Corrigé du quiz sur les variables aléatoires

Question 1

On lance deux dés équilibrés. On désigne par X le maximum des deux chiffres. Que vaut E[X] ?

Difficulté :
Vous avez répondu :

Je ne sais pas		La bonne réponse était :
161/36
E[X] = (1x1+3x2+5x3+7x4+9x5+11x6)/36 = 161/36

p. 2 (ex 3.3)

Question 2

Vous trouverez sur la page http://www.fdjeux.com/jeux/dede/dede_s_gains.php le tableau des gains du jeu Dédé, de la Française des Jeux. Quelle est votre espérance de gain si vous jouez à ce jeu ?

Difficulté :
Vous avez répondu :

Je ne sais pas		La bonne réponse était :
-0.8 Euros
= -0.8 Euros. Ne pas oublier de soustraire le prix du billet (2 Euros).

p. 3

Question 3

Un professeur de mathé­matiques propose à ses élèves le jeu suivant : on jette 10 fois de suite une pièce de monnaie. Si pile n'apparaît pas, le professeur s'engage à verser 1500 francs à l'élève. Sinon l'élève donne 1 fr au professeur. Que pensez-vous de ce jeu ?

Difficulté :
Vous avez répondu :

Je ne sais pas		La bonne réponse était :
L'élève est avantagé
L'élève est avantagé, car son espérance de gain est de 0.510x1500-1 = 0.465 fr.

p. 3

Question 4

Un laboratoire doit analyser 50 échantillons sanguins pour y détecter la présence éventuelle d'un virus. Or, 1% de la population est porteuse de ce virus. Dans le but d'économiser, le responsable décide de procéder comme suit : il prélève d'abord un peu de sang de chaque échantillon, mélange le tout et analyse le mélange. Si le virus n'est pas détecté, c'est que tous les échantillons en sont exempts et une seule analyse aura suffi. Sinon, chaque échantillon devra être analysé individuellement. Combien d'analyses le responsable peut-il s'attendre à devoir faire ?

Difficulté :
Vous avez répondu :

Je ne sais pas		La bonne réponse était :
20.75
La probabilité qu'au moins un échantillon soit infecté est de p = 1-0.9950 = 0.395. Le nombre moyen d'analyses sera donc 50x0.395 + 1 = 20.75 (le 1 vient du fait que le laboratoire devra de toute façon effectuer une première analyse).

p. 3

Question 5

Les chasseurs tuent en moyenne 5 vaches par an. Le nombre de ces vaches prises pour des chevreuils suit une loi de Poisson. Quelle est la probabilité n'avoir une année sans vache tuée ?

Difficulté :
Vous avez répondu :

Je ne sais pas		La bonne réponse était :
0.0067
La variable aléatoire X égale au nombre de vaches prises pour des chevreuils suit la loi de Poisson de paramètre m=5. Pr(X=0) = e-5 = 0.0067.

p. 6

Question 6

On lance 400 fois de suite une pièce de monnaie. Soit X le nombre de piles observé. Déterminez l'intervalle centré sur la moyenne tel que la probabilité que X appartienne à cet intervalle soit de 95%.

Difficulté :
Vous avez répondu :

Je ne sais pas		La bonne réponse était :
[180 ; 220]
Il s'agit d'approcher la loi binoniale B(400, 0.5) par la loi normale N(200, 10). Il faut que 2phi(x)-1 = 0.95, donc que x=1.96 (voir table). On a x = (b-200)/10 = 1.96, d'où b=219.6 et a=180.4. L'intervalle arrondi est donc [180 ; 220].

p. 14 et 11

Vous avez obtenu 0 point(s) sur 18 possibles

Votre note : 1,0


Didier Müller, 22.2.06