Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

jeudi 11 juin 2009

Petits octogones

Un article intéressant dans Pour la Science de juin 2009 : La saga des trois petits octogones.
Les mêmes auteurs avaient déjà publié un article sur ce sujet dans la revue Matapli : Quatre petits octogones.

samedi 30 mai 2009

Le nombre d’or : réalité ou interprétations douteuses ?

Le Nombre d'Or est connu depuis l’antiquité. Certains travaux attribuent sa découverte au peuple de Haute- Egypte, d’autres considèrent que les Grecs en ont la paternité. Il est toutefois possible que les hommes préhistoriques entrèrent déjà en contact avec ce nombre, sans en avoir conscience et les moyens de le définir de manière rigoureuse. Par la suite, les civilisations qui y font allusion l’ont souvent considéré pour ses vertus esthétiques. Bon nombre d’artistes, qu’ils fussent peintres, musiciens, architectes ou sculpteurs, l’ont abondamment incorporés dans leurs oeuvres. La nature semble également faire usage de ce nombre. La disposition des pétales d’une fleur, l’agencement des branches sur une tige ou encore la forme d’un coquillage sont quelques exemples souvent cités. Toute la difficulté est de distinguer les théories "douteuses" concernant le nombre d’or des réalités biologiques, mathématiques voire esthétiques. C’est ce que nous désirons analyser et démontrer avec ce rapport en réévaluant les mythes qui y sont attachés, tout en comprenant pourquoi ce nombre a eu un tel succès.

Lire l'article

jeudi 14 mai 2009

Le maître des maths

Article paru dans Le Monde du 4 mai 2009

Il est à peine 7 h 30, Anaheim s'éveille tranquillement en ce samedi d'avril. Cette banale banlieue de Los Angeles somnole encore quand 80 adolescents débarquent sur le parking de leur école privée, certains en Porsche, d'autres en BMW. Pour ces élèves de la Fairmont Preparatory Academy, le spring break, la pause des vacances de printemps, peut attendre : c'est bientôt l'heure de leur cours de mathématiques. Rien d'obligatoire, juste un cours d'approfondissement.
A peine arrivés, les élèves, âgés de 14 à 18 ans, se dépêchent de vider la classe de ses chaises et de ses bureaux. Un assistant du professeur inscrit, au feutre noir, sur la main de chacun, un chiffre (de 1 à 80). Ceux qui ont déjà été marqués papotent devant la porte d'entrée sur laquelle est collée une grande étoile dorée. Une étoile pour la star de l'école : le professeur de maths, Sam Calavitta, "Mister Cal" pour ses élèves.
La quarantaine passée, cheveux courts façon militaire, yeux couleur lagon, gueule de boxeur, ce prof au sourire immuable est un ovni de l'enseignement "made in USA". 8 heures. Après avoir salué ses élèves, il lâche : "C'est bon d'être champion du monde." Les élèves répètent la réplique en choeur. "Cette formule est un outil de motivation, explique le professeur. C'est une métaphore parce que je veux que mes élèves s'efforcent d'être les meilleurs."
Ce matin-là, le cours va commencer, comme souvent, par une compétition : la "Cal-competition". "Les numéros pairs à gauche, les impairs à droite", débite le prof. Ça hurle, ça rigole... "J'appelle d'abord les numéros 1 à 20, les deux équipes en ligne devant moi", clame-t-il. La règle est simple : deux élèves doivent résoudre une équation ou répondre à une question. Le gagnant va à l'arrière de sa file, le perdant est éliminé et va s'asseoir. Armé d'une pile de papiers à la main, Sam enchaîne les questions : "Dites-moi les trois noms des dérivés ?" Un élève se montre le plus rapide. "Yeahhhh, tu l'as...", crie le prof de sa voix rocailleuse. Tout le monde applaudit.
Enième question. Silence. Aucune des deux filles ne trouve la réponse. La tension monte, les cerveaux chauffent. "Maison", hurle le professeur. C'est une manière d'appeler Robert Shelton, 39 ans. Chargé de la sécurité de l'établissement, il aime participer à cette compétition pour "le plaisir". Robert tient un saut en fer rempli de jetons numérotés, y plonge la main, touille. "45 !", tonne-t-il. "45 ?", demande Sam. Un élève, qui lui montre sa main où y est inscrit ce numéro, répond à la question. Le 45 vient de sauver sa camarade, qui reste en jeu. On applaudit encore : d'ailleurs, c'est une obligation.
La Cal-competition se déroule en trois manches : une équation simple à résoudre ; le "flash", où le prof montre une formule qui doit être complétée ; des équations plus complexes. "Cette compétition a pour but de confronter les élèves, explique l'enseignant. S'ils veulent gagner, ça les oblige à être les meilleurs." Les vainqueurs de la compétition reçoivent comme récompense des "Cal bucks", sortes de faux dollars : des rouges, des verts, des gris. En cas de mauvaise note, avec ces billets, ils peuvent s'en acheter une meilleure. Le prof sourit : "C'est une bonne source de motivation. Ils sont plus impliqués quand on crée des situations où ils peuvent réussir."



9 heures. Les garçons et les filles ont rendu à la classe ses chaises et ses tables. On sort les trousses : au programme, le calcul des volumes. Et pour illustrer la leçon, le professeur utilise en guise de compas ou d'équerre du... pain de mie, du fromage et du salami. "Ahhhhhh !", se dégoûtent en choeur les élèves quand il colle le salami sur le tableau pour démontrer une formule. Tous sont concentrés, hypnotisés, boivent les théorèmes comme du soda. 10 heures, c'est la fin. Normalement. "J'ai besoin encore de quinze minutes, mais on arrête si vous voulez ?", raconte M. Calavitta. "On reste", crie la classe. Et au bout de ce quart d'heure, avant de quitter l'établissement, tous les ados lâchent d'une même voix : "Quelle merveilleuse journée M. Cal !"


Drôle de méthode ? Dans cette école (qui coûte près de 13 000 euros l'année), les élèves de la Fairmont Preparatory Academy obtiennent l'un des meilleurs résultats du pays aux examens de mathématiques de l'Advanced Placement. En 2008, les 81 élèves de l'école a qui ont passé ces tests ont été reçus avec une moyenne de 4,79 sur 5. Soixante-neuf ont obtenu la note maximale quand la moyenne nationale fut de 3,03.
Sam Calavitta a reçu, le 19 février, le prix Siemens qui récompense chaque année 50 professeurs aux Etats-Unis (un par Etat) pour "l'excellence de leur travail". Dans sa classe, aux côtés de photos d'anciens élèves, de sa famille, de poèmes, d'un tee-shirt jaune du Tour de France (Sam en est fan), de posters aux slogans bienveillants ("Ne jamais, jamais abandonner"), une lettre de 2006 du... président des Etats-Unis, George Bush, qui le félicite pour sa méthode d'enseignement.
"Dans les autres cours, on regarde la montre, assure Richal Asija, 17 ans, mais avec lui, le temps passe trop vite. On ne s'ennuie jamais !" "J'ai trop hâte d'être en cours de maths, jure Anar Bhansali, 18 ans. M. Cal ne s'énerve jamais, il fait tout pour qu'on puisse comprendre : avec lui, les maths, c'est facile." "Il a changé ma vie", souffle Stephen Whitlock, 22 ans, un ancien de l'école devenu son assistant, qui se prépare à être professeur de mathématiques. Tout comme Elisabeth Thaï, 19 ans, une ancienne élève de Fairmont. "Un jour, se souvient-elle, il a mis une chaise sur la table, et s'est assis dessus pour faire cours : c'était fou ! On se demande toujours ce qu'il va inventer." "L'enthousiasme est contagieux", rigole leur prof. La clé de son enseignement ? Chasser l'ennui, faire preuve de considération pour ses élèves, capter sans cesse leur attention.
La trajectoire de ce professeur de mathématiques n'a pas été une simple ligne droite. A 25 ans, cet ingénieur aérospatial s'ennuyait à imaginer des satellites. Issu d'une famille de professeurs, il voulait lui aussi enseigner. "Mais ce job a tellement été dévalorisé par des gens qui se foutent des élèves, qui sont là juste pour passer de l'info, raconte-t-il amer. Il n'y a pas de coeur, pas de passion." Il le constate dès le premier jour de sa carrière, en 1989, à Victor Valley High School, à Victorville, banlieue lointaine de Los Angeles. Quand il demande où est la salle 141, un collègue lui répond : "Vous voulez dire le royaume sauvage ?"

Sa première classe ? Des membres de gang, de jeunes filles qui se prostituent, des suicidaires... Un élève sera exécuté quelques semaines plus tard, certains finiront en prison... "La dernière chose qu'ils avaient à l'esprit était d'apprendre, explique l'enseignant. Ils cherchaient surtout à rester en vie." Il tente en vain de gagner leur respect, de les faire taire... "J'avais compris que mes étudiants n'allaient pas changer à moins qu'ils n'aient une raison de changer", se souvient-il. Beaucoup d'entre eux viennent de familles brisées, vivent parfois dans des maisons abandonnées... "Il fallait que je sois capable de leur donner cette raison", argue-t-il.
Sa solution : d'abord, rendre ses cours attirants et drôles. "Si ça marchait, la moitié de ma bataille serait gagnée", explique-t-il. L'autre partie : faire venir ses élèves à l'école et dans sa classe. Pour cela, il les met dans un environnement "positif", les salue un par un, prouve qu'ils sont importants pour lui... "J'ai voulu qu'ils sachent qu'ensemble, nous pourrions avancer, assure le professeur. Parce que c'est ça, la vie. Puis, vient l'école et après les maths." Ainsi est née la "Cal method".
Depuis, Sam Calavitta a écrit deux livres, Calgebra et CALculus, et il finit de rédiger son autobiographie, Making the difference ("Faire la différence"). Après avoir enseigné dans d'autres établissements publics, il "(s')éclate" dans l'école privée de Fairmont (550 élèves) depuis plus de cinq ans, où son président, Robertson Chandler, se réjouit d'avoir un prof qui attire de nouvelles inscriptions. Combien ? On ne le saura pas, histoire de ne pas créer trop de jalousie avec les autres enseignants.
Sam Calavitta est un fervent chrétien. "C'est ce qui explique pourquoi j'aime mes élèves et que je ne les juge pas", raconte-t-il. Dans sa discrète maison de Yorba Linda, les repas commencent toujours par le bénédicité. Une image du Christ trône au-dessus des photos de ses neuf enfants. Agés de 1 à 18 ans, ils ont tous un nom italien, pour rappeler les origines du père. "Beaucoup de nos copains nous l'envient", sourit Ciena, l'aînée. Cette passionnée d'armes, qui a reçu un 9 mm quand elle a eu son diplôme à la fin de sa scolarité, aime, comme les autres membres du clan, chasser le buffle dans leur ranch du Montana.
Là-bas, Sam Calavitta, un ancien lutteur qui participe régulièrement à l'Ironman (un triathlon de 3,8 km à la nage, 180 km en vélo et 42,2 km de course à pied), organise chaque été l'Eternal Warrior Wrestling. Sur la brochure, ce camp de lutte réservé aux ados de 13 à 18 ans, est présenté comme l'un des plus durs des Etats-Unis : quinze heures d'entraînement par jour pendant deux semaines pour 900 euros - le prof de maths paie pour ceux qui n'ont pas les moyens. "Les jeunes doivent apprendre que la vie est dure, souligne-t-il, car pour lui, l'effort est l'essence de l'existence. Des juges nous envoient des jeunes qui appartiennent à des gangs. A la fin du camp, je vous assure qu'ils ont appris l'humilité et à s'entraider."

Mustapha Kessous Anaheim (Etats-Unis), envoyé spécial


Lire aussi l'article dans Courrier International.

mardi 10 mars 2009

Pourquoi le poulet a-t-il traversé la route ?

Une très chouette introduction à la topologie sur le blog "Choux Romanesco, vache qui rit et intégrale curviligne". C'est par ailleurs un excellent blog avec des articles peu nombreux mais toujours intéressants et fournis.

mercredi 4 mars 2009

Faire des maths pour trouver un bon job

Dans un article récent de Wall Street Journal « Doing the Math to Find the Good Jobs », on peut trouver les résultats d’un sondage sur l’attractivité des différents métiers aux États-Unis. Et, pour la première fois, les statistiques s’accordent à dire qu’aujourd’hui le meilleur métier serait celui de « mathématicien(ne) ». Il est suivi par « actuaire » et « statisticien(ne) ». La hiérachie établie par CareerCast.com a pris en compte le cadre du travail, les revenus, l’effort (physique) demandé ainsi que le stress qu’il peut causer.
Dans un contexte social très animé (pour ne pas dire tendu) depuis quelques semaines, voici, enfin, une bonne nouvelle pour les matheux et, plus généralement, pour les scientifiques. Car « faire des maths » est devenu une profession respectable, enviée et qui donne pleine satisfaction non seulement aux yeux des mathématiciens mais aussi à ceux qui ne la pratiquent pas (tous les jours, voire même pas du tout). Ceci est d’autant plus valorisant que le cliché vehiculé le plus souvent pour le mathématicien était celui du personnage distrait et rêveur, vivant en marge de la société à cause de ses préoccupations purement abstraites. Désormais ça sera peut-être chic d’être mathématicien...
Ce qui distingue les trois premières positions dans ce classement n’est pas la satisfaction d’ordre intellectuel que l’exercice du métier pourrait nous procurer mais le niveau des revenus. Le salaire annuel médian d’un mathématicien est d’environ 94160 $ selon cette étude, de 88146 $ pour un actuaire et respectivement de 72197 $ pour un statisticien. Ces chiffres sont en corrélation avec les études menées dans les universités américaines. Mais il faut savoir qu’aux États-Unis un nombre important de mathématiciens (c’est-à-dire des personnes ayant suivi une formation universitaire en mathématiques) sont attirés et employés en dehors du milieu académique, dans la finance, l’industrie, les assurances etc., contrairement à ce qui se passe habituellement en Europe. En effet, le mathématicien est défini (pour les propos de cette étude) comme celui ou celle qui applique des théories et des formules mathématiques pour enseigner et/ou résoudre des problèmes mathématiques, soit dans le processus éducatif soit dans un cadre industriel, financier ou commercial. Il va de soi que ceux qui créent et étudient les théories en questions sans pour autant chercher des applications immédiates trouveront leur place également parmi les premiers, bien qu’ils soient moins nombreux.
Ce n’est pas la première fois que les matheux se retrouvent bien classés. Le top des meilleurs emplois en 2007 donnait gagnant le métier de « biologiste » devant celui d’« actuaire » et d’« analyste financier » lequel devançait de quelques places seulement celui de « mathématicien ». Une apparition constante est l’« actuariat » qui loge aux premiers rangs depuis que ce genre de statistiques existent.
La valeur d’un tel classement est bien sûr toute relative. Tout ce que j’espère est que le soudain intérêt suscité par ce métier n’est pas présage de malheur. En 1999 « webmestre » figurait à la première place du top devant « actuaire » et « informaticien » et ça se passait peu avant que la grande bulle internet n’explose et les valeurs « nouvelles technologies » ne s’effondrent en bourse.

Source : Images des mathématiques

lundi 2 mars 2009

Le moulin à eau de Lorenz

Edward Lorenz (1917-2008) n’était ni mathématicien, ni informaticien, ni physicien, ni météorologue, mais il était tout cela à la fois : un grand scientifique qui a laissé beaucoup de travail pour toutes ces professions. Il a même inventé un moulin à eau pour expliquer clairement ses idées sur le chaos...

Un très bel article sur le chaos avec de superbes animations sur le site Images des mathématiques.

mardi 24 février 2009

Pour la Science 377


Le numéro 377 de Pour la Science est particulièrement intéressant pour les mathématiciens, car il contient trois articles sur les maths :

  • Les mathématiciens responsables ? (à propos de la crise)
  • L'hypothèse de Riemann : Il y a un siècle et demi, le mathématicien allemand Bernhard Riemann énonça une conjecture devenue célèbre sous le nom d'hypothèse de Riemann. Aujourd’hui, sa démonstration fait toujours défaut et constitue l’un des grands problèmes ouverts des mathématiques. Elle est même mise à prix un million de dollars. Mais pourquoi la conjecture de Riemann est-elle si importante ? C'est que la « fonction zêta de Riemann », qui en est au cœur, concentre en elle de nombreux résultats de la théorie des nombres, en particulier dans l'étude des nombres premiers.
  • Stratégies magiques au pays de Nim. L'article de Jean-Paul Delahaye.

lundi 23 février 2009

Accromaths Hiver-printemps 2009

Le volume 4.1 (Hiver-printemps 2009) de l'excellente revue en ligne québequoise Accromaths (très bon titre au passage) est sorti. A déguster sans retenue, surtout qu'il y a un article sur Euler, mon mathématicien préféré.

mardi 9 décembre 2008

Le Jura dans Mathematice

Le Jura (Suisse) est à l'honneur dans le dernier numéro de Mathematice avec deux articles : un bilan maths-mitic dans le canton du Jura écrit par mon cousin (eh oui!) et un article de votre humble serviteur sur le site apprendre-en-ligne.net.
Et dire que certains pensent qu'il ne se passe rien dans le Jura. Je pense à une réunion à Lausanne qui me reste en travers de la gorge où une intervenante (dont je tairai le nom par politesse) montre un graphique qui laisse à croire que le Jura est à la traîne en informatique dans les écoles. Après une interruption vigoureuse de ma part, elle avoue qu'en fait elle n'a aucune idée de ce qu'on fait...

mercredi 12 novembre 2008

Vérifier les démonstrations par ordinateur

Vérifier sans faille les démonstrations mathématiques par ordinateur

De nouveaux outils informatiques pourraient révolutionner la pratique des mathématiques en fournissant les démonstrations les plus fiables ayant jamais été produites. Ces outils, basés sur la notion de "preuve formelle", ont été utilisés ces dernières années pour donner des démonstrations presque infaillibles de nombreux résultats importants en mathématiques. Une série de quatre articles écrits par des experts reconnus, et qui vient d'être publiée dans les Notices of the American Mathematical Society, explore des développements nouveaux dans l'utilisation de la preuve formelle en mathématiques.

Lorsque les mathématiciens démontrent des théorèmes de manière traditionnelle, ils présentent leurs arguments sous forme narrative. Ils assument des résultats précédents, ils glissent sur des détails qu'ils pensent que les autres experts comprendront, ils prennent des raccourcis pour rendre la présentation moins pénible, ils font appel à l'intuition, etc. L'exactitude des arguments est déterminée par l'examen minutieux effectué par d'autres mathématiciens, au cours de discussions informelles, lors de conférences, ou dans des articles. Il est important de se rendre compte que les moyens par lesquels les résultats mathématiques sont vérifiés constituent essentiellement un procédé social donc faillible. Quand elle concerne un résultat primordial et bien connu, la démonstration est particulièrement bien contrôlée et des erreurs sont éventuellement trouvées. Cependant l'histoire des mathématiques a connu des résultats faux qui sont restés longtemps non décelés. En outre, pour quelques cas récents, des théorèmes importants exigeaient des démonstrations tellement longues et complexes que très peu de gens ont le temps, l'énergie, et le fond de connaissance nécessaire pour en vérifier l'exactitude par eux-mêmes. Enfin, certaines démonstrations contiennent un code informatique considérable pour, par exemple, vérifier de nombreux cas qu'il serait impossible de contrôler à la main. Comment les mathématiciens peuvent-ils alors être sûrs que de telles démonstrations soient fiables ?

Pour venir à bout de ces problèmes, des informaticiens et des mathématiciens ont commencé à développer le domaine de la preuve formelle. Une preuve formelle est une démonstration dans laquelle chaque inférence logique est systématiquement contrôlée vis-à-vis des axiomes fondamentaux des mathématiques. Les mathématiciens n'écrivent habituellement pas ces preuves formelles parce qu'elles sont si longues et "encombrantes" qu'il serait impossible de les faire vérifier par des mathématiciens humains. Mais on peut désormais obliger des "assistants informatiques" à procéder à ce contrôle. Ces dernières années, ces assistants sont devenus assez puissants pour manipuler des démonstrations complexes.

Dans quelques cas simples uniquement on peut donner un énoncé à l'ordinateur et s'attendre à ce que celui-ci fournisse une démonstration de lui-même. En règle générale, le mathématicien doit savoir démontrer cet énoncé ; la démonstration est ensuite exposée avec la syntaxe spécifique de la preuve formelle, chaque étape étant définie, et c'est cette preuve formelle que l'ordinateur contrôle. Il est également possible de laisser l'ordinateur explorer des mathématiques qui lui soient propres: il est arrivé dans certains cas que la machine propose des conjectures intéressantes qui étaient passées inaperçues aux mathématiciens. Nous sommes peut-être proches d'un temps où nous verrons les ordinateurs, plutôt que les êtres humains, faire des mathématiques.

Les quatre articles de Notices explorent la situation actuelle de la preuve formelle et fournissent des conseils pratiques pour l'utilisation de ces assistants informatiques. Si l'usage de ces aides se répand, ils pourraient changer profondément les mathématiques telles qu'elles sont actuellement pratiquées. Un rêve à long terme serait de posséder les démonstrations formelles de tous les théorèmes centraux des mathématiques. Thomas Hales, un des auteurs, indique qu'un tel ensemble de démonstrations serait apparentée au "séquencement du génome mathématique".

Les quatre articles sont:

  • Formal Proof, par Thomas Hales, université de Pittsburgh
  • Formal Proof - Theory and Practice, par John Harrison, Intel Corporation
  • Formal proof - The Four Colour Theorem, par Georges Gonthier, Recherche Microsoft, Cambridge, Angleterre
  • Formal Proof - Getting Started , par Freek Wiedijk, université de Radboud, Nimègue, Pays-Bas
Ces articles paraissent dans l'édition de décembre 2008 de Notices et sont en consultation libre sur le site de l'AMS.

Source : techno-sciences.net

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