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Problème 215

Le triangle mystère

Un triangle étant donné, prenons le point symétrique de chaque sommet par rapport au côté opposé ou à son prolongement. On obtient les sommets d'un nouveau triangle : le triangle « réfléchi ».
Si l'on itère ce procédé, on obtient une suite de triangles dont l'évolution dépend fortement de la forme du triangle initial, d'où l'intérêt de son étude.
On appelle « point fixe » de cette transformation géométrique tout triangle dont le triangle réfléchi lui est semblable. Ainsi, il existe seulement 4 types de « points fixes » pour cette transformation :
  • les triangles aplatis : on peut par ailleurs noter que les triangles isocèles d'angle principal 120° donnent des triangles aplatis.
  • le triangle équilatéral, point fixe « attractif ».
  • le triangle « heptagonal », dont les angles sont égaux aux fractions 1/7, 2/7 et 4/7 de 180°, et que l'on obtient à partir d’un heptagone régulier en prenant le premier, le deuxième et le quatrième sommet.
  • le triangle « mystère », dont les trois angles (différents) ne sont vraisemblablement pas des fractions rationnelles de 180°.
On possède néanmoins deux indices concernant ce dernier triangle : comme le triangle « heptagonal », il possède un angle obtus et c'est un point fixe « répulsif », c'est-à-dire qu'un triangle dont la forme en est très proche donne un triangle réfléchi dont la forme l'est moins.

Quelle est la valeur en degrés, arrondie à 10–5 près, de chacun des deux angles aigus du triangle « mystère » ? On saisira le produit de ces deux valeurs, en omettant la virgule. Le résultat attendu est le produit exact de deux valeurs approchées et non pas une valeur approchée du meilleur produit possible.

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