Le crible de Galton

Dans un crible de Galton*, des billes tombent verticalement sur un assemblage de clous placés en quinconce sur des lignes horizontales et équidistants de leurs voisins immédiats. Le diamètre des billes est égal à la distance entre les clous. Chaque fois qu'une bille tape un clou, elle a la même probabilité (p=0.5) de continuer sa chute à gauche ou à droite.
En bas du crible se trouvent des compartiments (des bacs), séparés par des cloisons verticales, dans lesquels tombent les billes. Si nous réalisons l'expérience un grand nombre de fois (100 fois par exemple), les billes viennent s'accumuler dans les compartiments et forment ainsi un histogramme. Voici ci-dessous l'histogramme "idéal" ou "moyen", mais purement théorique, comme vous le constaterez vous-mêmes. En effet, rien ne dit qu'on aboutira toujours à ce résultat, loin de là.


En fait, on obtiendrait cet histogramme moyen en faisant justement la moyenne d'un grand nombre d'histogrammes expérimentaux. Et plus on aura fait d'expériences, plus on se rapprochera de l'histogramme théorique. Vous pouvez d'ailleurs le vérifier grâce à l'histogramme expérimental moyen obtenu par simulations ci-dessous.

n est le nombre de rangées de clous (la rangée du fond représente les bacs), p la probabilité que la bille tombe à droite d'un clou.
Les nombres en bas à gauche sont respectivement le numéro du lancer et le numéro du bac dans lequel la bille est tombée (le bac de gauche a le numéro 0).
Les nombres en bas à droite sont respectivement le numéro du bac, la probabilité théorique de tomber dans le bac et la probabilité empirique (synonyme d'expérimentale). Les premières lignes sont les moyennes théoriques et empiriques (mean) et les écarts-types (SD pour standard deviation).

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*Francis Galton (Sparkbrook, 16/2/1822 -Grayshott House, 17/1/1911)

Issu d'une famille de scientifiques, Francis Galton était le cousin de Charles Darwin. Il s'intéressa à la géographie, la météorologie, l'anthropologie et écrivit sur divers sujets avec une volonté permanente de quantifier ce qu'il a étudié. Il est ainsi l'un des pionniers en statistique, dans un but purement utilitaire. On lui doit l'introduction du coefficient de corrélation. Ses travaux dans le domaine des statistiques restèrent cependant secondaires pour Galton, à côté de ses études sur l'origine des espèces.

Didier Müller, 30.12.99