Le blog-notes mathématique du coyote

L'obsédante quête du Graal des mathématiques
Article de Michel Alberganti paru dans l'édition du Monde du 14.10.2005

Les personnages se nomment Bernhard Riemann, Carl Friedrich Gauss, David Hilbert, André Weil, Andrew Wiles ou Alain Connes. L'intrigue : une énigme sur laquelle planchent tous les mathématiciens de la planète depuis quelque 150 ans. Le décor : l'univers étrange des nombres premiers, dont l'unique originalité est de n'être divisibles que par eux-mêmes et par un. L'action : une succession d'espoirs, de fausses pistes, d'échecs, de défis et d'aventures. Le livre de Marcus du Sautoy, un pavé de près de 500 pages, peut se dévorer ou se grignoter au hasard, tant il regorge de richesses scientifiques et humaines peu ou mal connues. "Je voulais écrire un roman", reconnaît l'auteur.

Une gageure. A priori, quoi de moins excitant qu'une suite de nombres ? Qui, hormis le club fermé des chercheurs en mathématiques, peut se passionner pour une série incohérente de chiffres ? Erreur. Les nombres premiers n'usurpent pas leur nom. Ils constituent "les pierres précieuses enchâssées dans l'immense étendue de l'univers infini des nombres", écrit Marcus du Sautoy. Les mathématiciens sont fascinés par ces "atomes de l'arithmétique", ce "don de la Nature". Leur découverte pourrait remonter à 6 500 ans avant J.-C., si l'on en croit les gravures de l'os d'Ishango, mis au jour en Afrique équatoriale en 1960. Mille ans avant J.-C., les Chinois s'y intéressent déjà. Pourtant, ils conservent, aujourd'hui encore, une bonne part de leur mystère.

La fascination qu'ils exercent depuis les découvertes réalisées par les Grecs s'explique simplement : "Tout nombre qui n'est pas premier peut être obtenu en multipliant les uns par les autres ces éléments fondamentaux. Pour le mathématicien, une liste de nombres premiers est comme - le tableau périodique des éléments chimiques -, où les nombres 2, 3 et 5 correspondraient à l'hydrogène, à l'hélium et au lithium (...). La maîtrise de ces éléments lui permet d'espérer découvrir de nouvelles façons d'établir un cap pour parcourir la complexe grandeur du monde mathématique."

Loi secrète

Or la liste des nombres premiers contient une énigme majeure : existe-t-il une loi secrète régissant la façon dont ils s'égrènent sur la ligne infinie des nombres ? Au cours des siècles, les mathématiciens n'ont pas débusqué la règle qui, si elle existe, leur permettrait de calculer l'énième nombre premier ? L'un des héros de la quête de ce Graal des maths est sans conteste Bernhard Riemann (1826-1866). Marcus du Sautoy cite le poisson d'avril conçu par Enrico Bombieri en 1997 pour faire croire que quelqu'un avait réussi à démontrer l'hypothèse de Riemann selon laquelle il existe bien un ordre caché dans la succession des nombres premiers. La fausse nouvelle fit l'effet d'une bombe. Une telle démonstration aurait des conséquences catastrophiques sur le monde fragile du commerce électronique. Le cryptage des données sensibles utilise, en effet, les nombres premiers, et spécialement l'impossibilité de les calculer, pour protéger les transactions financières sur Internet. Découvrir l'ordre que Riemann laisse entrevoir remettrait en question les méthodes de chiffrement les plus utilisées, telles que le système RSA. En 1900, le célèbre mathématicien David Hilbert avait inscrit l'hypothèse de Riemann en huitième position dans la liste des 23 problèmes qu'il lançait comme défi à ses pairs du XXe siècle. En mai 2000, lors de la présentation au Collège de France de sept problèmes pour le XXIe siècle, "un seul était déjà présent dans la liste d'Hilbert : l'hypothèse de Riemann". Celui qui la démontrera gagnera le million de dollars offert par l'institut Clay de Cambridge.

L'ouvrage de Marcus du Sautoy n'épargne au lecteur aucune des étapes de l'épopée des nombres premiers au cours des derniers siècles, et même bien avant, tant les racines du problème plongent au plus profond de l'histoire des mathématiques. Son style passionné n'aplanit pas totalement les cols les plus escarpés. Mais la qualité du paysage fait oublier ces passages délicats. L'épaisseur du livre doit beaucoup à ce désir d'exhaustivité, mais aussi aux élans poétiques ou romanesques. Nombre de personnages se prêtent aux envolées, tel André Weil, l'un des préférés de l'auteur, qui échappe de peu à l'exécution capitale pour espionnage en Russie avant de se retrouver en prison pour désertion en France.

La passion de Marcus du Sautoy pour son sujet anime chaque page de ce livre, vendu à 50 000 exemplaires dans les pays anglophones. Un résultat identique a été atteint dans la seule Italie, sans doute en partie grâce à une critique d'Umberto Eco parue dans L'Espresso en août 2004. La BBC a diffusé, en septembre, un documentaire d'une heure réalisé à partir de l'ouvrage. Marcus du Sautoy, chercheur à l'université d'Oxford, ne donne pas de cours. "Le livre est ma façon d'enseigner", déclare-t-il en se félicitant d'avoir choisi un thème qui "brise l'image que la recherche en mathématiques serait achevée". De fait, l'hypothèse de Riemann résiste encore à la démonstration. Ce qui prive l'ouvrage d'une apothéose finale, mais prolonge le suspense.

LA SYMPHONIE DES NOMBRES PREMIERS de Marcus du Sautoy. Traduit de l'anglais par Raymond Clarinard, éd. Héloïse d'Ormesson, 496 p., 26 €.

Le Dr. Norman Wildberger, professeur de mathématiques à l'Université des New South Wales, a réécrit les règles si mystérieuses de la trigonométrie, et les sinus, les cosinus, les tangentes peuvent désormais être éliminés de la boite à outils trigonométrique. Qui plus est, le nouveau cadre de travail qu'il présente implique que les calculs peuvent être effectués sans tables trigonométriques ni calculatrices, en offrant pourtant une plus grande exactitude.
Établie par les grecs anciens et les romains, la trigonométrie est utilisée en navigation, en ingénierie, en construction et dans bien des sciences pour calculer les rapports entre les côtés et les sommets des triangles.
"Des générations d'élèves ont lutté avec la trigonométrie classique parce que le cadre qui leur était proposé était inadapté", indique Wildberger, dont le livre est intitulé "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry" (Wild Egg books).
Le Dr. Wildberger substitue aux notions traditionnelles d'angles et de distances de nouveaux concepts appelés "envergure" et "quadrance". "Ces nouveaux concepts signifient que les problèmes trigonométriques peuvent être résolus par l'algèbre", précise Wildberger. "Cette trigonométrie rationnelle remplace les sinus, cosinus et une foule d'autres fonctions trigonométriques par une arithmétique élémentaire".
"Durant les deux mille dernières années nous pensions que la distance était la meilleure façon de mesurer ce qui sépare deux points, et qu'un angle était la meilleure façon de mesurer ce qui sépare deux lignes. Aussi les professeurs se sont-ils résignés à enseigner les cercles, PI, ainsi que ces complexes fonctions trigonométriques qui associent des longueurs d'arc aux projections sur les axes, tous cela afin d'analyser les triangles. Et tant pis si les élèves n'y entendaient rien", ajoute le dr. Wilberger. "Mais sans alternative au cadre classique, tous les ans des millions des élèves ont mémorisé des formules, ont réussi ou non leurs examens, puis se sont empressés de tout oublier de cette expérience désagréable. Et les mathématiciens se demandaient pourquoi tant de personnes percevaient ce beau sujet d'étude avec un dégoût mêlé d'hostilité".
Il existe désormais une meilleure perspective. Seules cinq règles principales sont nécessaires et il suffit de les apprendre et de savoir comment les appliquer simplement, selon le dr. Wildberger, pour se rendre compte que la trigonométrie classique ne représentait en réalité qu'un malentendu de la géométrie.

Le premier chapitre du livre de Wildberger est consultable ici (pdf en anglais).

Extrait de techno-sciences.net: http://www.techno-science.net/index.php?onglet=news&news=1792 (18/9/2005)

L'assassin des échecs et autres fictions mathématiques
Par Benoît Rittaud
Editions Le Pommier

Présentation de l'éditeur
Mais pourquoi le coupable s'acharne-t-il à accumuler les preuves contre lui ? Plus que n'importe quel autre élément du dossier, cette attitude inédite fait pressentir au commissaire que, au-delà de ce qu'il a bien voulu avouer, le Grand Maître des échecs cache un secret plus lourd encore. Mais il est loin d'imaginer que les mathématiques lui permettront de le confondre... Où l'on découvre, en compagnie d'un limier novice aux échecs, d'un célèbre savant grec, d'un retraité aimant guincher, d'un jeune de banlieue fan de jeux vidéo... que la réalité quotidienne est bien plus mathématique qu'on ne le croit. Et pas moins palpitante ! De péripéties géométriques en rebondissements numériques, d'intrigues probabilistes en paradoxes logiques, embarquez pour une contrée enchanteresse. Pour que le récit garde son mordant, les subtilités mathématiques sont décryptées après chaque nouvelle pour qui veut en savoir plus.

Mon commentaire
Ce livre, abordable par tous et ne nécessitant aucune connaissance particulière en mathématiques, introduit à l'aide de 12 mini-nouvelles des notions comme le théorème de Thalès (dans "L'homme qui entendait des confidences du ciel"), la théorie des jeux (dans "L'assassin des échecs"), les probabilités (dans "Le bonneteau"), les nombres pseudo-aléatoires (dans "Blitzkrieg sur algorithme"), etc. Après chaque nouvelle, l'auteur propose un prolongement un peu plus théorique, tout en restant très simple. On reste parfois un peu sur sa faim, mais ce livre a surtout l'ambition de faire prendre conscience que les mathématiques ne sont pas une science abstraite et qu'elle est bien présente dans la vie quotidienne.

La commission inter-IREM-APMEP PUBLIMATH élabore une base de données sur la documentation utile à un enseignant et à un futur enseignant de mathématiques de la maternelle à l'université. L'objectif est que tout enseignant de mathématiques ou chercheur sur l'enseignement des mathématiques puisse avoir rapidement connaissance des documents existant sur le thème de son étude.

L'un des objectifs d'un tel système d'informations est de recueillir, conserver et transférer les références des connaissances et des savoirs, par l'intermédiaire d'internet. Cette recherche d'informations contribue tout autant à la documentation de l'enseignant qu'à sa formation personnelle complémentaire. En effet, chaque fiche comporte, outre les informations bibliographiques, un résumé objectif et informatif et une liste de mots-clés précisant les contenus des ouvrages en adéquation avec le public visé qui donnent une image assez complète du contenu des ouvrages, des logiciels, vidéos...

PUBLIMATH s'adresse aux professeurs et futurs professeurs de mathématiques. La base de données fait appel à un certain nombre de champs documentaires interrogeables conformément aux normes catalographiques internationales. La finalité est que tout collègue d'école, de collège, de lycée ou d'université puisse trouver dans cette base des matériaux tels que les productions de l'APMEP, des productions IREM, des manuels de formation, des ouvrages scolaires ou universitaires, des logiciels, des publications parascolaires, de culture scientifique… c'est-à-dire toute documentation utile à un enseignant ou à un futur enseignant de mathématiques de la maternelle à l'université.

La base de données est accessible sur le réseau internet aux deux adresses suivantes : http://publimath.irem.univ-mrs.fr/ et http://publimath.univ-lyon1.fr/

Présentation de l'éditeur
Pourquoi ne trouve-t-on jamais de trèfles à quatre feuilles ? Pourquoi des gens intelligents font-ils des erreurs ? Pourquoi vaut-il mieux acheter son billet de loterie un vendredi ? Comment expliquer une coïncidence ? Pourquoi l'eau de la douche est-elle toujours trop froide ou trop chaude ? Quelle est la meilleure façon de découper un gâteau ? Comment gagner sans tricher ? ... Vous trouverez les réponses à ces questions existentielles et à beaucoup d'autres dans ce livre, riche en illustrations cocasses, qui mêle intelligemment humour et découverte.
Pourquoi les bus arrivent-ils toujours par trois ? se destine à tous ceux qui veulent se rappeler ou découvrir que les mathématiques sont présentes dans toutes les circonstances de la vie quotidienne. Au passage, vous apprendrez même à passer au travers des gouttes de pluie sans être mouillé. Que vous soyez docteur en astrophysique ou nul en maths, ce livre changera votre manière de percevoir le monde qui vous entoure.

Mon commentaire
Dix-huit chapitres (il manque le chapitre 13), clairs et variés, accessibles à tous, traitant de sujets de la vie quotidienne. Une source d'idées pour relier les mathématiques à la "vraie vie".

J'ai retrouvé dans mes archives cette intéressante interview de Denis Guedj:

Entrevue avec Denis Guedj, romancier et mathématicien

Paris – En direct du Palais de la découverte - Un polar à saveur mathématique peut-il devenir un best-seller ? Avec son dernier roman, «Le Théorème du perroquet», Denis Guedj tente de réhabiliter les mathématiques, la reine - mal-aimée - des sciences.

06/05/1999 - Elles ont tourmenté et tourmentent encore des générations d’étudiants. Elles brisent les carrières de ceux qui ne savent pas les apprivoiser, chuchote-t-on dans les coulisses. Bref, les mathématiques ont bien mauvaise réputation. Dans ces conditions, qui aurait l’idée saugrenue de les mettre en scène dans un roman ? Fiasco garanti ? Depuis sa parution en septembre dernier, Le Théorème du Perroquet (Éditions du Seuil) déjoue tous les calculs et fait la preuve, comme 1 + 1 = 2, que roman et maths peuvent faire bon ménage. En moins de six mois, le roman de Denis Guedj s’est vendu à plus de 115'000 exemplaires en France. Dix-sept traductions sont déjà en préparation autour du globe.
En plus d’être romancier, journaliste, scénariste et comédien à ses heures, Denis Guedj enseigne l’histoire des sciences à l’Université Paris VIII. Il est également responsable des mathématiques pour l’encyclopédie Thema de Larousse.

Cybersciences : À première vue, roman et mathématiques semblent plutôt incompatibles.
Denis Guedj : Le genre romanesque est un genre que j’aime bien et je trouvais intéressant de faire un roman avec les maths et non sur les maths. Les mathématiques sont l’un des moteurs de l’histoire, mais pas le seul. Plus je voulais mettre de maths, plus il fallait que la fiction soit forte. Si le contenu romanesque est fort, il emporte avec lui les difficultés. À un certain moment, je pensais qu’il fallait alléger le contenu mathématique et enlever des formules. L’éditeur a dit non. Je suis finalement bien content puisque ça n’a pas arrêté les gens. Plusieurs lecteurs m’ont dit qu’ils l’ont lu et relu. C’est un livre sur lequel il faut passer du temps. D’ailleurs, on dit souvent que les gens adorent le léger, les choses faciles et rapides. C’est faux. Si j’ai milité, ce n’est pas pour les maths mais contre ce préjugé. Les gens veulent comprendre et sont prêts à travailler pour y parvenir.

CS : Le roman est-il un bon outil de vulgarisation ?
D. G. : Je n’aime pas beaucoup la «vulgarisation». Je sais qu’il y a toujours une ambiguïté sur le mot. Si on appelle «vulgarisation» le fait de prendre un contenu et de l’édulcorer pour le rendre compréhensible, je suis totalement opposé à cette manière de faire. Je crois même que c’est un mauvais travail. Évidemment, la plupart des vulgarisateurs vous diront que ce n’est pas ce qu’ils font... Dans mon roman d’ailleurs, il y a des choses que je n’ai pas pu inclure – même si c’était important dans l’histoire des maths - parce que ça ne faisait pas avancer l’histoire et que j’aurais dû faire trop de concessions. Moi, ce qui m’intéresse, c’est de considérer un contenu et de voir en quoi il peut devenir un champ dramatique. Les mathématiques, c’est un peu comme dans un roman : on ne demande pas que ça soit vrai, mais simplement que ça se tienne, qu’il y ait une cohérence interne. Si un personnage semble faire n’importe quoi, alors le roman est raté ou bien il faudra expliquer que ce n’était pas n’importe quoi et rendre des incohérences… cohérentes. Bien sûr, la nécessité romanesque n’est pas du même ordre que la nécessité mathématique. Heureusement d’ailleurs !

CS : Les maths ont mauvaise réputation. Pourquoi ?
D. G. : Il y en a qui n’aiment pas le caviar sans savoir ce que c’est, et d’autres qui, connaissant le caviar, ne l’aiment pas non plus. C’est la même chose pour les mathématiques. Ça met en jeu un certain nombre de choses, comme la rigueur et la démonstration. Certaines personnes y sont hostiles. Elles n’aiment pas ça et elles ont le droit de ne pas aimer ça ! Ça ne sert à rien de les culpabiliser.
Il faut dire aussi que le statut de l’enseignement des mathématiques aujourd’hui est particulier. Avec le français, les mathématiques sont considérées comme la matière la plus importante. On peut comprendre que l’on accorde beaucoup d’importance à l’enseignement de la langue maternelle. Les maths, par contre, sont beaucoup moins proches de la vie quotidienne. D’une certaine façon, elles sont même devenues un outil de coercition : si on n’est pas bon en maths, on va avoir des ennuis, on n’aura pas une bonne scolarité, etc. Conséquence : on a peur et on ne comprend pas. Et plus on a peur, moins on comprend. Mais contrairement au sport, on ne peut pas obtenir de certificat médical pour ne pas faire de maths...

CS : Y aurait-il trop de maths à l’école ?
D. G. : En France, on fait des mathématiques durant toutes ses études. Jusqu’au baccalauréat, ça fait plus de 12 ans. Elles ne devraient pas être obligatoire si longtemps. Ou on devrait changer la manière de les faire. Apprendre à résoudre des équations du second degré, est-ce vraiment si important ? D’une certaine manière, ça ne sert à rien - au sens où les gens disent servir - mais ça peut être utile à énormément de choses : qu’est-ce que c’est qu’une équation ? Qu’est-ce que c’est que ces inconnues, les petits « x », les petits « a » ? On va trop vite sur l’apprentissage de ces notions, alors que c’est très dur à comprendre.
Au lieu de mettre l’importance sur l’accumulation des connaissances, on devrait passer plus de temps sur les mécanismes des mathématiques, comme la logique, la rigueur, etc. Qu’est-ce qu’un raisonnement par l’absurde, par exemple ? Contrairement à ce que l’on enseigne habituellement, on peut partir d’une hypothèse fausse pour arriver à démontrer que quelque chose est vrai.
Il faudrait inculquer une culture mathématique plutôt que faire des maths. La culture mathématique, ce serait lire ou écrire les maths. Je t’écris des maths et tu me dis qu’est-ce que ça dit. C’est important, parce que le moment de l’écriture est absolument nécessaire. Vous pouvez faire de l’histoire ou de la géographie sans écrire, mais vous ne pouvez pas faire de mathématiques sans écrire - ou du moins dans les maths de notre culture grecque. Il faudrait également enseigner l’histoire des mathématiques. Ça cultiverait les gens, mais surtout ça les aiderait à mieux comprendre les maths.

À lire :
Le Théorème du perroquet/ Par Denis Guedj. Paris
Éditions du Seuil, 1998. 528 pages.

Voir les commentaires des lecteurs sur Amazon.fr.

The cartoon guide to statistics, par Larry Gonick et Woollcott Smith, est un livre d'initiation aux statistiques et aux probabilités. Son originalité: pas d'exercices, mais une présentation des concepts à l'aide de petits dessins, souvent humoristiques. A mon avis, c'est un must.