Moyenne, écart-type et facteur d'autocorrélation

Soit x_i, pour i=1, ..., n, une suite de nombres aléatoires obtenue d'un générateur à congruence linéaire. La suite des u_i=x_i/m, pour i=1, ..., n est une suite de nombres aléatoires distribuée uniformément dans l'intervalle [0,1[.

Dans le cas idéal, on doit trouver les trois valeurs ci-dessous:

Moyenne :

Variance:

Facteur d'autocorrélation:

Quelques résultats pour des suites pas du tout aléatoires

Remarque: 1 n'est pas compris dans l'intervalle. On l'a néanmoins utilisé ci-dessous.

Suite (n=10)	Moyenne	Variance	Autocorrélation
0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5	0.5	0	0.225
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1	0.5	0.25	0.4
0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1	0.5	0.25	0
0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9	0.45	0.0825	0.33

On constate que la dernière suite satisfait presque le test. Ce test n'est donc pas suffisant...

Exercice

Programmez dans Mathematica les calculs de la moyenne, la variance et le facteur d'autocorrélation d'une liste de n nombres.
Testez les générateurs que vous avez déjà programmés, avec 10'000 nombres aléatoires.

Fonctions Mathematica utiles: For, Length.

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Référence

Simulation par événements discrets, par Louis Granger, Ecole polytechnique de Montréal, Québec
Chapitre 3 au format PDF p. 4-25 (1 Mo)

Didier Müller, 31.12.02