Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


mardi 9 décembre 2008

Le Jura dans Mathematice

Le Jura (Suisse) est à l'honneur dans le dernier numéro de Mathematice avec deux articles : un bilan maths-mitic dans le canton du Jura écrit par mon cousin (eh oui!) et un article de votre humble serviteur sur le site apprendre-en-ligne.net.
Et dire que certains pensent qu'il ne se passe rien dans le Jura. Je pense à une réunion à Lausanne qui me reste en travers de la gorge où une intervenante (dont je tairai le nom par politesse) montre un graphique qui laisse à croire que le Jura est à la traîne en informatique dans les écoles. Après une interruption vigoureuse de ma part, elle avoue qu'en fait elle n'a aucune idée de ce qu'on fait...

mercredi 12 novembre 2008

Vérifier les démonstrations par ordinateur

Vérifier sans faille les démonstrations mathématiques par ordinateur

De nouveaux outils informatiques pourraient révolutionner la pratique des mathématiques en fournissant les démonstrations les plus fiables ayant jamais été produites. Ces outils, basés sur la notion de "preuve formelle", ont été utilisés ces dernières années pour donner des démonstrations presque infaillibles de nombreux résultats importants en mathématiques. Une série de quatre articles écrits par des experts reconnus, et qui vient d'être publiée dans les Notices of the American Mathematical Society, explore des développements nouveaux dans l'utilisation de la preuve formelle en mathématiques.

Lorsque les mathématiciens démontrent des théorèmes de manière traditionnelle, ils présentent leurs arguments sous forme narrative. Ils assument des résultats précédents, ils glissent sur des détails qu'ils pensent que les autres experts comprendront, ils prennent des raccourcis pour rendre la présentation moins pénible, ils font appel à l'intuition, etc. L'exactitude des arguments est déterminée par l'examen minutieux effectué par d'autres mathématiciens, au cours de discussions informelles, lors de conférences, ou dans des articles. Il est important de se rendre compte que les moyens par lesquels les résultats mathématiques sont vérifiés constituent essentiellement un procédé social donc faillible. Quand elle concerne un résultat primordial et bien connu, la démonstration est particulièrement bien contrôlée et des erreurs sont éventuellement trouvées. Cependant l'histoire des mathématiques a connu des résultats faux qui sont restés longtemps non décelés. En outre, pour quelques cas récents, des théorèmes importants exigeaient des démonstrations tellement longues et complexes que très peu de gens ont le temps, l'énergie, et le fond de connaissance nécessaire pour en vérifier l'exactitude par eux-mêmes. Enfin, certaines démonstrations contiennent un code informatique considérable pour, par exemple, vérifier de nombreux cas qu'il serait impossible de contrôler à la main. Comment les mathématiciens peuvent-ils alors être sûrs que de telles démonstrations soient fiables ?

Pour venir à bout de ces problèmes, des informaticiens et des mathématiciens ont commencé à développer le domaine de la preuve formelle. Une preuve formelle est une démonstration dans laquelle chaque inférence logique est systématiquement contrôlée vis-à-vis des axiomes fondamentaux des mathématiques. Les mathématiciens n'écrivent habituellement pas ces preuves formelles parce qu'elles sont si longues et "encombrantes" qu'il serait impossible de les faire vérifier par des mathématiciens humains. Mais on peut désormais obliger des "assistants informatiques" à procéder à ce contrôle. Ces dernières années, ces assistants sont devenus assez puissants pour manipuler des démonstrations complexes.

Dans quelques cas simples uniquement on peut donner un énoncé à l'ordinateur et s'attendre à ce que celui-ci fournisse une démonstration de lui-même. En règle générale, le mathématicien doit savoir démontrer cet énoncé ; la démonstration est ensuite exposée avec la syntaxe spécifique de la preuve formelle, chaque étape étant définie, et c'est cette preuve formelle que l'ordinateur contrôle. Il est également possible de laisser l'ordinateur explorer des mathématiques qui lui soient propres: il est arrivé dans certains cas que la machine propose des conjectures intéressantes qui étaient passées inaperçues aux mathématiciens. Nous sommes peut-être proches d'un temps où nous verrons les ordinateurs, plutôt que les êtres humains, faire des mathématiques.

Les quatre articles de Notices explorent la situation actuelle de la preuve formelle et fournissent des conseils pratiques pour l'utilisation de ces assistants informatiques. Si l'usage de ces aides se répand, ils pourraient changer profondément les mathématiques telles qu'elles sont actuellement pratiquées. Un rêve à long terme serait de posséder les démonstrations formelles de tous les théorèmes centraux des mathématiques. Thomas Hales, un des auteurs, indique qu'un tel ensemble de démonstrations serait apparentée au "séquencement du génome mathématique".

Les quatre articles sont:

  • Formal Proof, par Thomas Hales, université de Pittsburgh
  • Formal Proof - Theory and Practice, par John Harrison, Intel Corporation
  • Formal proof - The Four Colour Theorem, par Georges Gonthier, Recherche Microsoft, Cambridge, Angleterre
  • Formal Proof - Getting Started , par Freek Wiedijk, université de Radboud, Nimègue, Pays-Bas
Ces articles paraissent dans l'édition de décembre 2008 de Notices et sont en consultation libre sur le site de l'AMS.

Source : techno-sciences.net

jeudi 6 novembre 2008

Les Mathématiques en 14 mots-clés



La revue La Recherche publie un numéro Hors Série intitulé "Les Mathématiques en 14 mots-clés". Ce numéro est en fait une compilation des "Bac to basics" mathématiques déjà publiés dans la revue.

Les 14 mots-clés choisis sont : les nombres premiers, les nombres complexes, pi et la quadrature du cercle, les polynômes, les fonctions, les intégrales, le point, le triangle, les graphes, les algorithmes, le programme, la simulation numérique, le hasard, les sondages.

vendredi 22 août 2008

Les Génies de la Science : Gauss

La revue Les Génies de la Science propose un numéro spécial sur Gauss, le prince des mathématiques. Un numéro à ne pas manquer !

Avant-Propos

Gauss a 24 ans quand il se voit couronné « prince des mathématiques » par des savants de toute l’Europe. La raison de ce succès ? Des contributions majeures en théorie des nombres – la « reine des mathématiques » selon lui – rassemblées dans un ouvrage qui deviendra une référence, les Disquisitiones arithmeticae.
L’expression « Titan des sciences » employée par son biographe G. W. Dunningon le désigne tout aussi bien. Son éclectisme et sa passion pour les sciences l’entraînèrent non seulement vers les mathématiques, mais vers nombre d’autres domaines : Gauss fut ainsi l’inventeur d’instruments tels que l’héliotrope, le magnétomètre bifilaire ou le télégraphe électromagnétique ; il élabora aussi des théories ad hoc pour résoudre divers problèmes de physique appliquée, comme sa célèbre formule d’optique caractérisant une lentille ou un assemblage de lentilles.
Cette faculté d’embrasser plusieurs disciplines lui permit de révéler les liens profonds qui les unissent. Elle lui inspira des théories mathématiques qui, aujourd’hui encore, sont couramment utilisées dans les sciences appliquées : grâce à sa méthode des moindres carrés, un des fondements de la théorie moderne des erreurs, Gauss optimisa les observations astronomiques et géodésiques ; de ses études en géodésie, en particulier de ses recherches sur la construction de cartes géographiques, naquit la théorie de la représentation conforme, étroitement liée à l’analyse complexe ; Gauss sut encore voir les liens entre la géodésie et la théorie des surfaces, une théorie qui, à son tour, le renvoya à ses réflexions de jeunesse sur la possibilité d’élaborer une géométrie non euclidienne.
Gauss considérait les mathématiques comme la science par excellence, le fondement naturel de toute science appliquée : « Toutes les mesures du monde ne valent pas un seul théorème, car seul ce dernier fait réellement avancer la science des vérités éternelles », écrivait-il à son ami Bessel. C’est bien ce que montre son œuvre, d’une envergure et d’une fécondité comparables à celles des travaux d’un Archimède ou d’un Newton.

Rossana Tazzioli

samedi 19 juillet 2008

La recherche spécial Jeux mathématiques


J'ai enfin pu mettre la main sur le numéro spécial de La Recherche consacré aux Jeux mathématiques. Le format est plus petit que La Recherche. C'est peut-être pour ça que j'ai eu du mal à le trouver...
Très bon numéro que je conseille.

jeudi 26 juin 2008

Pour la Science 369


Le numéro 369 de Pour la Science est particulièrement intéressant pour les mathématiciens, car il contient trois articles sur les maths :

  • Pourquoi se dopent-ils ? La théorie des jeux expliquerait le comportement de certains coureurs cyclistes professionnels.
  • L'optimisation combinatoire. Bonne introduction.
  • Des mathématiciens sculpteurs. L'article de Jean-Paul Delahaye.

mercredi 23 avril 2008

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

Les années 1836-1934 du Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ont été numérisées par la Bibliothèque nationale de France et sont présentes dans la collection numérique Gallica. Il manque encore un volume, qui n'a pas été numérisé.

mercredi 9 avril 2008

Jeux math'

Les psychologues, les éducateurs, les cogniticiens et même les éthologues vous le diront : c’est par le jeu que les enfants et, plus généralement, les petits de mammifères apprennent. Le jeu leur sert à simuler la réalité et à mesurer les conséquences de leurs actes. Mais, parmi les animaux, l’humain est le seul à inventer un monde abstrait dans ses jeux. Ce goût pour l’abstraction donne à son activité ludique une apparence plus futile que les jeux de combat auxquels se livrent les lionceaux pour tester leur force physique.
Pourtant le raisonnement logique, l’évaluation des quantités et des probabilités, la vision tridimensionnelle et l’optimisation des circuits ont conféré une remarquable capacité d’adaptation à l’espèce humaine. Ainsi, d’un point de vue évolutif, le jeu d’esprit ne serait pas futile.
Aujourd’hui, l’homme est doté d’une imposante connaissance du monde, qu’il doit transmettre. Le jeu mathématique l’assiste dans sa tâche éducative, car, comme Leibniz le remarque encore : « Nous réussissons mieux ce que nous faisons avec plaisir. » Faites réciter à un enfant le théorème de Pythagore : il s’exécute avec un certain sens du devoir. Faites-lui la démonstration du théorème sans un mot, à l’aide de carrés accolés au triangle : son œil s’éclaire. En outre, le jeu mathématique ouvre des voies d’exploration de nouvelles mathématiques : théorie des nombres et code de Gray, géométrie et théorie des graphes, logique et théorie de la complexité, etc.
Foin de discours sur la pédagogie ! Il y a un siècle, le mathématicien Charles-Ange Laisant s’exclamait déjà : « Ceux pour qui le mot “instruire” est synonyme d’ennuyer – et quelquefois de torturer – sont de véritables malfaiteurs publics. » Nos bienfaiteurs sont les concepteurs de jeux mathématiques, tels que Samuel Loyd, Henry Dudeney, Édouard Lucas, Martin Gardner… et les auteurs du présent recueil.

vendredi 28 mars 2008

Visual Mathematics

Visual Mathematics est une revue en ligne créée en 1999 qui lance un pont entre l'art et les mathématiques. Le but principal est de montrer la beauté des mathématiques dans un large contexte artistico-scientifique. Il en sort des articles très illustrés et mathématiquement intéressants.

jeudi 28 février 2008

La résolution des Sudoku, une affaire de couleurs...

Si vous vous êtes déjà trouvé bloqué devant un problème de Sudoku, vous avez peut-être imaginé que l'énigme n'avait pas de solution, ou, lorsque finalement vous en résolviez un, que votre solution n'était pas forcément la seule.

Ces questions et d'autres sont explorées dans l'article Sudoku Squares and Chromatic Polynomials d'Agnes M. Herzberg et M. Ram Murty, paru dans l'édition de juin-juillet 2007 des Notes de l'AMS (American Mathematical Society) dans lequel les auteurs utilisent des outils mathématiques de la théorie des graphes pour analyser systématiquement des problèmes de Sudoku. Ils y démontrent également que l'analyse de ce type de problèmes conduit vers certains problèmes non résolus de cette théorie.
Dans ce contexte, un "graphe" est un ensemble de noeuds reliés par des segments. On peut représenter les 81 cases d'un Sudoku comme les 81 noeuds d'un graphe, et l'on attribue à chacun des chiffres de un à neuf une couleur différente. Dans un graphe de Sudoku, deux noeuds sont reliés par un segment si les deux cases qu'ils représentent appartiennent à une même ligne, une même colonne, ou à un même bloc de 3 sur 3 cases. Puisque aucune ligne, aucune colonne, ni aucun bloc ne doit contenir plus d'une fois le même chiffre, le graphe ne possédera aucun noeud relié à un noeud de la même couleur. (Par exemple, en supposant que l'on représente le 1 avec la couleur rouge, deux noeuds rouges reliés par un segment signifieraient qu'une ligne, une colonne, ou un bloc posséderait deux 1, ce qui est interdit par la règle du Sudoku).
Dans le langage de la théorie des graphes, un graphique coloré sans connexion entre les noeuds de même couleur est appelé une "coloration propre". Ce que les amateurs de Sudoku tentent de réaliser chaque jour est d'étendre un graphe partiellement coloré à un graphe à coloration propre (le puzzle initial avec ses cases vides signifie que le graphe le représentant possède des noeuds qui demandent à être coloriés).
L'analogie entre les Sudoku et les graphes étant en place, Herzberg et Murty ont pu utiliser des outils de théorie des graphes pour démontrer des théorèmes sur ce type de problèmes. Par exemple, ils démontrent que le nombre de façons différentes d'étendre une coloration partielle est donné par un polynôme. Si la valeur de ce polynôme est zéro pour un Sudoku donné, alors le puzzle n'a aucune solution ; si la valeur est 1, le puzzle n'a qu'une solution ; et ainsi de suite. Ils démontrent également que, pour qu'un Sudoku quelconque puisse n'avoir qu'une solution unique, au moins 8 des 9 chiffres doivent apparaître dans le problème posé ; si seulement 7 chiffres apparaissent, alors le puzzle possède au moins deux solutions. Et ceci évoque une question mathématique non résolue: "il serait extrêmement intéressant de déterminer sous quelles conditions une coloration partielle peut être étendue à une coloration [propre] unique", écrivent les auteurs.
Certains Sudokus sont plus difficiles à résoudre que d'autres, les plus ardus ne contenant que très peu de chiffres au départ. La détermination de ce nombre minimum d'entrées nécessite de s'assurer qu'un problème n'a qu'une seule solution. Herzberg et Murty donnent un exemple d'un Sudoku avec 17 entrées qui ne possède qu'une solution (grille ci-dessous). Aussi le nombre minimum est au plus 17. Cependant cela pourrait être 16 ou plus petit encore, mais personne ne le sait. On pourrait penser par ailleurs qu'un problème avec de nombreux chiffres donnés au départ est susceptible de n'avoir qu'une seule solution, mais ce n'est pas forcément le cas. L'article donne l'exemple d'un puzzle à 29 chiffres donnés qui possède au final deux solutions différentes.


Et si vous vous demandez quand votre revue préférée manquera de problèmes de Sudoku, les auteurs affirment que le nombre de Sudoku distincts se situe quelque part autour de 5,5 milliards, ce qui devrait s'avérer suffisant pour occuper les afficianados pendant de nombreuses années encore.

Source : Techno-science (9 juin 2007)

A lire : Sudoku Squares and Chromatic Polynomials, by Agnes M. Herzberg and M. Ram Murty

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