Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

jeudi 6 juillet 2006

Plus magazine

Plus magazine tries to open a window to the world of maths, with all its beauty and applications, by providing articles from the top mathematicians and science writers on topics as diverse as art, medicine, cosmology and sport.

vendredi 2 juin 2006

Les ancêtres français du Sudoku

Le Sudoku n'est apparemment pas une invention récente. A la fin du XIXème siècle, les Français jouaient en effet à remplir des grilles très proches de ce jeu, qui étaient publiées dans les grand quotidiens de l'époque, révèle Christian Boyer dans la revue Pour la Science du mois de juin 2006. Selon lui, la grille la plus proche d'un Sudoku et celle de B Meyniel, publiée dans le quotidien La France du 6 juillet 1895. Les premiers Sudokus ont été publiés en 1979 par l'Américain Howard Garns, avant de paraître dans les revues japonaises dans les années 80 et 90, où ce jeu a pris son nom. Leur succès international a vraiment démarré grâce au Néo-Zélandais Wayne Gould, grâce à un logiciel de son invention qui permettait de générer facilement des grilles, et qui en a publiées dans le Times de Londres à partir de novembre 2004.

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samedi 1 avril 2006

Surprise biologique

En 1995 est paru dans la revue Pour la Science un article très intéressant, que je donne volontiers à mes élèves pour qu'ils apprennent à lire attentivement des articles scientifiques. Il l'intitulait "Surprise biologique". On y expliquait que la séquence des bases du chromosome 3 de dipneuste (voir photo) reproduit en base 4 les chiffres de pi.

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vendredi 24 mars 2006

30 ans de recherche opérationnelle

Un article de d'Yves Crama, de l'université de Liège, m'a beaucoup intéressé, puisque j'ai fait ma thèse au ROSO, une des deux chaires de recherche opérationnelle de l'EPFL: "30 ans de recherche opérationnelle et d'optimisation mathématique", dans la revue Mathématique et pédagogie, No 153 (sept.-oct. 2005), pp. 23-39.
A propos, il existe une association suisse de Recherche Opérationnelle, l'ASRO, qui organise chaque année un concours pour les lycéens suisses. Une bonne occasion de connecter les mathématiques à des problèmes de la vie réelle. Mes élèves d'option complémentaire ont participé au concours de cette année. On attend les résultats avec impatience...

mardi 7 mars 2006

fr.arXiv.org

fr.arXiv.org propose un libre accès à des centaines de milliers d'articles en ligne dans le domaine de la physique, des mathématiques, des sciences "non linéaires", de l'informatique et de la biologie "quantitative" (?). Une mine, même si les articles sont en anglais et de niveau universitaire.

lundi 6 mars 2006

Ivars Peterson's MathTrek

Ivars Peterson tient la rubrique MathTrek dans la revue Science News. Ses articles sont disponibles sur le web.

dimanche 26 février 2006

QCM en mathématique

Un intéressant article sur la confection et l'usage des QCM en math dans le bulletin 462 de l'APMEP (janvier-février 2006), pp. 11-30. Je suis justement en train d'en réaliser pour aider mes élèves à s'auto-évaluer en ligne avant les épreuves.

jeudi 23 février 2006

La fin des certitudes en mathématiques ?

La fin des certitudes en mathématiques ?
Par Salvatore Tummarello, Futura-Sciences, le 21/02/2006 à 16h21

Les preuves de certains théorèmes mathématiques sont-elles si compliquées qu'il serait impossible de vérifier leur validité ?

Une démonstration d'un énoncé mathématique doit respecter un ensemble de règles logiques : cette rigueur est garante de la validité de cet énoncé. Or certains experts dont Keith Devlin affirment cependant que certaines démonstrations sont désormais impossibles à vérifier avec certitude : "I think that we're now inescapably in an age where the large statements of mathematics are so complex that we may never know for sure whether they're true or false" ("Je pense que nous sommes désormais dans une ère où les grands théorèmes en mathématiques sont si complexes que nous ne pourrons jamais savoir avec certitude s'ils sont vrais ou faux"). Cette opinion a de quoi choquer : retour sur les raisons qui peuvent motiver un tel constat.

La classification des groupes simples finis

Au terme d'un travail de près de trente ans, un groupe de mathématiciens donne en 1983 la classification définitive des groupes simples finis (incluant les 26 groupes sporadiques, voir notre dossier sur la classification des groupes ). L'aboutissement de ce programme titanesque représente des milliers de pages : on conçoit aisément l'ampleur de la tâche que serait la vérification pas à pas de toutes les étapes de la preuve ! Est-ce à dire selon Keith Devlin que nous ne pourrions jamais avoir la certitude de la validité du théorème ?
Non, car les travaux ne se sont pas arrêtés en 1983 ! L'éminent mathématicien Jean-Pierre Serre fut l'un des premiers à émettre des doutes quant à la rigueur de la justification, la possibilité pour qu'un tel ouvrage contienne des erreurs n'étant évidemment pas à écarter. Des lacunes furent tôt mises en évidence et débuta le travail de les combler, qui fut achevé dans les années 90. De plus sous l'impulsion de Daniel Gorenstein, une révision et une simplification de la preuve fut mise en oeuvre, culminant avec l'édition en 2005 de six volumes consacrés à la classification des groupes simples finis.

Le théorème des quatre couleurs

En 1852, Francis Guthrie constate qu'il suffit de quatre couleurs pour colorier la carte (pourtant compliquée) des cantons d'Angleterre. Il pose alors la question à son frère mathématicien de savoir si ce fait est valable pour toute carte plane : la conjecture des quatre couleurs est née. Un an après sa publication en 1878 par Cayley, Kempe propose une preuve qui sera réfutée seulement en 1890 par Heawood. A cette occasion, ce dernier publie une démonstration valable, mais pour cinq couleurs.
Suite aux avancées majeurs de Heesch en 1969, le théorème sera finalement démontré en 1976 par Appel, Haken et... un ordinateur ! En fait, le programme de Heesch aboutissait à un grand nombre de configurations à examiner au cas par cas : cette tâche inenvisageable à la main pouvant s'effectuer de façon mécanique à l'aide de l'informatique, Appel et Haken ont pu démontrer après 1200 heures de calculs, figures à l'appui, le théorème des quatre couleurs.

La conjecture de Képler

Comment empiler des sphères en perdant le moins d'espace possible ? Comme le suggère l'intuition, il suffit de procéder comme l'épicier sur son étalage. Mais cette question apparemment élémentaire est un formidable casse-tête pour les mathématiciens ! Cette conjecture semble désormais être un théorème. Pourquoi ne l'est-elle pas ? Car les vérifications ne sont pas encore finies... après des années de relecture par un comité constitué de douze personnes.
La démonstration soumise par Thomas Hales en 1998 comprend en effet un article de 250 pages mais aussi un vaste programme informatique. L'analyse étant particulièrement longue et difficile, à défaut d'avoir pu terminer cette dernière, les relecteurs ont affirmé que la preuve est correcte "à 99%". S'agit-il d'un théorème ? Si la tentation est grande de céder à l'optimisme, l'avenir seul en apportera la certitude.

Conclusion

Keith Devlin voit d'un bon oeil cette faiblesse des mathématiques et trouve que cela les rend plus humaines ("It makes it more human"). Pourtant l'histoire fourmille de démonstrations qui furent soit invalidées, soit complétées pour les rendre rigoureuses : nous avons vu le cas de la fausse démonstration de Kempe. On pourrait également citer parmi les plus célèbres la démonstration de la loi de réciprocité quadratique par Legendre, la tentative de d'Alembert au sujet du théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) ou encore les nombreuses fausses démonstrations du cinquième postulat d'Euclide. Les mathématiques, comme les autres sciences, sont élaborées par des hommes...
Au-delà de ces évidences, la difficulté de vérifier les démonstrations modernes invite à considérer le problème d'un point de vue qualitatif. Car un théorème peut souvent être démontré de plusieurs manières différentes : Tchebichev déploya par exemple une lourde machinerie pour montrer un résultat que Erdös parvint avec beaucoup d'habilité à résumer à de l'arithmétique élémentaire. De manière plus terre à terre, on peut constater qu'il existe des manières plus élégantes de calculer la somme des entiers de 1 à 100 que d'additionner péniblement les cent nombres.
Erdös précisait qu'une démonstration devait expliquer le pourquoi du théorème. Ce n'est pas le cas de la démonstration du théorème des quatre couleurs, pourtant irréprochable sur le plan logique. Toutes les démonstrations ne sont donc pas égales du point de vue qualitatif et il est très probable que les générations suivantes remplaceront les longues démonstrations actuelles par quelques lignes à l'aide de concepts nouveaux.
Affinant notre connaissance et engendrant des questions nouvelles, l'originalité et la fécondité des idées mises en jeu dans les démonstrations demeurent donc la clé de voûte des mathématiques : ce sont elles qui font dire aux amateurs et experts que les mathématiques sont belles.

mercredi 22 février 2006

Gazeta Matematica

Roumanie : une revue de mathématiques unique au monde

Bucarest, 20 fév. - L’édition électronique de Gazeta Matematica /la Gazette des Mathématiques/ a enregistré, trois mois après son lancement, plus de 2 000 ventes de la collection complète, étant considérée par les spécialistes comme un produit unique au monde par la valeur de son contenu et la réalisation technique, écrit le quotidien Romania libera. Selon le journal, ont été mis en format électronique plus de 80 000 problèmes et articles mathématiques parus dans la revue, couvrant plus d’un siècle d’existence de la revue d’éducation mathématique la plus ancienne et réputée de Roumanie.
"Avant de démarrer le projet, dans le pays il y avait moins de 10 collections quasicomplètes de la revue, affectées par le temps et inaccessibles au public", a affirmé pr Mircea Trifu, secrétaire général de la Société des Sciences mathématiques de Roumanie, cité par Romania libera.
Selon pr Trifu, "nous avons réalisé par cette initiative un premier pas important dans le retour de la Gazette à la place due parmi les valeurs roumaines authentiques".
Le premier numéro de Gazeta Matematica date du 15 septembre 1895 et a été publiée onze décennies sans interruption, même dans l’entre-deux-guerres, représentant "une véritable école pour de nombreuses générations de jeunes passionnés, mais aussi pour bien des élèves primés aux olympiades de math".
Avant 1990, la revue paraissait dans plus de 120 000 exemplaires, mais les derniers temps le tirage a chuté à 10 000 exemplaires.
Gazeta Matematica en format électronique a été lancée par la Société des Sciences mathématiques, en partenariat avec la société Softwin, à l’occasion du 110e anniversaire de la parution de la revue.

Source : Roumanie.com

mardi 13 décembre 2005

Comment peut-on être mathématicien ?

Comment peut-on être mathématicien ?, par Jean-Paul Delahaye, pour Futura-Sciences, le 2 juin 2002

Une proportion importante de gens considère que les mathématiques sont nécessairement ennuyeuses et que rien ne saurait justifier qu'on consacre son temps à les pratiquer une fois l'école quittée, à moins qu'on y soit professionnellement astreint.
Nul n'ignore cependant que des hommes et des femmes choisissent de faire des mathématiques leur métier, voire y consacrent leur vie avec passion. Ils ou elles sont professeurs, chercheurs ou ingénieurs. On les regarde comme d'étranges et improbables créatures et parfois peut-être on soupçonne que leur amour des mathématiques cache quelque anomalie mentale plus ou moins grave, voire un déséquilibre dangereux : l'amour de la rigueur et de ce qu'on croit être la froideur des mathématiques ne s'accompagne-t-il pas obligatoirement d'un dessèchement de la sensibilité et d'une atrophie du goût pour les arts et les choses humaines ? Mais comment peut-on être mathématicien ?
La réponse, je crois, chacun la porte en soi car chacun aime les mathématiques d'une façon ou d'une autre. Les joueurs d'échecs ou de bridge se doutent bien que le plaisir qu'ils tirent des calculs qu'ils mènent dans leur tête est assez proche de celui qu'éprouvent les mathématiciens. C'est vrai, jouer aux cartes, aux dés, aux dominos, ou pratiquer la confrontation par échiquier interposé est une activité mathématique et si vous avez goûté cela, même une seule fois dans votre vie, vous savez ce qu'est le plaisir mathématique. Mais mieux encore, si vous lisez des romans policiers avec délectation ou que les films d'espionnages provoquent votre excitation vous pouvez aussi comprendre ce qu'est la satisfaction d'un mathématicien : le raisonnement (parfois très complexe) les retournements d'intrigues, la recherche des indices et leur mise bout à bout pour élucider ce qui dans un premier temps apparaît comme absurde ou même impossible, est une activité ou forme et sens jouent l'un avec l'autre et se combinent de façon analogue à ce qu'on pratique en mathématiques.
La seule différence entre celui qui aime les jeux, les énigmes policières ou l'intrication des scénarios complexes et le mathématicien est que ce dernier continue à éprouver du plaisir même lorsque le partenaire en face de lui a disparu, lorsque le contexte psychologique ou social du roman ou du film n'est plus présent pour habiller et justifier l'activité de raisonnement et de recherche de combinaisons. Le mathématicien est donc cet être commun que nous avons tous en nous et qui comprend les symboles, les figures géométriques, les raisonnements et les calculs et qui comme enivré de ce plaisir pur cherche à en renouveler l'expérience jour après jour. Pour se procurer des doses de plus en plus forte de cette substance intellectuelle qu'est l'abstraction et le jeu des combinaisons le mathématicien entre alors dans un pays où, il est vrai, il se trouve vite isolé.
Il est malheureux que les mathématiciens le plus souvent ne sachent pas faire partager leur enivrante expérience et que les programmes et méthodes utilisées dans l'enseignement conduisent la majorité des élèves à la conclusion que ça n'est pas drôle ni intéressant. La musique enseignée à l'école produit souvent le même effet et si chacun n'avait rencontré la musique qu'à l'école elle aurait aussi peu d'amateurs que les mathématiques (elle est d'ailleurs comme elles, combinatoire, abstraite, formelle). Le malheur des mathématiques est qu'elles n'offrent pas de seconde chance comme la musique que finalement tout le monde aime car il l'a rencontre chaque jour dans sa vie.
Peut-être qu'une tradition plus développée du divertissement mathématique comme il existe aux États-Unis pourrait remettre les choses en place, et, non pas faire apprécier les mathématiques autant que la musique, mais en tout cas beaucoup plus qu'elles ne sont aimées aujourd'hui. En France, un effort important a été fait ces dernières années dans ce sens par diverses associations et éditeurs et je crois qu'il commence à porter ses fruits.
On peut parler des nombres, des paradoxes, de la géométrie, des codes secrets, des probabilités, de la programmation des ordinateurs, de manière attrayante en s'adressant à un public large. Il n'y a pas besoin d'être surdoué pour aimer les mathématiques, pas plus qu'il n'est nécessaire d'être virtuose ou de posséder l'oreille absolue pour apprécier une guitare soliste ou un orchestre de Jazz. Les mathématiques sont pour tout le monde et il m'apparaît qu'elles devraient être appréciées au moins dans certaines de leur forme par tous.
Je défends une vision culturelle des mathématiques : point n'est besoin de savoir comment on démontre chaque affirmation qu'on connaît (les démonstrations sont souvent plus difficiles que les énoncés) Point n'est besoin d'être érudit et de se souvenir de tout ce qu'on a tenté de nous apprendre pour se réjouir d'une belle figure géométrique ou d'un beau raisonnement.
Je ne crois pas qu'on peut se prétendre cultivé si on ignore qu'il y a une infinité de nombres premiers et qu'Euclide il y a vingt siècles savait en donner une preuve irréfutable qui aujourd'hui encore fait l'admiration de tous. Je crois sincèrement que les mathématiques sont pour tous et qu'il est du devoir des mathématiciens de faire ce qu'il faut pour qu'on connaisse leur discipline qu'ils doivent cesser de garder pour eux.
Les mathématiciens ne sont pas des martiens car chacun de nous est mathématicien d'une façon ou d'une autre. Il faut que les écrivains scientifiques s'appliquent à proposer des textes qui feront que chacun deviendra conscient de son goût pour les mathématiques comme il l'est de son goût pour la musique.

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