Le blog-notes mathématique du coyote

Si l'on devait désigner un jour de l'année pour "une journée des mathématiques récréatives", je proposerais le 10 avril. En effet, grâce à Seshat, j'ai remarqué que deux des plus grands auteurs d'énigmes, Dudeney et Lucas, ont ce jour en commun : Henry Ernest Dudeney est né le 10 avril 1857, tandis que Samuel Loyd est mort le 10 avril 1911.

Hypatie d'Alexandrie (v. 370 – 415) est une mathématicienne et philosophe grecque. Son père Théon d'Alexandrie, dernier directeur du Musée d'Alexandrie, est éditeur et commentateur de textes mathématiques. Il éduque sa fille en l'initiant à la mathématique et à la philosophie. Celle-ci a dirigé l'École néo-platonicienne d'Alexandrie.
En mars 415, Hypatie d'Alexandrie meurt lapidée en pleine rue par des chrétiens fanatiques qui lui reprochaient d'empêcher la réconciliation entre le patriarche Cyrille d'Alexandrie et le préfet romain Oreste à la suite de conflits sanglants entre diverses communautés religieuses d'Alexandrie.

D'après Socrate le Scolastique :

« Contre elle alors s’arma la jalousie ; comme en effet elle commençait à rencontrer assez souvent Oreste, cela déclencha contre elle une calomnie chez le peuple des chrétiens, selon laquelle elle était bien celle qui empêchait des relations amicales entre Oreste et l’évêque. Et donc des hommes excités, à la tête desquels se trouvait un certain Pierre le lecteur, montent un complot contre elle et guettent Hypatie qui rentrait chez elle : la jetant hors de son siège, ils la traînent à l’église qu’on appelait le Césareum, et l’ayant dépouillée de son vêtement, ils la frappèrent à coups de tessons ; l’ayant systématiquement mise en pièces, ils chargèrent ses membres jusqu’en haut du Cinarôn et les anéantirent par le feu. Ce qui ne fut pas sans porter atteinte à l’image de Cyrille et de l’Eglise d’Alexandrie ; car c’était tout à fait gênant, de la part de ceux qui se réclamaient du Christ que des meurtres, des bagarres et autres actes semblables. Et cela eut lieu la quatrième année de l’épiscopat de Cyrille, la dixième année du règne d’Honorius, la sixième du règne de Théodose, au mois de mars, pendant le Carême. ».

D'après Jean, évêque de Nicée :

« En ces temps apparut une femme philosophe, une païenne nommée Hypatie, et elle se consacrait à plein temps à la magie, aux astrolabes et aux instruments de musique, et elle ensorcela beaucoup de gens par ses dons sataniques. Et le gouverneur de la cité l'honorait excessivement; en effet, elle l'avait ensorcelé par sa magie. Et il cessa d'aller à l'église comme c'était son habitude.... Une multitude de croyants s'assembla guidée par Pierre le magistrat – lequel était sous tous aspects un parfait croyant en Jesus Christ – et ils entreprirent de trouver cette femme païenne qui avait ensorcelé le peuple de la cité et le préfet par ses sortilèges. Et quand ils apprirent où elle était, ils la trouvèrent assise et l'ayant arrachée à son siège, ils la trainèrent jusqu'à la grande église appelée Césarion. On était dans les jours de jeûne. Et ils déchirèrent ses vêtements et la firent traîner (derrière un char) dans les rues de la ville jusqu'à ce qu'elle meure. Et ils la transportèrent à un endroit nommé Cinaron où ils brûlèrent son corps. Et tous les gens autour du patriarche Cyrille l'appelèrent 'le nouveau Theophile', car il avait détruit les derniers restes d'idolatrie dans la cité.»

Hypartie peu de temps avant sa mort, alors que les Chrétiens lui ont arraché ses vêtements et l'ont acculée dans un temple.
Tableau de Charles William Mitchell, 1885.

Le nicaragua a édité une série de 10 timbres réprensentant chacun une formule de math ou de physique.

Histoires de savoir - La chronique de Jean-Luc Nothias - Le Figaro - 31 octobre 2007

Bien évidemment, ce n'est pas Pythagore. Ce serait trop simple. Tout comme Archimède et sa baignoire ou Newton et sa pomme, bien des légendes se sont construites au fil du temps. On ne sait même pas si Pythagore s'est un jour intéressé à ce théorème, connu bien avant lui comme le montrent des tablettes babyloniennes en argile, datant de 1800-1700 av. J.-C. On y trouve des séries de chiffres qui satisfont à ce théorème dit de Pythagore. Rappelons qu'il stipule que dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La fameuse formule a^² = b^² + c^².

On ne sait pas grand-chose de la vie de Pythagore et il n'a laissé aucun écrit direct. Mais qu'il ait été à son époque un « grand » des mathématiques n'est pas contestable. L'époque à laquelle il vivait est d'ailleurs particulièrement riche en grands esprits. Pythagore est né vers 570 av. J.-C. sur l'île de Samos, comme Archimède deux siècles plus tard. Pythagore est contemporain de Confucius et Lao-Tseu, de Bouddha et de Zarathoustra. Mais il ne les connaissait sans doute pas. Après avoir apparemment beaucoup voyagé, il se fixe à Crotone en Calabre, dans le sud de l'Italie (il y mourra vers 480 av. J.-C.). Là, il fonde une espèce de fraternité mystique basée sur les mathématiques et les nombres qui, pensent-ils, sont à la base de l'harmonie universelle. « Tout est nombre » est leur principe et ils attribuent à toute chose un nombre. Ils établissent aussi une correspondance entre les nombres et les mécanismes de la nature. « Les nombres seuls permettent de saisir la nature véritable de l'univers », affirment-ils. Ils croient à la réincarnation, Pythagore lui-même s'estimant la réincarnation d'Euphorbe, un héros troyen. Ils ont des règles de vie strictes comme manger cru et végétarien, ne pas s'habiller de laine ou... ne surtout pas manger de haricots.

Si Pythagore n'est pas l'auteur de « son » théorème, son école a apporté de nombreuses nouveautés en mathématiques. En premier lieu parce que les pythagoriciens avaient une vision du monde très en avance sur leur époque. Ils pensent ainsi, déjà, que la Terre est ronde et que les astres se déplacent sur des cercles concentriques qui obéissent à des lois mathématiques. Il invente ainsi le terme « cosmos » qui veut dire ordre. Ce sont aussi les premiers à développer les démonstrations (le théorème de Pythagore peut aujourd'hui se démontrer de plus de 350 façons différentes). Et ils ont beaucoup étudié les sons et les notes de musique, établissant les harmoniques, les accords et le rapport entre longueurs des cordes et sons.

Disciples déstabilisés

En revanche, ils refusent le zéro, qu'ils apparentent au « vide », de « non-existence » et que donc la nature refuse, et s'empêtrent dans les nombres dits « incommensurables » que l'on appelle aujourd'hui irrationnels. C'est-à-dire que ce ne sont ni des entiers, ni des fractionnaires. Les pythagoriciens ont découvert qu'il est impossible de trouver deux nombres entiers tels que le carré de l'un soit le double du carré de l'autre. Cette question des nombres irrationnels aurait été découverte en constatant que la diagonale d'un carré ne contient pas un nombre entier de fois la longueur du côté du carré : on ne peut pas dire que la diagonale est une fois et demie, ou deux fois, ou deux fois et demie plus longue que le côté. Cela a beaucoup déstabilisé les disciples de Pythagore car cela allait contre leur principe que dans la nature, un nombre est associé à chaque chose. Ils ont quand même beaucoup développé l'arithmétique, ont fondé les bases de la théorie des proportions et étudié les nombres pairs et impairs.

Mais comme de nombreux autres domaines scientifiques, il n'y a pas eu de progression linéaire et constante. Il y a parfois des avancées, parfois des reculs. Au XVIIIe siècle av. J.-C., les Mésopotamiens savaient résoudre des équations du second degré, ainsi que quelques équations du troisième et même du quatrième degré. Deux siècles plus tard, ce savoir se sera apparemment perdu et les Égyptiens ne sauront plus résoudre que des équations du premier degré.

L'histoire du zéro est aussi zigzagante. Si les pythagoriciens refusaient le zéro, longtemps avant eux, les Babyloniens l'utilisaient. Mais dans des formes balbutiantes. Toutes les civilisations, indiennes, mayas et autres, ont, à un moment ou à un autre, flirté avec le zéro. Et le plus difficile pour nous aujourd'hui est d'arriver à comprendre comment on pouvait faire des calculs sans le zéro tel que nous le connaissons, à la fois quantité nulle et chiffre des dizaines, centaines, milliers, etc.

L' Os d'Ishango, aussi appelé Bâton d'Ishango, daté de près de 23 000 ans avant notre ère, semble être la plus ancienne attestation de la pratique de l'arithmétique dans l'histoire de l'humanité. L'archéologue belge Jean de Heinzelin de Braucourt mit au jour cet ossement en 1950 au bord du lac Édouard dans la région d'Ishango au Congo belge, de nos jours en République démocratique du Congo, près de l'Ouganda. L'ossement est en exposition au Muséum des Sciences naturelles à Bruxelles en Belgique.
Il s'agit d'un os de 10,2 cm provenant d'un animal non identifié, découvert dans des couches de cendres volcaniques, qui possède à son sommet un fragment de quartz enchâssé. Plusieurs entailles se retrouvent organisées en groupe sur trois colonnes. Bien qu'il existe des présomptions de sa nature arithmétique, l’os fait l’objet de nombreuses interprétations.

• Wikipédia : Os d'Ishango
• L'os d'Ishango : l'objet mathématique le plus ancien

Cyril, Nicolas et Pierre sont lycéens à Notre-Dame du GrandChamp, à Versailles. Ce sont eux qui ont réalisé le site intitulé Le Chiffre, dédié à l'histoire des mathématiques, et plus particulièrement à celle du Chiffre : sa naissance, ses origines, son évolution durant les milliers d'années qui nous séparent de son invention.

Un bon exemple de ce que pourrait être un travail de maturité chez nous.

Colette Poiriel a réalié un dessin animé avec des élèves de 5ème : Eratosthène, l'Arpenteur de la Terre. Le résultat obtenu est très intéressant à visualiser. D'autres projets similaires pourraient être organisés sur d'autres thématiques de l'Histoire des Sciences, en collège ou en lycée. Une bonne idée quoi qu'il en soit.

On sait que la plupart des mots de la langue mathématique sont issus du langage courant. Mais quand et par qui ont-ils été créés, c’est-à-dire introduits dans la langue mathématique ? Cette question soulève des problèmes importants, tant sur le plan historique (la datation n’est pas toujours facile) que sur le plan épistémologique. En effet, certains mots ont été inventés avant le concept qu’ils ont fini par désigner, et donc jouaient un rôle de métaphore, d’autres ont été créés après le concept qu’ils désignaient, d’autres enfin ont été modifiés à mesure que le concept qu’ils désignaient se précisait. Ainsi, en 1684, Leibniz substitue les mots algébrique et transcendant aux mots géométrique et mécanique utilisés par Descartes à la suite des grecs pour classifier les courbes : ce faisant, il modifie leur compréhension. Lorsqu’il introduit le mot fonction en 1692, Leibniz entend des portions de lignes droites dépendant de points variables sur une courbe, comme la tangente ou la normale ; si le mot est resté, la notion qu’il désigne a beaucoup évolué depuis. Aux nombres impossibles du XVIème siècle, Descartes a substitué les nombres imaginaires, signifiant par là que ces nombres n’avaient plus rien d’impossible. Aux nombres imaginaires de Descartes, Gauss a substitué les nombres complexes, signifiant que ces nombres n’avaient plus rien d’imaginaire, qu’ils n’étaient plus des intermédiaires formels d’un calcul réel à un autre, mais qu’ils accédaient au statut de nombres à part entière, bien connus et domestiqués.
Certains mots ne se sont pas imposés, et ont été remplacés par d’autres. Les touchantes sont devenues des tangentes. Les fluxions de Newton s’appellent aujourd’hui dérivées, et les fonctions synectiques de Cauchy furent rebaptisées holomorphes par Briot et Bouquet. Plus récemment, le géomètre Jacques Tits, à l’imagination plutôt macabre, inventa les notions importantes de squelette, de cimetière, et d’ossuaire, qui sont devenues plus prosaïquement des murs, des appartements et des immeubles... Charles Ehresmann, inventeur des mots : fibre, jet, germe, tige, avait quant à lui l’imagination plus botanique.
On est surpris de la création tardive de certains mots d'usage courant : le mot injection apparaît en 1950 sous la plume de S. MacLane, l’adjectif injectif en 1952 dans les Foundations of algebraic topology d’Eilenberg et Steenrod, l’adjectif surjectif apparaît en 1956 sous la plume de Chevalley, le mot surjection en 1964 dans les Foundations of algebraic topology de Pervin. Et c’est sans doute à cette époque que le mot bijection s’est substitué à l’adjectif biunivoque.

On trouvera sur une des pages des Mathématiques du Lycée Claude Fauriel une liste de mathématiciens et les mots qu'ils ont créés. Le texte ci-dessus est extrait de cette page.

Par Laurent Sacco, Futura-Sciences

On attribue généralement à Newton et à Leibniz la découverte de ce qui est probablement le plus puissant outil mathématique à la disposition de l’esprit humain : le calcul différentiel et intégral. Comme le montre George Gheverghese Joseph de l’University of Manchester, certains des résultats obtenus à l’aide de l’analyse infinitésimale à partir de la fin du 17ième siècle en Europe, étaient déjà connus des mathématiciens de l’école du Kerala, au sud-ouest de l’Inde, vers 1 400. Selon lui, on ne peut d’ailleurs pas écarter la possibilité qu’une partie de l’inspiration de Leibniz et Newton ne provienne de la transmission des travaux de Madhava et Nilakantha en Occident par les jésuites.
La brillance de l’école Indienne en mathématiques est reconnue depuis longtemps mais l’importance des résultats découverts dans le domaine du calcul différentiel et intégral par l’école du Kerala est curieusement assez mal appréciée et rarement citée. Pourtant, c’est dès 1835 que l’anglais Charles Whish avait attiré l’attention du monde savant en publiant un article sur quatre traités de mathématiques et d’astronomie Hindous de l’école du Kerala, ceux de Nilakantha (Tantra Samgraha), Jyesthadeva (Yuktibhasa), Putumana Somayaji (Karana Paddhati) et enfin le Sadratnamala de Sankara Varman.
Dans cet article, et certainement à son grand étonnement, il insistait sur le fait que les mathématiciens et astronomes de cette partie de l’Inde avaient non seulement jeté les bases d’un calcul différentiel et intégral mais qu’ils étaient aussi en possession de résultats obtenus des siècles après eux en utilisant les algorithmes du calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Ils connaissaient en effet, par exemple, les développements en séries de Gregory et Leibniz pour la fonction arctangente et ceux des fonctions sinus et cosinus généralement attribués à Mac-Laurin et Newton.
Ces résultats semblent tous venir d’un seul et même mathématicien né en 1350, Madhava de Sangamagramma, qui semble avoir bénéficié d’un génie comparable à son compatriote Srinivasa Aiyangar Ramanujan. Curieusement, et même si des centaines d’années les séparent, ce dernier était né à 400 km au sud-ouest de Chennai (Madras) dans l’état du Tamil Nadu. C'est-à-dire pas très loin du lieu de naissance de Madhava, Kochi, au Kerala. Il y a d’ailleurs certaines similarités entre les approches de Ramanujuan et Madhava, or il semble que la mère de Srinivasa Ramanujan possédait des connaissances assez profondes en mathématiques propres à la tradition Hindou. La connexion entre les deux génies est-elle autre chose que géographique ?

Une transmission à l'Occident ?

Joseph avait déjà publié un livre en 1994 pour lutter contre un certain eurocentrisme ayant tendance à minimiser l’importance des découvertes mathématiques en dehors de l’Occident.
Ce livre avait déjà pour but de faire plus largement connaître l’école de mathématiques du Kerala. Malheureusement, celui-ci n’avait pas eu un écho suffisant à ce sujet et c’est à l’occasion d’une troisième réédition, ainsi que suite à la découverte d’un nouveau document sur les accomplissements de ces mathématiciens dans le domaine de l’analyse, que Joseph revient à la charge.
Une des possibilités ouverte par ce livre est fascinante. Il faut savoir que le Kerala a toujours été l’un des états les plus riches et les plus civilisés de l’Inde. Déjà à l’époque de l’empire Romain, les bateaux européens accostaient ses berges pour rapporter des épices, ce qui fait qu’il n’est pas rare d’y trouver de grandes quantités de pièces frappées à l’effigie des empereurs. Surtout, en 1495, Vasco de Gama arrive à Calicut. Les jésuites s’implantent dès lors en Inde et commencent à étudier et traduire les textes Hindous. Un siècle plus tard Grégoire XIII lance la révision du calendrier. Or, dans le comité chargé de celle-ci se trouve le jésuite, mathématicien et astronome Clavius dont on sait qu’il avait demandé à ce que l’on examine systématiquement la façon dont les autres pays établissaient leur calendrier. Il semble donc très probable que les découvertes des mathématiciens et astronomes du Kerala aient ainsi été rapportées en Europe même si aucune preuve n’existe à ce jour.
Toujours est-il que l’emploi des séries infinies, et de certaines démonstrations, très similaires à celles de l’école du Kerala, commencent à faire leur apparition en Occident quelques dizaines d’années plus tard. Coïncidences ? Les archives du Vatican contiennent peut-être la réponse.

Des précurseurs ?

Peut-on vraiment considérer les Hindous comme des précurseurs et des devanciers de Newton et Leibniz, voire même leur inspirateurs secrets ?
Précurseurs certainement, devanciers, à part pour certains résultats particuliers, probablement pas, même si des textes surprenants dorment peut-être encore quelque part.
Il faut savoir que des notions de calcul différentiel et intégral avec des séries infinies étaient déjà présentes chez Archimède. De plus, il n’y a pas à proprement parler d’algorithmes généraux du calcul différentiel et intégral dans les travaux des mathématiciens Indiens. Les travaux de Leibniz et Newton sont beaucoup plus larges et même en imaginant une influence directe sur eux des découvertes de Madhava, ils sont allés au-delà.
Les circonstances des découvertes de Leibniz et Newton sont assez bien documentées et les sources pointent toutes en direction des travaux d’Archimède, de façon directe ou indirecte. Il est bien connu, de plus, que c’est en lisant les travaux de Pascal sur le problème de la cycloïde que Leibniz a pris conscience de la relation liant primitive d’une fonction et problème de quadrature d’une aire : il n’y avait pas de lien direct avec une série infinie.
Reste que les performances des mathématiciens de l’école du Kerala sont spectaculaires et méritent à juste titre d’être universellement reconnues. Incontestablement, leurs noms doivent maintenant figurer au panthéon des grands mathématiciens de l’humanité avec Archimède et Al-Khwarizmi.