliers : les polyèdres d'Archimède.


En haut, les 5 solides platoniciens (P1 à P5) et ensuite les 13 solides archimédiens (A1 à A13).
Crédit : S. Torquato et Y. Jiao

Avec Yang Jiao, un étudiant de thèse du Department of Mechanical and Aerospace Engineering, Torquato vient de publier un article dans Nature dans lequel il annonce avoir battu le record du pavage de l’espace avec des tétraèdres, détenue depuis l’année dernière par Elizabeth Chen, une autre étudiante en thèse de l’Université du Michigan.
En utilisant un nouvel algorithme sur ordinateur, les deux chercheurs sont en effet parvenus à trouver un pavage occupant 78,2 % d’un volume donné au lieu des 77,8 % précédemment obtenus par Chen.

Des jeux mathématiques aux conséquences bien concrètes

Plus généralement, puisqu’il considère des pavages avec les 5 solides platoniciens et les 13 solides archimédiens, leur nouvelle méthode ouvre de larges perspectives dans de nombreux domaines. Des agglomérats d’atomes ou de molécules prennent naturellement des formes de solides platoniciens et archimédiens à très basses températures, ou dans le cas de molécules complexes subissant différents changements de phase. Mais ce n’est pas tout, des problèmes d’optimisation de pavage de l’espace avec des solides de ce genre sont mathématiquement reliés à des codes de détection et de corrections d’erreur utilisés pour enregistrer des informations sur des disques compactes, ou pour comprimer ces dernières et optimiser leur transfert par les moyens de télécommunications.
Les conséquences de ces simples jeux mathématiques sur notre vie de tous les jours pourraient bien se révéler importantes un jour ou l'autre.

Source : Futura-science

jeudi 6 août 2009

Découverte d'un nouveau nombre premier de Cullen

Le 25 Juillet 2009 à 1 heure 11 minutes et 48 secondes UTC, le projet de recherche de nombres de Cullen (Cullen Prime Search) a découvert un nouveau nombre premier record :

6679881 x 26679881 + 1

Ce nombre de 2'010'852 chiffres entre à la 15ème place du classement des plus grands nombres premiers connus établi par le professeur Chris Caldwell. C'est le plus grand nombre premier de Cullen (c'est à dire de la forme n x 2n+1) connu à ce jour, et le plus grand nombre premier découvert par l'application LLR. Cette remarquable découverte vient seulement 4 mois après la précédente, un nombre premier de Cullen de 1.905.090 chiffres qui est maintenant rétrogradé à 16 ème place du classement.
Cette découverte a été réalisée par un membre de l'équipe 2ch, le japonais spinner@. Il aura fallu 71 heures et 58 minutes pour calculer la primalité de ce nombre sur un processeur Intel Xeon L5420 cadencé à 2,50 Ghz, l'ordinateur est pourvu de 6 Go de mémoire vive et tourne sous Windows XP Professionnel.

Source : Projet BOINC via Inclassables Mathématiques Le blog 2.0