On imagine habituellement le ballon de foot parfaitement rond mais, quand on y regarde de plus près, on s'aperçoit qu'il est formé de plusieurs morceaux, selon un arrangement qui vise à rendre le ballon aussi rond que possible. Les morceaux du ballon sont des polygones réguliers, pas tous les mêmes. Avec des morceaux tous identiques on ne peut fabriquer que des solides platoniciens qui ne sont pas bien ronds : vous imaginez-vous jouer au foot avec un ballon en forme de cube ?
Le ballon standard est formé d'hexagones et de pentagones réguliers. À chaque sommet trois morceaux se rejoignent. Si on ne prenait que des hexagones, on obtiendrait une figure plate comme un réseau de nids d'abeilles ; un seul hexagone et deux pentagones à chaque sommet, cela donnerait un sommet trop marqué (trop pointu).
On prend donc deux hexagones et un pentagone pour rendre la structure la plus sphérique possible. Si on fait la même combinaison à tous les sommets on obtient une structure homogène. En particulier, on voit que deux pentagones ne se touchent jamais. Demandons-nous combien il y a de pentagones et d'hexagones au total. Bien sûr, nous pourrions les compter. Mais on peut se tromper et compter deux fois le même morceau. Il y a des moyens ingénieux pour compter...
Par exemple si on tient le ballon avec un pentagone au sommet ; il y en a alors un autre en bas et les autres pentagones forment deux ceintures de 5 pentagones chacun. Au total cela fait 1 +1 +5 +5 =12 pentagones. Et combien d'hexagones ? Pour les compter, utilisons le nombre de pentagones: chaque pentagone a 5 voisins hexagonaux. Mais chaque hexagone a exactement 3 pentagones pour voisins, donc chaque hexagone est compté trois fois. Au total on obtient pour le nombre d'hexagones 12 × 5 / 3 =20. Vous imaginez la difficulté pour assembler un modèle en papier formé de 12 pentagones et de 20 hexagones !


Maintenant pensez au nombre de côtés, c’est-a-dire de segments qui sont à la frontière de deux faces. Il y en a beaucoup, leur nombre paraît compliqué à calculer sans faire d’erreurs... mais il y a un truc ! Une formule relie ces nombres : c’est la formule d’Euler, du nom d’un très grand mathématicien suisse, Leonhard Euler (1707-1783). Notons S le nombre de sommets, A d’arêtes, F de faces. On a : S − A + F = 2.
La formule est valable pour tous les solides fabriqués comme le ballon de foot avec des faces qui se rencontrent suivant des arêtes ; une seule restriction : le solide doit être convexe, c’est-à-dire ne contenir ni partie rentrante ni trou. Si on applique cette formule pour le ballon de foot on trouve : A = 60 + 32 − 2 = 90.

Ce ballon traditionnel va peut-être disparaître au profit d'un autre plus performant : le Teamgeist. Conçu par Adidas - fournisseur du ballon de la Coupe du monde depuis 1970 -, le ballon officiel de la Coupe du monde 2006 frôle la perfection en la matière. Aux dires du géant allemand, ce fruit de trois ans d'efforts est trois fois plus précis que ses concurrents.
Première révolution: le ballon ne comporte que 14 morceaux de cuir artificiel quand ses ancêtres en traînaient 32. Adieu donc les traditionnels 12 pentagones et 20 hexagones. Place aux bandes en forme de langue et d'hélice. Ces panneaux permettent d'obtenir une surface externe parfaitement lisse et ronde. Il traverse ainsi l'air avec plus de précision et moins de résistance.
Seconde révolution: les éléments ne sont pas cousus entre eux mais thermocollés au laser. Une technique inventée par Adidas qui le rend quasi étanche.

Source : LES SECRETS MATHÉMATIQUES DU BALLON DE FOOT par Albrecht Beutelspacher, Allemagne, article paru dans MATHÉMATIQUES BUISSONNIÈRES en Europe, pages 4-6
A voir : Icosaèdre tronqué