Le blog-notes mathématique du coyote

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

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Les marins ivres

Par Didier Müller, lundi 18 mai 2009 à 07:36 - Enigmes/casse-tête - #1310 - rss

N marins rentrent complètement ivres sur leur bateau. Ils s'affalent chacun sur une couchette au hasard. Quelle est la probabilité qu'aucun marin ne dorme dans sa couchette?

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1. Le lundi 18 mai 2009 à 20:48, par Le matheux fou

Si P_N est la probabilité cherchée pour N marins. On a

p_1 = 0
p_2 = 1/2
p_3 = 1/3
p_4 = 3/8
p_5 = 13/30

2. Le lundi 18 mai 2009 à 22:34, par Mich'L

Plus facile (?) :
et en moyenne, combien y a-t-il de marins sur sa couchette ?

3. Le mardi 19 mai 2009 à 11:46, par Propanol

De manière générale p_n = 1 - sum{k=1..n}p_{n-k} / (k!)

Et pour obtenir le nombre moyen de marins sur sa couchette: N = sum{k=0..n} (n! / (k-1)!) p_{n-k}

4. Le mercredi 20 mai 2009 à 19:26, par Mich'L

sauf erreur, le nombre moyen de marins sur sa propre couchette est 1.
X=X_1+X_2+...+X_N (X : nbr de marins sur sa couchette, et X_i : indicateur égal à 0 ou 1)
E(X) = sum{i=1..N}E(X_i)
= sum{i=1..N} 1/N ; (loi binomiale)
= 1

5. Le mardi 26 mai 2009 à 11:21, par binny

p(n) = (n-1)! / n! = 1/n non ?

6. Le mercredi 27 mai 2009 à 14:27, par binnu

Oups désolé, répondu un peu vite ... C'est faux bien sûr.
Le matheux fou je dirais que p_5 = 11/30 plutôt non ?
Propanol j'ai l'impression que ta formule ne fonctionne pas, en tous cas pour les premiers résultats (n = 3, 4) on ne retombe pas sur nos pieds ...

7. Le vendredi 29 mai 2009 à 10:46, par binny

En fait c'est bien ce que disait propanol.
On trouve cette formule en disant que la proba qu'aucun ne soit sur la couchette est 1 - la proba qu'au moins 1 soit sur sa couchette, qui s'exprime comme la somme, pour k = 1 à n, des probas qu'il y en ait exactement k sur sa couchette. Une fois les k fixés, il en reste n-k qui ne doivent pas être sur leur couchettes, d'où le p_{n-k} / (k!) (après simplification d'un B(n,k) ).
On peut prouver que p(n) s'écrit aussi comme n! * sum{k=0..n}((-1)^k / k!)
et par suite que la probabilité converge très rapidement vers 1/e ...
Très joli comme résultat je trouve!

8. Le samedi 30 mai 2009 à 14:03, par Propanol

Merci binny pour la formulation explicite, que je n'arrivais pas à retrouver (j'avais la limite mais pas de jolie écriture).

Par contre Mich'L semble également avoir raison - et bien plus élégamment que moi sur son calcul. Avez-vous par hasard vérifié que la combinaison des deux écritures donne le bon résultat?

9. Le mardi 2 juin 2009 à 19:22, par Mich'L

Propanol, il me semble que quelque chose cloche dans ta formule de la moyenne (avec n! au numérateur, on a vite une moyenne délirante). Mais j'ai regardé ça un peu vite et je n'ai pas creusé le problème

10. Le lundi 16 novembre 2009 à 07:59, par marabout

j'essaie de décrypter les formules:n!= n(n-1)(n-2) etc est la factionelle d'un nombre entier? mais que représentent:X,K,p_5,1_5=13/30,1-1a,p-n=1-sum{k=1..n}p-{n-k}/(k!) merci pour votre réponse

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