Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

jeudi 22 février 2007

Histoire des symboles mathématiques

Earliest Uses of Various Mathematical Symbols propose l'histoire des symboles mathématiques.

lundi 12 février 2007

Tombe d'Henry Perigal

Henry Perigal (1801-1898) était un mathématicien amateur qui est principalement connu pour une élégante preuve de dissection du théorème de Pythagore. Il a peut-être estimé que c'était son accomplissement plus important, puisque son schéma été gravé, vraisemblablement à sa demande, sur sa pierre tombale.


A voir : On the dissecting table

lundi 1 janvier 2007

Euler 2007

2006 fut l'année Mozart, 2007 sera l'année Euler. En effet, le 15 avril 2007 sera le trois-centième anniversaire de la naissance du grand mathématicien et scientifique suisse Leonhard Euler (1707-1783). En Suisse, le site de référence est www.euler-2007.ch.

Biographie d'après Simon Patterson

Leonhard Euler fut l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Ses nombreux travaux (environ 900 publications) dans beaucoup de domaines ont eu une influence décisive sur le développement des mathématiques, une influence qui est encore ressentie à ce jour.
Euler est né en Suisse, à Bâle, le 15 avril 1707, dans la famille d'un pasteur. À cette époque, Bâle était l'un des principaux centres des mathématiques en Europe. À l'âge de 7 ans, Euler commença l'école tandis que son père engageait un précepteur privé de mathématiques pour lui. À 13 ans, Euler assistait déjà à des conférences à l'université locale, et, en 1723, il obtint son Master, avec une dissertation comparant les systèmes normaux de philosophie de Newton et de Descartes. Selon les souhaits de son père, Euler compléta ses études en s'inscrivant à la faculté de théologie, mais il consacra tout son temps libre à étudier les mathématiques. Il a écrit deux articles sur la trajectoire renversée qui ont été fortement évalués par son professeur Bernoulli. En 1727, Euler postula à un poste de professeur de physique à l'université de Bâle, mais il ne fut pas engagé.
A cette époque, un nouveau centre de la science était apparu en Europe - l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg. La Russie avait peu de scientifiques et beaucoup d'étrangers furent invités à travailler à ce centre - parmi eux Euler. Le 24 mai 1727, Euler arriva dans Saint-Pétersbourg. Ses grands talents furent vite remarqués. Parmi ses domaines d'activité, on trouve sa théorie de la production de la voix humaine, la théorie de bruit et de la musique, les mécanismes de la vision, et son travail sur la perception télescopique et microscopique. C'est sur la base de ce dernier travail, non édité jusqu'en 1779, que la construction des télescopes et des microscopes ont été rendus possibles.
Il se rend à Berlin en 1741. Là, il travailla à l'académie des sciences de Berlin et fut nommé à la tête de l'observatoire de Berlin, et était également précepteur des nièces du Roi Frédéric II de Prusse.
Les travaux d'Euler n'ont pas été consacrés seulement aux sciences. Un véritable homme de Renaissance, il s'est également impliqué dans les discussions philosophiques du jour, et s'est déclaré croire fermement à la liberté de la volonté. De telles vues eurent peu d'adeptes en Allemagne, et le livre dans lequel il a exprimé ses pensées fut édité pour la première fois en Russie, où Euler retourna en 1766.
En 1763, Catherine II accéda au trône de Russie. Elle effectua des réformes dans l'académie des sciences et en fit un établissement plus prestigieux. Quand Euler retourna à Saint-Pétersbourg avec ses deux fils aînés, on leur donna une maison de deux étages sur les bords de la Néva et Euler occupa un poste à la tête de l'académie des sciences.
Euler a pris un rôle très actif dans l'observation du mouvement de Vénus à travers la face du Soleil, malgré le fait qu'il était alors presque aveugle. Il avait déjà perdu son oeil droit au cours d'une expérience sur la diffraction légère en 1738, puis une cataracte et une opération bâclée en 1771 lui firent perdre la vue presque totalement.
Ceci, cependant, n'arrêta pas le rendement créatif d'Euler. Jusqu'à sa mort en 1783, il plublia pour l'académie plus de 500 travaux. L'académie a continué à les éditer encore un demi-siècle après la mort du grand scientifique. À ce jour, ses théories sont étudiées et enseignées, et ses travaux incroyablement divers font de lui un des pères fondateurs de la science moderne.
Il mourut le 18 septembre 1783 à Saint-Petersbourg d'une hémorragie cérébrale. Il est enterré à Saint-Pétersbourg, à la laure Alexandre Nevsky.

Source : Leonhard Euler Biography
A lire aussi : Leonhard Euler

vendredi 17 novembre 2006

Math93 : Une histoire des mathématiques

Math93 : Une histoire des mathématiques. Site forcément incomplet mais quand même très intéressant, notamment parce que l'histoire des mathématiques y est traitée par thèmes : Alexandrie, les symboles, les nombres, les équations, l'infini, etc. Par contre, un truc qui me dérange beaucoup, c'est la page de pub qui s'affiche quand on arrive sur le site...

mercredi 13 septembre 2006

D'où viennent les degrés pour mesurer les angles ?

Pour répondre à la question de mes élèves : pourquoi le cercle est divisé en 360 degrés et pas plutôt 100 ou autre chose ?

Le degré vient des Babyloniens : ils comptaient en base 60 (sexagésimale). 60 est très commode car il admet beaucoup de diviseurs. Les mathématiciens arabes ont poursuivi et mesuré les angles célestes et terrestres de la même manière. La mesure du temps de cette façon, directement issue des angles astronomiques, en a découlé.
L'année cyclique correspondait à un cercle de 360° (360 jours) et ce cercle était divisé en six parties de 60°. Le cercle a aussi figuré une journée entière puisqu'elle correspondait à un "cycle" du soleil. Elle aussi a été divisée en six : trois sections de jour et trois sections de nuit. Ces sections ont donc été divisées plusieurs fois par deux pour obtenir le découpage en 24 heures, plus précis.
De la même façon, une heure a été divisée en 60 minutes. Remarquons que l'appellation est la même pour les angles : 1 degré est constitué de 60 minutes, ainsi un angle de 1,5° correspond à 1° plus la moitié de 60' donc à 1° et 30 minutes.

Source : 24 pour une journée, 60 pour une heure, pourquoi pas 10 ?

lundi 10 juillet 2006

Chiffres mayas

Les Mayas utilisaient des glyphes comme symboles numériques. Ces glyphes représentaient des têtes de divinité vues de profil. Seuls les chiffres allant de zéro à dix-neuf étaient ainsi représentés. Cela s'explique par le fait que les Mayas avaient adopté une numération vigésimale, c'est-à-dire en base 20.


Cependant, pour les calculs, les Mayas n'utilisaient pas les glyphes, mais des signes très simples: le point pour l'unité, le tiret qui valait cinq points, et une coquille pour le zéro. Les nombres étaient une combinaison de ces trois symboles.

mercredi 17 mai 2006

Femmes mathématiciennes

Les femmes mathématiciennes sont généralement peu connues. Le site Biographies of Women Mathematicians corrige cet état de fait en présentant les biographies de dizaines de mathématiciennes, de l'Antiquité à nos jours.

dimanche 30 avril 2006

Un mathématicien devenu pape

Après la mort de Grégoire V, le 18 février 999, Gerbert d'Aurillac, fils de serf, initié à la science et mathématicien, fut élu Pape et consacré le 2 avril. Il choisit le nom de Sylvestre II en référence à Sylvestre Ier qui fut pape sous l'empereur Constantin Ier qui reconnut le christianisme comme religion de l'Empire romain. Très proche de l'archevêque de Reims Adalbéron, il succéda à celui-ci comme archevêque de Reims. Son érudition était immense; il fut «la lumière de l'Église et l'espoir de son siècle». Ami des empereurs Othon Ier et Othon II, il fut le précepteur du fils de ce dernier (Othon III). Durant son pontificat, il attribua le titre de roi aux souverains chrétiens de Pologne et de Hongrie. Il mourut à Rome le 12 mai 1003 après quatre années de pontificat.
Gerbert d'Aurillac est connu dans le monde scientifique pour avoir rapporté en France le système de numération décimale et le zéro qui y étaient utilisés depuis qu'Al-Khwarizmi les avait rapportés d'Inde et fait diffuser dans l'Empire.
En 967, il se rend en Espagne, auprès du comte de Barcelone, et reste trois ans au monastère de Vich, en Catalogne. Les monastères catalans possèdent de nombreux manuscrits de l'Espagne musulmane, c'est là qu'il s'initie à la science arabe, étudiant les mathématiques et l'astronomie. Il rapporte à la même époque l’astrolabe, d’origine arabe. Il usa de sa position papale pour le faire adopter par les clercs occidentaux. Il faut en effet savoir que vers l'An Mil la pratique de la division (sans usage du zéro!) demandait l'équivalent de ce que nous nommerions aujourd'hui une unité de valeur dans une université.
Il est aussi à l'origine d'un abaque : abaque de Gerbert où les jetons multiples sont remplacés par un jeton unique portant comme étiquette un chiffre arabe (par exemple: les 7 jetons de la colonne unité sont remplacés par un jeton portant le numéro 7, les 3 jetons de la colonne dizaine par un jeton portant le chiffre 3 etc.).
L'usage du comput dans les documents administratifs a pu se développer vers l'An Mil grâce à ces découvertes importantes.
On lui devrait, en outre, l'invention du balancier.

Ce timbre contient un anachronisme: pape en l'An Mil, Sylvestre II porte une tiare datant du 14ème siècle! A cette époque, les papes portaient une coiffure pointue en étoffe blanche, qui sera ornée au 12ème siècle d'un premier anneau d'or. Puis vinrent les deux autres anneaux qui formèrent la tiare telle qu'elle est représentée sur le timbre. En outre les traits du visage sont probablement inexacts, puisqu'on ne connaît aucune gravure de l'époque.

Sources

dimanche 22 janvier 2006

Mathématiciens timbrés

Le site Images of Mathematicians on Postage Stamps répertorie des timbres du monde entier où figurent l'effigie d'un mathématicien ou un sujet mathématique. On peut voir par exemple le timbre édité en ex-URSS pour célébrer le 250e anniversaire de la naissance de Leonhard Euler.


Traduction: "250e anniversaire de l'illustre mathématicien et académicien Leonhard Euler". En arrière-plan, à gauche on reconnaît le Kounstkamera de St-Pétersbourg, ville où Euler a longtemps enseigné. Il est d'ailleurs enterré dans cette ville.
L'année prochaine, on fêtera le 300e anniversaire de sa naissance. Ce sera l'occasion de revenir sur ce grand mathématicien suisse.

dimanche 8 janvier 2006

La famille Bernoulli

Les familles de scientifiques sont rares. La famille Bernoulli (Bâle, Suisse), qui compte un grand nombre de mathématiciens célèbres, en est un exemple exceptionnel.

 

 Porträt Jacob I
Jacob I
1654-1705

 Porträt Johann I
Johann I
1667-1748

 

 

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 Kein Porträt bekannt 
Nicolaus I
1687-1759

 Porträt Nicolaus II Nicolaus II
1695-1726

 Porträt Daniel
Daniel
1700-1782

 Porträt Johann II Johann II
1710-1790

 

 

 

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 Porträt Johann III
Johann III
1744-1807

 Porträt Jacob II
Jacob II
1759-1789


Source : Bernoulli-Edition
Pour en savoir plus : Les Bernoulli

jeudi 5 janvier 2006

Tombe de Jacques Bernoulli

Comme j'étais en excursion à Bâle hier, j'en ai profité pour aller photographier la tombe de Jacques Bernoulli dans le cloître de la cathédrale de Bâle. Il s'agit en fait d'une plaque richement décorée placée sur un des murs du cloître, qui jouxte l'austère cathédrale. On remarque en bas de la plaque une spirale avec ces mots: Eadem mutata resurgo (Changée en moi-même, je renais). Bernoulli voulait que l'on grave sur sa tombe une spirale logarithmique, à laquelle il consacra un traité: "Spira mirabilis". La spirale logarithmique a des propriétés d'invariance très étonnante. En effet, lorsqu'on effectue une rotation de cette spirale, tout se passe comme si on avait effectué une homothétie. Malheureusement, le graveur s'est trompé et a dessiné une spirale d'Archimède!

A voir: La spirale logarithmique

jeudi 22 décembre 2005

Chiffres arabes

En tant qu’utilisateurs modernes des chiffres dits "arabes", nous en attribuons rapidement l’invention à ces mêmes Arabes. Pourtant, bien avant eux, les Indiens connaissaient et utilisaient déjà le système décimal tel que nous le connaissons et l’utilisons de nos jours. Ce n’est que bien plus tard que les mathématiciens arabes le découvrirent, l’adoptèrent et l’importèrent. Ainsi devrions-nous plutôt parler de chiffres indiens, car ce système de numérotation a été mis au point et utilisé par eux dès le 3e siècle avant J.-C. Il a ensuite été introduit dans le monde arabe vers le 7e ou le 8e siècle de notre ère et les premiers documents attestant de l’usage finalement tardif de ce système en Europe datent de 976.

Plus encore, l’idée reçue attribuant la paternité du zéro aux Arabes est à laisser pour ce qu’elle est, car le zéro était lui aussi bien connu des Indiens (et même des Mayas avant eux). Les Arabes le rapportèrent de leurs nombreuses conquêtes.

Source: Tatoufaux.com

samedi 26 novembre 2005

Le nombre d'Erdös

Avec ses 1500 articles (seul Euler en a écrit davantage), les contributions de Paul Erdös aux mathématiques sont nombreuses: en théorie des nombres, en combinatoire, en mathématiques discrètes, il fut un maître. Erdös (1913-1996) avait une exceptionnelle aptitude à poser des questions, et à s'entourer des mathématiciens les plus compétents pour résoudre ses conjectures. Il en résulte que Erdös a eu beaucoup de collaborateurs: 504 mathématiciens ont écrit un article en commun avec lui.
Les mathématiciens se sont amusés à définir un nombre de Erdös: tout mathématicien qui a publié un papier en commun avec Erdös a un nombre de Erdös égal à 1. Toute personne qui a publié un article en commun avec une personne qui a un nombre de Erdös égal à 1 a un nombre de Erdös égal à 2. Et ainsi de suite.... Albert Einstein est l'un d'entre eux: son nombre de Erdös est 2. Actuellement, le nombre d'Erdös le plus grand est 15.
La tableau ci-dessous (tiré du site The Erdös Number Project) montre le nombre de personnes ayant un nombre d'Erdös de 1, 2, 3,..., mais en comptant seulement les articles avec deux coauteurs: c'est le nombre d'Erdös de deuxième espèce ("Erdös numbers of the second kind" en anglais).

Erdös 0 - 1 personne (Paul Erdös, évidemment)
Erdös 1 - 230 personnes
Erdös 2 - 2153 personnes
Erdös 3 - 10118 personnes
Erdös 4 - 28559 personnes
Erdös 5 - 47430 personnes
Erdös 6 - 44102 personnes
Erdös 7 - 25348 personnes
Erdös 8 - 11265 personnes
Erdös 9 - 4299 personnes
Erdös 10 - 1570 personnes
Erdös 11 - 533 personnes
Erdös 12 - 206 personnes
Erdös 13 - 61 personnes
Erdös 14 - 25 personnes
Erdös 15 - 2 personnes

A lire : Paul Erdos : l'homme qui démontrait des théorèmes, par Jean-Pierre Boudine

dimanche 6 novembre 2005

The Mathematics Genealogy Project

Hébergé par la North Dakota State University, the Mathematics Genealogy Project cherche à rédiger une histoire de tous les mathématiciens du monde - tous ceux qui ont obtenu un doctorat en mathématiques. Les utilisateurs peuvent entrer les données (noms, universités, titre de la thèse et rapporteur), puis le système les organise en arbre généalogique, où les rapporteurs sont les "parents" et les élèves les "enfants".
Cela fournit une manière simple et utile de voir l'évolution de la discipline. Par exemple, Willard Quine (Harvard University, 1932) a étudié sous la direction d'Alfred North Whitehead (University of Cambridge, 1884), son "ancêtre". Quine lui-même a eu 19 étudiants, qui a leur tour ont eu 90 "descendants" intellectuels, etc.
Bien qu'il y ait des lacunes, particulièrement en Asie, les données sont très étendues: Gottfried Leibniz (Universität Altdorf, 1666) a maintenant plus de 31'000 descendants enregistrés, en commençant par Jacob Bernoulli.

vendredi 5 août 2005

The MacTutor History of Mathematics archive

The MacTutor History of Mathematics archive est LE site de référence sur les mathématiciens et leurs découvertes. Même s'il en manque encore quelques-uns (Dijkstra, Berge ou Perelman par exemple), ce site est très complet et permet de donner un visage à des noms que l'on rencontre régulièrement.

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