Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


samedi 5 avril 2008

Un pari

Basile propose un pari à Arnaud :
"Ce livre contient la liste de toutes les communes de Suisse, avec leur nombre d'habitants. On prend une page au hasard et, les yeux fermés, on place le doigt au hasard sur une commune. On regarde le nombre de ses habitants, et plus précisément, le premier chiffre composant ce nombre. Si ce chiffre est supérieur à 4, je t'offre à boire. Sinon, c'est toi qui paies. Es-tu d'accord ?"

dimanche 2 mars 2008

Remettons les horloges à l'heure

Louis ne possède pas de montre, mais il a une horloge très précise qu'il oublie souvent de remonter. Quand celle-ci s'arrête, il va chez son ami René, avec lequel il passe la soirée, puis il rentre à la maison, et peut remettre son horloge à l'heure.
Comment procède-t-il ? Il ne connaît pas la longueur de son trajet, mais il sait qu'il va aussi vite à l'aller qu'au retour.

lundi 11 février 2008

Sudoku dans Foxtrot

dimanche 3 février 2008

Les cartes numérotées

On dispose de 100 cartes. Sur chacune sont écrites deux entiers consécutifs, de sorte que chacun des entiers 1, 2, 3, ..., 199, 200 est écrit sur une et une seule carte.

  1. Alice a choisi 21 cartes au hasard. Elle fait la somme de tous les entiers écrits sur ces cartes et annonce à Bob que cette somme est égale à 2004. Prouver qu'Alice s'est trompée dans son calcul.
  2. Alice recompte et annonce 2005. Prouver qu'elle s'est à nouveau trompée dans son calcul.
  3. En fait, le total d'Alice est 2003. Pendant ce temps, Bob a choisi 20 cartes au hasard parmi celles qui restaient. Il fait la somme des nombres écrits sur ses cartes et annonce à Alice que cette somme est 1396. Prouver que Bob s'est trompé dans son calcul.
Problème tiré des olympiades académiques mathématiques 2005 (Versailles). Cela devrait vous faire patienter jusqu'à samedi. Je pars en camp de ski avec mes élèves et je vais en profiter pour faire un petit jeûne informatique...

samedi 26 janvier 2008

Les moutons, les loups et les serpents

Sur une île, chaque jour et dans cet ordre, chaque loup tue un mouton, chaque mouton tue un serpent et chaque serpent tue un loup. Après dix jours il ne reste plus sur l'île qu'un mouton et aucun autre animal.
Combien y avait-il d'animaux de chaque espèce au départ ?

Problème tiré des Olympiades académiques 2006 (Montpellier)

vendredi 25 janvier 2008

Codage de codes postaux

Sur le courrier que vous recevez par la poste, vous avez peut-être remarqué une série de bâtonnets de couleur orange inscrits en bas à droite des enveloppes. Il s'agit en fait d'un codage du code postal utilisé pour le tri automatique du courrier.
Le tableau ci-dessous vous montre cinq exemples de code postal avec leur codage en bâtonnets. Examinez-les attentivement afin de trouver quel code postal est représenté par la dernière série de bâtonnets.


Problème tiré des Olympiades académiques 2006 (Reims)

mercredi 28 novembre 2007

Quelle carte complète cette suite ?

lundi 29 octobre 2007

Toujours 9

Considérons les 4 chiffres composant l'année 1694, soit 1, 6, 9 et 4 et réordonnons-les de manière totalement aléatoire pour former un autre nombre de 4 chiffres. Supposons que l'on parvienne à 9641, on soustrait alors le plus petit de ces 2 nombres au plus grand, c'est-à-dire ici 9641 - 1694; on trouve alors 7947. Additionnons les 4 chiffres obtenus: 7+9+4+7 = 27. Recommençons jusqu'à n'avoir plus qu'un seul chiffre: 2+7=9. On aboutit donc à 9.
Rien d'extraordinaire me direz-vous.
On aurait cependant obtenu le même résultat avec un autre arrangement, par exemple 1496 ou 4691, etc.
On aurait obtenu également le même résultat en partant d'un autre nombre de base. En fait, on aurait même pu former un nombre de base plus grand, en incluant le mois et le jour.
Maintenant, faites l'essai avec votre propre date de naissance. Y a-t-il une raison pour arriver systématiquement au chiffre 9 ?

samedi 8 septembre 2007

Project Sudoku


Le projet sur le Sudoku de l'université des technologies de Graz vient de débuter. L'objectif est de déterminer le nombre minimum de dévoilés (les cases préremplies) pour garantir une solution unique dans une grille de Sudoku. Pour l'instant, seuls les linuxiens peuvent participer. Une application pour Windows et Mac devrait arriver dans les jours à venir.
Le Sudoku est un jeu en forme de grille défini en 1979 et inspiré du carré latin ainsi que du problème des 36 officiers du mathématicien suisse Leonhard Euler. Le but du jeu est de remplir cette grille avec des chiffres allant de 1 à 9 en respectant certaines contraintes, quelques chiffres étant déjà disposés dans la grille. Une question intéressante consiste à se demander quel est le nombre minimum de dévoilés suffisants pour que le Sudoku n'admette toujours qu'une seule solution.
Étonnamment, jusqu'ici, aucune meilleure limite inférieure n'a été obtenue par le raisonnement mathématique. Des recherches ont déjà montré qu'il est possible de construire au moins 41.000 grilles de Sudoku avec 17 dévoilés. Ainsi, aujourd'hui, on peut déjà dire que le nombre minimum de dévoilés pour garantir une solution unique est compris entre 8 et 17.
Un projet s'intéresse déjà au cas d'une grille avec 16 dévoilés, mais il existe 5.472.730.538 solutions (en prenant en compte la symétrie, le réétiquetage, etc.), ainsi cette approche pourrait prendre énormément de temps.
La méthode de travail du projet de l'université de Graz est tout autre. On part d'une grille à 8 dévoilés puis on analyse les 92.248 solutions, si on ne trouve aucune solution unique, on continue en analysant toutes les solutions dans une grille admettant 9 dévoilés, et ainsi de suite jusqu'à 16. Dès l'instant où un utilisateur découvre une solution unique, le projet s'arrête puisque le nombre minimal de dévoilés sera alors déterminé. Si aucune solution unique n'est découverte jusqu'à 16, on pourra dire que 17 est le nombre minimum de dévoilés pour garantir une solution unique.

Voir la description détaillée du projet

vendredi 17 août 2007

Deux nombres à découvrir

André et Bernard écrivent chacun un entier positif (ou nul) sur une feuille de papier. Chacun ignore le choix de l'autre, mais communique son choix à Chantal. Celle-ci écrit alors deux entiers au tableau, dans un ordre quelconque. Un des deux entiers correspond à la somme des nombres choisis par André et Bernard; l'autre est un entier quelconque, choisi au hasard.
Chantal demande à André s'il peut déterminer le nombre choisi par Bernard. Si André répond que non, elle demande à Bernard s'il peut déterminer le nombre choisi par André. Si Bernard répond qu'il ne peut pas non plus, elle redemande à André de trouver le chiffre de Bernard, puis continue si nécessaire avec Bernard, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'elle finisse pas obtenir une réponse affirmative.
Chantal est-elle stupidement entêtée ou est-elle sûre d'obtenir une réponse positive après un nombre fini d'étapes ? Evidemment, on suppose qu'André et Bernard ne mentent jamais, et qu'ils sont suffisamment intelligents pour répondre "oui" lorsqu'il existe un moyen de connaître le nombre de l'autre.

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