Le blog-notes mathématique du coyote

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

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La mouche et les deux trains

Par Didier Müller, vendredi 18 mai 2007 à 10:29 - Enigmes/casse-tête - #612 - rss

Deux trains sont séparés de 200 km et s'approchent l'un de l'autre. L'un roule à 60 km/h et l'autre à 40 km/h. Une mouche vole d'un train à l'autre à la vitesse de 75 km/h, en faisant des aller-retour réguliers entre les deux jusqu'à ce qu'ils se croisent. Quelle est la distance totale parcourue par la mouche ?

On dit que John von Neumann (mathématicien ayant apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en informatique, en sciences économiques ainsi que dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques et de la physique) répondit à cette énigme en 10 secondes, en faisant la somme des termes d'une série... Ce n'est pas la méthode la plus simple !

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Commentaires

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1. Le vendredi 18 mai 2007 à 12:51, par Tigerfou

Disons que la mouche part du train 1 roulant à 75km/h.
Au bout de 1h45 elle rencontre le train 2 après avoir parcouru environ 130km.
Mais pendant ce temps, le premier train a parcouru 105km.
Plus que 25km séparent la mouche (situé au nez du train 2) et le train 1.
En seulement 11min la mouche rejoint le train 1, parcourant un peu moins de 14km.
Pendant ce temps, le train 2 a avancé de 7,4km et 10km le sépare de la mouche.
Elle le rejoint en 5 min et a effectué 6,5km.
Mais pendant ce temps le train 1 a fait 5km donc la mouche n'est plus qu'a 1,5km de lui ! En 40 secondes ils se rencontrent la mouche n'a eu qu'a faire 800m.
Les trains sont suffisamment proches pour arrêter là et la mouche a donc parcouru environ 160,3km si je n'ai pas dit trop de bêtises...

2. Le vendredi 18 mai 2007 à 18:42, par azubi

La méthode expliquée ci-dessus est amusante, mais j'imagines qu'en trouvant le bon système de coordonnées, on devrait arriver à trouver une manière plus simple. Par exemple en plaçant le référentiel sur le train 1, je dirais que la mouche parcourt 150km... Me goures-je ?

3. Le vendredi 18 mai 2007 à 22:08, par gil

Il suffit de calculer (en moins de 5 secondes) au bout de combien de temps les deux trains se croisent. Il reste alors 5 secondes (c'est beaucoup) pour calculer la distance parcourue par la mouche...

4. Le samedi 19 mai 2007 à 13:04, par Tigerfou

Ce serait beaucoup plus simple si la mouche allait à la même vitesse que l'un des deux trains cad 60km/h ou 40km/h, et c'est seulement dans ce cas qu'il suffirait de calculer au bout de combien de temps les deux trains se croisent !
On aurait 200/(60+40)=2h et la mouche aurait parcouru 2x60=120km avec le train 1 ou bien 2x40=80km avec le train 2.

Ce n'est pas le cas ici Gil !
La mouche va à 75km/h donc plus vite que les deux trains c'est pour cela qu'elle a le temps de faire plusieurs allers-retours avant que les trains ne se croisent...
Le raisonnement laborieux que j'ai décris est celui qui explique pourquoi il faut faire la somme d'une série de termes comme l'a fait si génialement en 10sec le mathématicien à mémoire photographique et calculateur prodige qu'était John Von Neumann !

Voici la série en question :
Somme de n=0 à l’infini des (200/(40+75)^n+1) x (75-60)^n x 75 si la mouche part du train roulant à 60km/h
Somme de n=0 à l’infini des (200/(60+75)^n+1) x (75-40)^n x 75 si la mouche part du train roulant à 40km/h

Ces deux séries donnent le même résultat, mais évidemment la mouche ne fait pas une infinité de parcours, il suffit de calculer un reste de ces séries (jusqu'à ce que la distance séparant les deux trains soit inférieure à la taille de la mouche, pauvre mouche !) et les résultats seront a peu près les mêmes.

5. Le samedi 19 mai 2007 à 14:37, par mathois

Deux trains éloignés de 200 km qui se rapprochent, l'un à 40km/h et l'autre à 60km/h, c'est équivalent en terme de temps à un train qui roule à 100km/h sur 200 km. Donc il roule pendant 2h.
La mouche vole à 75km/h (ça vole plus vite qu'un train une mouche ??) pendant 2h, elle parcourt donc 150 km.
CQFD

6. Le dimanche 20 mai 2007 à 13:45, par Tigerfou

Je me suis emballé car j'aime beaucoup ce raisonnement à base de série...
Gil et Mathois, il est évident que vous avez l'esprit bien moins tordus que moi !
Sa ne fait pas de mal de temps en temps d'écraser une mouche avec... un train !

7. Le mardi 22 mai 2007 à 11:21, par dvjh

// distance : 200 km
// train 1 : 60 km/h
// train 2 : 40 km/h
// mouche va d'un train à l'autre à 75 km/h
// distance parcourue par la mouche ? (150 km)
// nombre de trajets parcourus par la mouche ?

v1=60000/(60*60); // vitesse train 1 en m/s
v2=40000/(60*60); // vitesse train 2 en m/s
vm=75000/(60*60); // vitesse de la mouche en m/s
dtm=0; // distance totale parcourue par la mouche en m
dm=0; // distance parcourue par la mouche dans le trajet en cours en m
drm=0; // exédent de distance parcouru par la mouche dans le trajet en cours (pour le premier trajet : drm=dr-dt-dm) en m
n=0; // le nombre de trajet parcouru
dt=0; // distance parcourue par les trains en m
dr=200000; // distance restant à parcourir en m
t=0; // le temps en s
i=1;
A(i,1)=n;
A(i,2)=t;
A(i,3)=dtm;
A(i,4)=drm;
A(i,5)=dr;

while (dr > 0) & (t <= 7200) do
t=t+1; // temps en s du nouveau trajet
dt=t*v1+t*v2; // distance en m parcourue par les trains
dm=t*vm; // distance en m parcourue par la mouche

if (dm+drm+dt >= dr) then // si la distance parcourue est supérieure au trajet à parcourir
n=n+1; // la mouche à parcouru un nouveau trajet
dtm=dtm+dm; // la distance parcourue par la mouche est augmentée de dm m
drm=dt+drm+dm-dr; // la distance excédentaire parcourue par la mouche
dr=dr-dt; // la distance restant à parcourir
i=i+1; // indice pour le stockage des données
A(i,1)=n;
A(i,2)=t;
A(i,3)=dtm;
A(i,4)=drm;
A(i,5)=dr;
t=0; // t=0 pour le nouveau trajet
end
end

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loading initial environment

--> A =

0. 0. 0. 0. 200000.
1. 4115. 85729.167 34.722222 85694.444
2. 1763. 122458.33 41.666667 36722.222
3. 755. 138187.5 20.833333 15750.
4. 324. 144937.5 20.833333 6750.
5. 139. 147833.33 27.777778 2888.8889
6. 59. 149062.5 6.9444444 1250.
7. 26. 149604.17 20.833333 527.77778
8. 11. 149833.33 27.777778 222.22222
9. 4. 149916.67 1.751D-11 111.11111
10. 3. 149979.17 34.722222 27.777778
11. 1. 150000. 55.555556 - 3.801D-12

-->

La matrice A contient :
1. A(i,1) = le numéro du trajet
2. A(i,2) = le temps (en seconde) du trajet
3. A(i,3) = la distance totale parcourue par la mouche
4. A(i,4) = l’excédent de distance parcourue par la mouche
5. A(i,5) = la distance restant à parcourir

La mouche parcours donc au moins 11 trajets – au 10e trajet la distance excédentaire parcourue par la mouche est supérieure au trajet restant à parcourir.

En fait il faudrait prendre le temps en dixième ou en centième de seconde pour la fin du calcul.

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