Un tour de magie

Chapitre: XX. Divertissements cryptographiques Prérequis: -

Présentation du tour

Pour ce tour de magie, il faut deux "magiciens", appelons-les Alice et Bob.
Bob a les yeux bandés. Alice demande à quelqu'un de l'assistance (appelons-le Jules) de choisir 5 cartes dans un jeu de 52 cartes.

Elle en prend 4 parmi ces 5 et les pose devant Bob, puis se place derrière lui pour prouver au public qu'elle ne communique pas avec son partenaire.

Bob enlève alors son bandeau, regarde les quatre cartes et annonce au public médusé que la carte qui reste à Jules est:

Explication du tour

On l'aura deviné, il s'agit pour Alice de transmettre à Bob un message chiffré avec les 4 cartes. Tout réside dans la façon dont elle classe les cartes devant Bob. Pourtant, il n'y a a priori que 24 (=4!) messages possibles (puisqu'il y a 24 permutations possibles de 4 cartes) ce qui semble insuffisant pour désigner à coup sûr une des 52 cartes.

Propriété 1
Dans un ensemble de 5 cartes, il y en a forcément au moins 2 qui sont de la même couleur (carreau, coeur, pique ou trèfle).
Alice va donc choisir une de ces cartes pour indiquer à Bob la couleur de la carte de Jules (dans l'exemple ci-dessus, elle a posé tout à gauche le roi de carreau pour indiquer que la carte est un carreau). Reste 12 possibilités...

Propriété 2
Si on dispose 13 cartes sur un cercle, la plus petite des deux distances entre deux cartes quelconques est au plus 6.
Ainsi, par exemple, la distance entre le roi et le cinq est de 5 (voir dessin ci-contre). Il faut donc qu'Alice transmette à Bob le message "5" avec les 3 cartes qui lui reste (on peut transmettre 6 messages différents, puisqu'il y a 6 (=3!) permutations possibles de 3 cartes). Nous comprenons maintenant pourquoi elle a laissé à Jules le cinq de carreau plutôt que le roi, car la distance entre le cinq et le roi est 8 (=13-5).

Codage de la distance
Plusieurs conventions sont possibles. En voici une facile à mémoriser. Définissons d'abord l'ordre croissant des valeurs des cartes: ce sera as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame et roi. Définissons aussi l'ordre croissant des couleurs: on va prendre l'ordre alphabétique, à savoir carreau, coeur, pique et trèfle (cet ordre des couleurs sera seulement utilisé pour ordonner des cartes de même valeur: par exemple le 6 de coeur sera défini comme "plus petit" que le 6 de trèfle).
Plaçons maintenant les trois cartes à droite de celle déjà placée. La carte de plus petite valeur en position gauche/milieu/droite indiquera la distance 1 ou 2 / 3 ou 4 / 5 ou 6. La carte médiane placée à gauche (à droite) de la carte ayant la plus grande valeur indiquera la première (seconde) possibilité.
Reprenons notre exemple:

La carte de plus petite valeur (l'as) est placée à droite, ce qui indique une distance de 5 ou 6. Comme le quatre (valeur médiane) est placé à gauche du valet (valeur la plus haute), Alice indique à Bob la première possibilité, donc une distance de 5.

Carte de Jules
Bob n'a plus maintenant qu'à se déplacer de 5 crans sur le cercle à partir du roi, dans le sens des aiguilles d'une montre. Il tombe sur le cinq. La carte indiquée par Alice est donc le cinq de carreau.


Exercices

Exercice 1

Quelle carte Alice veut-elle faire deviner ?

Réponse (surlignez): le valet de carreau
Réponse (surlignez): l'as de trèfle
Réponse (surlignez): le 9 de coeur
Réponse (surlignez): le 10 de pique

Exercice 2

Quelle carte laissera Alice à Jules, et comment disposera-t-elle les autres cartes pour Bob?

2 possibilités

3 possibilités


Référence


Didier Müller, 17.6.03