Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


dimanche 11 juin 2006

Flatland

Le livre Flatland - A romance of many dimensions, de Edwin A. Abbot est disponible en ligne.
Une version française est aussi disponible.

samedi 10 juin 2006

Ballon de foot

On imagine habituellement le ballon de foot parfaitement rond mais, quand on y regarde de plus près, on s'aperçoit qu'il est formé de plusieurs morceaux, selon un arrangement qui vise à rendre le ballon aussi rond que possible. Les morceaux du ballon sont des polygones réguliers, pas tous les mêmes. Avec des morceaux tous identiques on ne peut fabriquer que des solides platoniciens qui ne sont pas bien ronds : vous imaginez-vous jouer au foot avec un ballon en forme de cube ?
Le ballon standard est formé d'hexagones et de pentagones réguliers. À chaque sommet trois morceaux se rejoignent. Si on ne prenait que des hexagones, on obtiendrait une figure plate comme un réseau de nids d'abeilles ; un seul hexagone et deux pentagones à chaque sommet, cela donnerait un sommet trop marqué (trop pointu).
On prend donc deux hexagones et un pentagone pour rendre la structure la plus sphérique possible. Si on fait la même combinaison à tous les sommets on obtient une structure homogène. En particulier, on voit que deux pentagones ne se touchent jamais. Demandons-nous combien il y a de pentagones et d'hexagones au total. Bien sûr, nous pourrions les compter. Mais on peut se tromper et compter deux fois le même morceau. Il y a des moyens ingénieux pour compter...
Par exemple si on tient le ballon avec un pentagone au sommet ; il y en a alors un autre en bas et les autres pentagones forment deux ceintures de 5 pentagones chacun. Au total cela fait 1 +1 +5 +5 =12 pentagones. Et combien d'hexagones ? Pour les compter, utilisons le nombre de pentagones: chaque pentagone a 5 voisins hexagonaux. Mais chaque hexagone a exactement 3 pentagones pour voisins, donc chaque hexagone est compté trois fois. Au total on obtient pour le nombre d'hexagones 12 × 5 / 3 =20. Vous imaginez la difficulté pour assembler un modèle en papier formé de 12 pentagones et de 20 hexagones !


Maintenant pensez au nombre de côtés, c’est-a-dire de segments qui sont à la frontière de deux faces. Il y en a beaucoup, leur nombre paraît compliqué à calculer sans faire d’erreurs... mais il y a un truc ! Une formule relie ces nombres : c’est la formule d’Euler, du nom d’un très grand mathématicien suisse, Leonhard Euler (1707-1783). Notons S le nombre de sommets, A d’arêtes, F de faces. On a : S − A + F = 2.
La formule est valable pour tous les solides fabriqués comme le ballon de foot avec des faces qui se rencontrent suivant des arêtes ; une seule restriction : le solide doit être convexe, c’est-à-dire ne contenir ni partie rentrante ni trou. Si on applique cette formule pour le ballon de foot on trouve : A = 60 + 32 − 2 = 90.

Ce ballon traditionnel va peut-être disparaître au profit d'un autre plus performant : le Teamgeist. Conçu par Adidas - fournisseur du ballon de la Coupe du monde depuis 1970 -, le ballon officiel de la Coupe du monde 2006 frôle la perfection en la matière. Aux dires du géant allemand, ce fruit de trois ans d'efforts est trois fois plus précis que ses concurrents.
Première révolution: le ballon ne comporte que 14 morceaux de cuir artificiel quand ses ancêtres en traînaient 32. Adieu donc les traditionnels 12 pentagones et 20 hexagones. Place aux bandes en forme de langue et d'hélice. Ces panneaux permettent d'obtenir une surface externe parfaitement lisse et ronde. Il traverse ainsi l'air avec plus de précision et moins de résistance.
Seconde révolution: les éléments ne sont pas cousus entre eux mais thermocollés au laser. Une technique inventée par Adidas qui le rend quasi étanche.

Source : LES SECRETS MATHÉMATIQUES DU BALLON DE FOOT par Albrecht Beutelspacher, Allemagne, article paru dans MATHÉMATIQUES BUISSONNIÈRES en Europe, pages 4-6
A voir : Icosaèdre tronqué

vendredi 9 juin 2006

Anniversaires de footballeurs

Question : dans une équipe de foot de la coupe du monde, quelle est la probabilité que deux joueurs soient nés le même jour (mais pas forcément la même année) ?

Pour ce calcul, il est plus aisé de déterminer la probabilité que deux joueurs ne soient pas nés le même jour. Avec un seul joueur, que nous nommerons Arthur, pas de coïncidence possible: la probabilité cherchée est donc égale à un. Voici qu'arrive Bernard. Son anniversaire peut être l'un des 365 jours de l'année, mais, comme Arthur est né l'un de ces jours, la probabilité d'avoir des dates distinctes est égale à 364/365 (le quotient du nombre de cas favorables et du nombre de cas possibles). Puis arrive Claude. Il reste 363 dates non prises, d'où la probabilité d'avoir une date distincte des deux autres, qui est de 363/365. La probabilité combinée d'avoir trois dates distinctes est égale au produit (364/365) x (363/365) (de la même façon que la probabilité d'obtenir deux face de suite, à pile ou face, est égale à 1/2 x 1/2).
Nous voyons apparaître la formule générale. Lorsque Denis arrive dans l'équipe, la probabilité d'avoir quatre dates distinctes est égale à : (364/365) x (363/365) x (362/365). Plus généralement, lorsqu'il y a n personnes dans l'équipe, la probabilité d'avoir n dates différentes est : (364/365) x (363/365) x ... x ((365 - n + 1)/365)).
Il nous suffit donc de calculer les valeurs successives de cette expression pour savoir à partir de quel n elle devient inférieure à 1/2. Vingt-deux joueurs ont une probabilité de 0,524 d'avoir des dates de naissance toutes distinctes, et ce résultat descend à 0.493 pour 23 joueurs. Donc, dès que 23 joueurs forment une équipe, la probabilité d'une coïncidence au moins est 1-0.493, soit 0.507 : l'événement est légèrement plus probable que son contraire.


Voyons ce qui se passe pour le Mondial de 2006. La FIFA fournit sur le site officiel de la coupe du monde la liste des joueurs de toutes les équipes et donne leur date de naissance. Sur les 32 équipes, j'en ai trouvé 22 (!) avec des joueurs nés le même jour :
  • Allemagne (5 novembre)
  • Angleterre (12 février)
  • Argentine (5 février)
  • Brésil (7 octobre)
  • Corée du Sud (9 juillet)
  • Costa Rica (30 décembre)
  • Côte d'Ivoire (4 juin)
  • Croatie (15 octobre)
  • Tchéquie (30 mars)
  • Espagne (1er septembre)
  • France (23 juin)
  • Iran (23 septembre)
  • Japon (25 juillet)
  • Mexique (14 août)
  • Paraguay (22 janvier)
  • Pays-Bas (29 octobre)
  • Serbie-Monténégro (29 octobre)
  • Suède (3 octobre)
  • Suisse (30 mars)
  • Togo (7 janvier)
  • Ukraine (2 janvier)
  • USA (24 mai)
On peut même aller plus loin. Parmi ces 22 équipes il y a théoriquement 1 chance sur 2 d'en trouver deux avec un anniversaire commun. Eh bien c'est le cas: le 29 octobre !

A lire : L'anniversaire, l'art des coïncidences, l'intuition trompeuse

jeudi 8 juin 2006

Inclassable

Je salue un autre blog où l'on parle de mathématiques : Inclassable (anciennement Six-à-pile). On y parle aussi ésotérisme, philosophie, livres, et encore d'autres choses.

mercredi 7 juin 2006

Loi de Benford

Comme chaque année, j'ai demandé à mes élèves de noter une vingtaine de prix lus dans des grands magasins, afin d'illustrer la loi de Benford. Un jour de 1881, un astronome américain, Simon Newcomb, s'aperçut que les premières pages d'une table de logarithmes étaient plus usées que les autres. Se pouvait-il que les données recherchées dans cette table commençaient plus souvent par le chiffre "1" ? Il tenta de résumer les résultats de son observation dans une formule simple pour mesurer la fréquence d'apparition du premier chiffre C, celui situé le plus à gauche, dans un ensemble de données :

p("1er chiffre significatif est d") = log10(1+1/d), avec d=1, 2, ..., 9

A l'époque, cette formule ne convainquit personne. Cinquante ans plus tard, vers 1938, un physicien américain, Frank Benford, redécouvrit les mêmes fréquences que celles résultant de l'application de la formule de Newcomb, en répertoriant plus de 20 000 données sélectionnées dans des domaines aussi divers que les longueurs de plus de 300 fleuves, les recensements démographiques de plus de 3 000 régions, les masses atomiques des éléments chimiques, les cours de bourse, les constantes de la physique, les couvertures de journaux, etc. Il constata, donc, que le premier chiffre était un "1" près d'une fois sur trois ! Il en fit une loi qui porte aujourd'hui son nom : la loi de Benford.
Ce n'est qu'en 1996 que Terence Hill démontra mathématiquement la loi de Benford.

Attention ! Cette loi ne s'applique qu'aux résultats de mesure. Inutile de l'utiliser pour avaoir plus de chance de gagner à la loterie !

Le graphique ci-dessous compare la loi de Benford (en bleu) avec les fréquences observées...

  1. de prix récoltés au hasard par mes élèves (3369 nombres)
  2. des résultats cantonaux d'une votation fédérale parus dans le Quotidien Jurassien du 14 juin 1999, page 4 (828 nombres)
  3. des superficies des pays souverains et territoires dépendants en 1974 (204 nombres).

mardi 6 juin 2006

MagicSport

A l'occasion du Mondial, Kinder Surprise a lancé la collection MagicSport. 15 joueurs répartis en 5 équipes (je parie que ça rappelle quelque chose aux élèves du Lycée qui ont passé leur examen de maths ce matin). Sur 24 oeufs achetés, je n'ai pu trouver que dix joueurs différents. J'ai trouvé 5 fois Tony, 3 fois Mario et 3 fois Matt.
Tout ça pour dire que j'échange volontiers Bruno, Matt, Mario, Léon, Billy et Aldo contre Paco (le boeuf de l'équipe bleue), Dany (la vache de l'équipe bleue), Ely (l'éléphant de l'équipe jaune), Zibbo (le zèbre de l'équipe jaune) et Rino (le rhinocéros de l'équipe jaune). Vous pouvez voir les images sur le site de cet incroyable collectionneur.


Je ne sais pas si c'est parce qu'on est en Suisse, mais la moitié des figurines que j'ai trouvées sont rouges. J'en viens aussi à me demander s'il y a vraiment des joueurs jaunes, puisque je n'en ai encore trouvé aucun. C'est louche!

lundi 5 juin 2006

Triche interdite

Demain aura lieu l'examen écrit de mathématiques pour la maturité (le bac). Je rappelle à tous mes élèves, que toute tentative de triche sera sanctionnée d'exclusion.
Allez! Travaillez bien et bon courage pour demain!


P.S. Avez-vous reconnu ce théorème ?

samedi 3 juin 2006

Calculs sur un pays

Dave Richeson propose sur son site un exercice intéressant pour les lycéens :

  1. Estimer l'aire des USA.
  2. Localiser le centre géographique des USA.
  3. Localiser le point médian géographique (ce point divise le pays en quatre régions d'aire égale).
  4. Localiser le centre de la population des USA.
  5. Localiser le point médian de la population.
  6. Estimer le périmètre de USA
Pour cela il utilise Maple. Mais comme il a le bon goût de mettre à disposition son programme, on devrait pouvoir l'adapter à un autre langage de programmation et à un autre pays.

A lire : The center of the United States and other applications of calculus to geography

vendredi 2 juin 2006

Les ancêtres français du Sudoku

Le Sudoku n'est apparemment pas une invention récente. A la fin du XIXème siècle, les Français jouaient en effet à remplir des grilles très proches de ce jeu, qui étaient publiées dans les grand quotidiens de l'époque, révèle Christian Boyer dans la revue Pour la Science du mois de juin 2006. Selon lui, la grille la plus proche d'un Sudoku et celle de B Meyniel, publiée dans le quotidien La France du 6 juillet 1895. Les premiers Sudokus ont été publiés en 1979 par l'Américain Howard Garns, avant de paraître dans les revues japonaises dans les années 80 et 90, où ce jeu a pris son nom. Leur succès international a vraiment démarré grâce au Néo-Zélandais Wayne Gould, grâce à un logiciel de son invention qui permettait de générer facilement des grilles, et qui en a publiées dans le Times de Londres à partir de novembre 2004.

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jeudi 1 juin 2006

Feuille de cannabis

Une courbe de circonstance. Ben oui, aujourd'hui c'est le 1er juin ;-)


Un bel exemple de courbe en coordonnées polaires.

< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 >