Calcul de l'aire sous une courbe

Le code ci-dessous dessine les rectangles sous la courbe d'une fonction f est calcule l'aire approximative sous la courbe en additionnant les aires de tous ces rectangles.

f[x_] := 4 + Sin[x];    
n = 15;    
debut = 1;   
fin = 6; 
larg = (fin - debut)/n;   

courbe=Plot[f[x], {x, debut - 0.5, fin + 0.5}];

aire = 0;   

batons=Graphics[
		{Table[
				aire = aire + larg*f[debut + i*larg];  
				{RGBColor[0.3, 0.3, 1],  (* couleur de l' intérieur du bâton
                             i *)
					Rectangle[{debut + i*larg, 0}, {
                          debut + (i + 1)*larg, f[debut + i*larg]}],   
					RGBColor[0, 0, 0],    
					Line[{{debut + i*larg, 0}, {debut + i*larg, 
                            f[debut + i*larg]}, {debut + (i + 1)*larg, 
                            f[debut + i*larg]}, {debut + (i + 1)*larg, 
                            0}, {debut + i*larg, 0}}]},  
				{i, 0, n - 1}]}
	];

Show[courbe, batons, courbe];    
Print["Aire des bâtons:"];
N[aire]\(Print["Aire exacte:"]; 
Integrate[f[x], {x, debut, fin}] // N\)

Exercice 1: prise en main (10 minutes)

1. Copiez les deux cellules contenant le code original et collez-les ci-dessous.
2. Modifiez certains paramètres (les couleurs, le nombre de bâtons, la fonction) afin de bien comprendre ce code.

Exercice 2: calcul de l'aire avec d'autres rectangles (30 minutes)

1. Copiez la deuxième cellule contenant le code original et collez-la sous la donnée de cet exercice.
2. Modifiez le code de la partie "batons" pour que le coin supérieur droit de chaque rectangle soit sur la courbe et non pas le coin supérieur gauche comme c'est le cas dans le code original.
3. Comparez l'aire obtenue à celle de l'ancien code.
Indications (tirées de l'aide en ligne): 
Rectangle[{xmin, ymin}, {xmax, ymax}] is a two-dimensional graphics primitive that represents a filled rectangle, oriented parallel to the axes. 
Line[{(Subscript["\!\(\*StyleBox[\"\\\"pt\\\"\", \"TI\"]\)", 1]), (Subscript["\!\(\*StyleBox[\"\\\"pt\\\"\", \"TI\"]\)", 2]), … }] is a graphics primitive which represents a line joining a sequence of points.

Exercice 3: 
calcul de l'aire avec encore d'autres rectangles (10 minutes)

1. Copiez la deuxième cellule contenant le code original et collez-la sous la donnée de cet exercice.
2. Modifiez le code de la partie "batons" pour que le milieu du bord supérieur de chaque rectangle soit sur la courbe.
3. Comparez l'aire obtenue à celle des deux autres codes.

Exercice 4: calcul de l'aire avec des trapèzes (30 minutes)

1. Copiez la deuxième cellule contenant le code original et collez-la sous la donnée de cet exercice.
2. Modifiez le code de la partie "batons" pour remplacez les rectangles par des trapèzes dont les deux sommets supérieurs sont sur la courbe de la fonction f.
3. Comparez l'aire obtenue à celle des deux autres codes.
Indication (tirée de l'aide en ligne):
Polygon[{(Subscript["\!\(\*StyleBox[\"\\\"pt\\\"\", \"TI\"]\)", 1]), (Subscript["\!\(\*StyleBox[\"\\\"pt\\\"\", \"TI\"]\)", 2]), … }] is a graphics primitive that represents a filled polygon.

Exercice 5: utilisation d'arcs de paraboles (10 minutes)
Méthode de Simpson

1. Copiez la cellule contenant le code de l'exercie 4 et collez-la ci-dessous.
2. Calculez l'aire du bâton i en utilisant la formule de Simpson: (Subscript[A, i])= \(TraditionalForm
      \`\(\(x\_\(i + 1\) - x\_i\)\/6\) 
        \((f(x\_i) + 4 \( f(x\_\(i + 1/2\))\) + f(x\_\(i + 1\)))\)\)
3. Pour simplifier, utilisez des trapèzes pour dessiner les bâtons, comme à l'exercice 4.
4. Comparez l'aire obtenue à celle des trois autres codes.